получить уравнение второй ф-ии относительно первой

[upgrade]

имеется две функции
1. $f_1(x)=x^2$
2. $f_2(x)=x^3$
необходимо получить уравнение для функции № 1 в текущей СО, "выпрямив" функцию № 2 одновременно "деформируя" соответствующим образом функцию № 1, или иначе - получить функцию расстояний от первой функции до второй и относительно второй ... как к этому подступиться?
1. вычислить функцию для единичного отрезка на $f_1(x)=x^3$
через длину отрезка функции $dl=\sqrt{(x_2^3-x_1^3)^2+(x_2-x_1)^2}$
2. провести перпендикуляры к касательным во всех точках $f_1(x)=x^3$
уравнение касательных
$f_1_{kac}(x)=a^3+3a^2(x-a)$
уравнение нормалей
$f_1_{kac}(x)=a^3-\frac{1}{3a^2}(x-a)$
3. найти вид функции расстояния между точками пересечения нормали касательной к $f_1(x)=x^3$ с $f_2(x)=x^2$ в единичных отрезках, вычисленных по п. 1.
это и будет исходная функция?
как ее получить...

П.С.
то есть например для двух функций $y=x^2$ и $y=x^2+\operatorname{const}$
результирующая функция будет $y=\operatorname{const}$

[Sonic86]

upgrade, Вы это своей головой написали или Вам кто-то дал?

upgrade в сообщении #913710 писал(а):

необходимо получить уравнение для функции № 1 в текущей СО, "выпрямив" функцию № 2 одновременно "деформируя" соответствующим образом функцию № 1, или иначе - получить функцию расстояний от первой функции до второй и относительно второй ... как к этому подступиться?

Сформулировать задание осмысленно. Вы сами понимаете, что здесь написано? Вот это

upgrade в сообщении #913710 писал(а):

функцию расстояний от первой функции до второй и относительно второй

что это? определение есть?
"Функция в СО" - так не говорят (пока затрудняюсь ответить, почему). Говорят либо "функция", либо "кривая в СО".

Термин

upgrade в сообщении #913710 писал(а):

функцию для единичного отрезка на $f_1(x)=x^3$

неопределенный (я его не выдрал из контекста, это цельный термин). Функция от отрезка может быть какая угодно. Например: длина отрезка, средняя точка отрезка и т.п.

upgrade в сообщении #913710 писал(а):

то есть например для двух функций $y=x^2$ и $y=x^2+\operatorname{const}$
результирующая функция будет $y=\operatorname{const}$

термин "результирующая функция" в тексте встречается один раз и без определения. К чему это? Результат чего? Выпишите явно, я не буду за Вас проделывать всю работу по формулировкам.

[upgrade]

Sonic86 в сообщении #913722 писал(а):

что это? определение есть?

необходимо найти функцию длин отрезков, лежащих на прямых, которые являются нормалями к графику функции $U(x)=x^3$ и ограниченных точками пересечения этих прямых с двумя функциями:
$F(x)=x^2$ и $U(x)=x^3$

при этом, длина дуг между точками пересечения нормалей и функции $U(x)=x^3$ должна быть одинаковой (на графике функции изображены черными отрезками).
на изображении - это $R(x)=$?


-- 30.09.2014, 12:58 --

$R(x)$ - "результирующая" функция.
возможно, что для двух функций отличающихся на $\operatorname{const}$ (например $U(x)=x^3$ и $F(x)=x^3+100$) $R(x)=\operatorname{const}$

-- 30.09.2014, 13:09 --

(Оффтоп)

Sonic86 в сообщении #913722 писал(а):

Вы это своей головой написали или Вам кто-то дал?

своей головой, это практическая задача - требуется найти формулу профиля поверхности отстоящую от заданной на константу и в общем случае - на функцию расстояния между поверхностями.
для шара - это формула исходного шара с уменьшенным радиусом, а для параболоида...

[bot]

Вот это как можно интертрепировать?

upgrade в сообщении #913926 писал(а):

при этом, длина дуг между точками пересечения нормалей и функции $U(x)=x^3$ должна быть одинаковой

Покажите на Вашем рисунке аргумент искомой функции и её значение для этого аргумента.

Попробую потелепать. Может быть, аргумент - это длина дуги кубической пароболы, отсчитываемой от начала координат до точки на ней, а функция - длина перпендикуляра, восставленного из этой точки до пересечения с квадратичной параболой?
Если так, то я Вам не завидую. Что ли очень надо или просто так спросили?

(Оффтоп)

А связи с Вашей практической задачей вообще не усматриваю, впрочем её формулировка тоже не блещет.

[Vince Diesel]

upgrade в сообщении #913926 писал(а):

при этом, длина дуг между точками пересечения нормалей и функции $U(x)=x^3$ должна быть одинаковой

С эти могут быть проблемы, т.к. длина дуги кубической параболы через элементарные функции не выражается. Вот если взять произвольную точку на кубической параболе, то уравнение нормали написать легко. Найти точку персечения с параболой, наверно, тоже, какое-то уравнение получится.

[Sonic86]

upgrade в сообщении #913926 писал(а):

необходимо найти функцию длин отрезков, лежащих на прямых, которые являются нормалями к графику функции $U(x)=x^3$ и ограниченных точками пересечения этих прямых с двумя функциями:
$F(x)=x^2$ и $U(x)=x^3$

Ура! Текст понятен! Вот видите, Вам сразу и ответили
Ну так это легко: берете произвольную точку на графике $U(x)$, проводите к ней нормаль, ищете пересечение нормали с $F(x)$ - решаете уравнение. Все. Ну, отбрасываете ненужные корни - получаете $R(x)$.

upgrade в сообщении #913926 писал(а):

при этом, длина дуг между точками пересечения нормалей и функции $U(x)=x^3$ должна быть одинаковой (на графике функции изображены черными отрезками).

Я не понимаю это замечание, зачем и к чему оно, тем более, что предыдущего условия вполне достаточно для решения.

upgrade в сообщении #913926 писал(а):

возможно, что для двух функций отличающихся на $\operatorname{const}$ (например $U(x)=x^3$ и $F(x)=x^3+100$) $R(x)=\operatorname{const}$

Это, очевидно, неверно.

(Оффтоп)

upgrade в сообщении #913926 писал(а):

своей головой

тогда рекомендация писать понятнее относится к Вам Чем точнее выразитесь, тем лучше будет.

[upgrade]

bot в сообщении #913943 писал(а):

это длина дуги кубической параболы, отсчитываемой от начала координат до точки на ней, а функция - длина перпендикуляра, восставленного из этой точки до пересечения с квадратичной параболой?

да, именно так, причем выраженные через $x$.

bot в сообщении #913943 писал(а):

Если так, то я Вам не завидую.

я даже не знаю с какой стороны подступиться к решению...

bot в сообщении #913943 писал(а):

Что ли очень надо или просто так спросили?

мы делаем некоторые поверхности, между которыми прокладывается слой, вот слой неплохо было бы рассчитывать, пока это делается просто на глаз. функция $R(x)$ - это насколько я понимают и есть функция слоя.

-- 30.09.2014, 15:00 --

Sonic86 в сообщении #913964 писал(а):

Я не понимаю это замечание, зачем и к чему оно, тем более, что предыдущего условия вполне достаточно для решения.

я надеюсь что вы правы, просто сомневаюсь.

Sonic86 в сообщении #913964 писал(а):

Это, очевидно, неверно.

для шаров верно, но в общем случае конечно нет.

Sonic86 в сообщении #913964 писал(а):

Я не понимаю это замечание, зачем и к чему оно,

дело в том, что при "спрямлении" кубической параболы "сжимается" квадратная парабола.
а при "спрямлении" квадратной - "расширяется" кубическая.

например если взять две сферы и залить между ними резину, то при спрямлении внутренней сферы резина и внешняя сфера сожмутся, а при спрямлении внешней резина и внутренняя сфера расширятся, при этом в обоих случаях все они станут плоскостями, но в первом случае площадь плоскости будет меньше чем во втором.
отсюда острое желание в привязке функции длин нормалей к длине дуги той функции, от которой опускаются нормали.

-- 30.09.2014, 15:03 --

Vince Diesel в сообщении #913950 писал(а):

С эти могут быть проблемы, т.к. длина дуги кубической параболы через элементарные функции не выражается.

да хоть бы через алгоритмы - на компьютере посчитаем.

[Sonic86]

upgrade в сообщении #913969 писал(а):

например если взять две сферы и залить между ними резину, то при спрямлении внутренней сферы резина и внешняя сфера сожмутся, а при спрямлении внешней резина и внутренняя сфера расширятся, при этом в обоих случаях все они станут плоскостями, но в первом случае площадь плоскости будет меньше чем во втором.
отсюда острое желание в привязке функции длин нормалей к длине дуги той функции, от которой опускаются нормали.

Все, теперь я понял, что Вы хотите, только боюсь, что понадобится знание физики резины. Если бы тело было абсолютно неупругое, то тогда достаточно того, что я написал + еще натуральную параметризацию $U(x)$ найти и подставить. Но резина ведь далеко не абсолютно неупругая.
Для абсолютно упругого материала (это такой, у которого сферический слой выпрямляется в параллелепипец) делаем так:

Sonic86 в сообщении #913964 писал(а):

берете произвольную точку на графике $U(x)$, проводите к ней нормаль, ищете пересечение нормали с $F(x)$ - решаете уравнение. Все. Ну, отбрасываете ненужные корни - получаете $R(x)$.

(только что сел и посчитал - получается двухэтажный корень) Потом находите длину кубической параболы - интеграл 1-го рода $\ell (x)=\int\limits_0^x \sqrt{1+ (U'(x))^2}dx$ (которые неэлементарный), затем обращаете функцию: $x=x(\ell)$, затем подставляете: $R(x(\ell))$ - вот Вам искомая функция.
Но придется обращаться к физике, увы + еще интеграл этот...
Надеюсь, что я сам не наврал

[upgrade]

Sonic86
спасибо! хоть сверил ход мыслей. у меня примерно также получается, а вот про обращение функции что-то недотумкал. интегралы загоним в какой-нибудь паскаль и все - набор данных выдаст.

[Vince Diesel]

В матпакетах оно проще.

[upgrade]

(Оффтоп)

да мы темные, пользованию матпакетов не обученные, всё в экселях да в паскалях...ну и лень конечно дает о себе знать

[Aritaborian]

Не прибедняйтесь. На обучение азам Wolfram Mathematica у вас уйдёт максимум час, тем более, что задача уже конкретно поставлена. Если владеете английским, достаточно будет встроенной документации. Если с английским проблемы, заходите на сайт русскоязычной поддержки и в их же ВК-сообщество. Там есть видеоуроки и много чего ещё. Ну и здесь никто не запрещает просить помощи, благо, специалисты имеются.
BTW, документация доступна онлайн. Можно ознакомиться, не скачивая гигабайты.

[Aritaborian]

Есличо, документацию для предыдущих версий можно найти здесь.

[upgrade]

спасибо, почитаем!

[Алексей К.]

Sonic86 в сообщении #913964 писал(а):

Ура! Текст понятен!

Испытываю потрясение и восхищение.

У меня сложилось впечатление, что речь идёт об эквидистантных кривых/поверхностях, что что-то типа ЧПУ.
Когда рассматриваются ф-ции $y(x)$, то такие штуки как "длина дуги", "длина хорды" в общем случае бессмыслены (т.к. $dx^2+dy^2$ вполне может оказаться $\text{км}^2+\text{сек}^2$.

А если рассматривается осмысленный частный случай, когда и икс и игрек в сантиметрах, то наверняка речь идёт о кривой $[x(t),y(t)]$, где параметр вполне может быть и длиной дуги.

А автор загипнотизирован на $y(x)$, $y'(x)$ (ну там учебники какие-то, задачки вспомнились), и перейти на более естественный аппарат плоских кривых он просто не умеет (там он и о поверхностях заикался, но они, видимо, цилиндрические, и к кривой в сечении поверхности сводятся). А я не могу уверенно подсказать, что это надо сделать, ибо уж больно муторно и сумбурно всё изложено.

Ну, допустим, кривулька маленькая, и её можно рассматривать как фунцию $y=f(x)$. Повернём на 90 градусов --- и уже нельзя будет так рассматривать. Но для прилично поставленной и прилично решённой задачи такой поворот должен быть до лампочки.

А у Sonic86 хватило ума что-то реально понять. Малость завидую...

-- 01 окт 2014, 23:20:16 --

Хотя да --- "график одной функции кривой относительно другой кривой" я способен понять, и упомянутая эквидистанта --- простейший частный случай $F(s)=const$. Но, если речь об этом, --- автору надо орудовать параметрическим представлением кривой.