Дифференциальное уравнение

[Narn]

Да, это я погорячился.

[Anastacia]

Someone писал(а):

Но тогда мне непонятно, почему Вы не можете решить уравнение $z'\th x=z$. Оно даже проще.

То уравнение я нашла похожее и решала по аналогии, а такое я не нахожу и поэтому не понимаю... Также как многие студенты учатся по практическим занятиям, также и я ищу готовые решения... В теории далеко не все понятно, учитывая что теоретических лекций почти не было... Точнее сказать по дифференциальным уравнениям была вообще одна!

[Narn]

Ну Вы же написали:

Anastacia писал(а):

максимум, что приходит в голову это
$\frac{dz}{dx}*thx=z$

Домножьте на $dx$ и разделите переменные: все, что содержит $x$ (в данном случае - только $\th x$), тащите к $dx$, все, что содержит $z$ - к $dz$. Потом интегрируйте.

[Someone]

Anastacia писал(а):

То уравнение я нашла похожее и решала по аналогии, а такое я не нахожу и поэтому не понимаю...

А в чём разница? Домножьте обе части на $dx$ и воспользуйтесь тем, что $z'dx=dz$, и получите точно такое уравнение с разделяющимися переменными, как в третьей строке Вашего решения.

Добавлено спустя 1 минуту:

Видите, два человека Вам советуют одно и то же.

[Anastacia]

Да поняла теперь.... Видимо проблема изначально крылась в пугающей функции thx... Что с ней то делать? Вообще впервые ее вижу... В таблице интегрирования таковой нету...

[Narn]

Это - из серии т. н. гиперболических функций.

Косинус гиперболический: $\ch x= \frac{e^x+e^{-x}}{2}$.

Синус гиперболический $\sh x= \frac{e^x-e^{-x}}{2}$.

Ну и естественно, тангенс и котангенс гиперболические:

$\th x = \frac{\sh x}{\ch x}$

$\cth x = \frac{\ch x}{\sh x} =\frac{1}{\th x}$


Вам для решения этой задачи достаточно знать следующее (проверяется автоматически)

$(\ch x)' =\sh x$
$(\sh x)' =\ch x$

Даже проще, чем обычных (тригонометрических) синуса и косинуса!

Нужный Вам интеграл фактически у Вас в руках.

[Anastacia]

Спасибо за информацию, теперь буду знать. Получается:

$z=C*\sh{x}$
правильно?
а далее опять замену вводить надо будет?

[Someone]

Вспомните, что такое $z$, откуда оно взялось.

[Anastacia]

$z=y'''$
значит просто находить постепенно вторую производную, первую и саму функцию?

[Парджеттер]

Anastacia писал(а):

значит просто находить постепенно вторую производную, первую и саму функцию?

Угу.

[Anastacia]

гляньте на ошибки, пожалуйста, еще одно мое "творчество":
$y'-\frac {2xy}{1+x^2}=1+x^2$
$y=u*v$
$u'*V+u*v'+\frac {2x*u*v}{1+x^2}=1+x^2$
$u'*v+u*(v'+\frac {2x*v} {1+x^2}=1+x^2$

$v'+\frac {2x*v}{1+x^2}=0$
$\frac {dv}{v}=\frac {-2x}{1+x^2}dx$
$\ln {v}=-\int \frac {d(x^2+1)}{x^2+1}$
$\ln {v}=-\ln{x^2+1}-\ln{C}$
$v=-C*(x^2+1)$

$u'*(-c)*(x^2+1)+u*0=x^2+1$
$\frac {du} {dx}=\frac {-1}{C}$
$du=\frac {-1}{C}*\int {dx}$
$u=\frac {-1}{C}*x+C$

$y=u*v=(\frac {-x}{C}+C)*(-C*(x^2+1))$

Добавлено спустя 7 минут 6 секунд:

Anastacia писал(а):

$z=y'''$
значит просто находить постепенно вторую производную, первую и саму функцию?

$y'''=C1*\sh{x}$
$y''=C1*\ch{x}+C2$
$y'=C1*\sh{x}+C2*x+C3$
$y=C1*\ch{x}+C2*x^2+C3*x+C4$

правильно?

Добавлено спустя 32 минуты 2 секунды:

а вот еще "забавное" уравнение, к которому я пока не вижу подхода...
$y''=8*\sin^3 {y^\cos {y}}$
$y(1)=\frac {\pi} {2}$
$y'(1)=2$

[ewert]

Anastacia писал(а):

гляньте на ошибки, пожалуйста, еще одно мое "творчество":
$y'-\frac {2xy}{1+x^2}=1+x^2$
$\ln {v}=-\int \frac {d(x^2+1)}{x^2+1}$
$v=-C*(x^2+1)$

У Вас тут пара ошибок, которые счастливым образом компенсировались (лень думать -- до конца или нет). Во-первых, знак перепутан. Во-вторых, с какой стати минус цэ, когда степень минус первая?

Добавлено спустя 18 минут 55 секунд:

Anastacia писал(а):

$u=\frac {-1}{C}*x+C$

$y=u*v=(\frac {-x}{C}+C)*(-C*(x^2+1))$

Да, и ещё ошибка, на этот раз уже криминальная. Буковки-то цэ -- разные. И одна из них должна сократиться. (А ещё лучше -- просто не выписывать константу при поиске первой функции, ведь для неё нужно не общее, а хоть какое-то решение.)

[Anastacia]

и как тогда правильно? я не понимаю, что исправить то надо...

Добавлено спустя 1 минуту 1 секунду:

Цитата:

$y'''=C1*\sh{x}$
$y''=C1*\ch{x}+C2$
$y'=C1*\sh{x}+C2*x+C3$
$y=C1*\ch{x}+C2*x^2+C3*x+C4$

это то хоть правильно?

[ewert]

Anastacia писал(а):

и как тогда правильно? я не понимаю, что исправить то надо...

Добавлено спустя 1 минуту 1 секунду:

Цитата:

$y'''=C1*\sh{x}$
$y''=C1*\ch{x}+C2$
$y'=C1*\sh{x}+C2*x+C3$
$y=C1*\ch{x}+C2*x^2+C3*x+C4$

это то хоть правильно?

это-то, наверное, правильно (просто не помню исходную задачу).
Ну, естественно, с поправкой на то, что константы в третьей строчкой не совпадают с ними же во второй. Но они пока и не обязаны -- т.к. произвольные.

А насчёт исправлять в том линейном уравнении.
Во-первых, исправьте знак при переходе от своей первой строчки к третьей.
Во-вторых... впрочем, после первого исправления второе отпадёт.
В-третьих, обозначьте произвольные постоянные как $C_1$ (после поиска $v$) и $C_2$ (после поиска $u$). Если уж так приспичило вводить для $v$ произвольную постоянную.

[Anastacia]

вот исходное:

Цитата:

$y''''*thx=y'''$

Добавлено спустя 3 минуты 18 секунд:

Цитата:

$v=-C*(x^2+1)$

здесь тогда получается
$v=C_1*(x^2+1)$
да?