Критерий Поппера и научность математики

[Cos(x-pi/2)]

Немножко оффтопа насчёт Поппера, вспомнилось из книжки воспоминание:

Лакатос в "Доказательствах и опровержениях" вспоминает

(в примечании 44)

вот цитата в окружении сопутствующего текста, чтобы это примечание 44 было легче найти в книжке:

что Поппер дал классификацию уровней понимания. Не берусь судить о его критерии научности, но насчёт уровней понимания, думается, Поппер полезные для практики (хотя, вроде, и почти очевидные) высказал мысли.

(Ведь не так уж редко попадаются студенты, которые вообще не понимают, что значит "понимать". И вот им иногда помогает объяснение: 1-й уровень это когда тебе на лекции показалось, будто ты уже чего-то понял, и тебе от этого стало приятно; 2-й уровень - если сможешь всё удержать в голове хотя бы до сессии; 3-й уровень - если расскажешь больше: сможешь указать, что происходит вне области применимости изложенного лектором. "Опровергнуть" утверждение на 3-м уровне понимания означает, по-видимому, очертить область применимости утверждения и указать, что творится вне её.

Книжка Лакатоса, возможно, имеет отношение к теме; (в eqworld она есть на этой страничке; извините, если ссылки на эту книжку уже были, или если они тут неуместны). Читал её в школьном возрасте; тогда она произвела сильное впечатление, но теперь уже плохо помню суть, сформировалось только ощущение, что "доказать нигде ничего нельзя" и поэтому лучше говорить (в физике во всяком случае) не "докажем, что...", а менее ответственно: "покажем, что..." )

[upgrade]

arseniiv в сообщении #1286131 писал(а):

И такого навалом.

Значит доказано, что утверждение не истинно, т.е. лишь некоторые не доказанные утверждения считаются ложными пока не доказано обратное.

[arseniiv]

Cos(x-pi/2)
Какая хорошая цитата!

Cos(x-pi/2) в сообщении #1286136 писал(а):

"Опровергнуть" утверждение на 3-м уровне понимания означает, по-видимому, очертить область применимости утверждения и указать, что творится вне её.

Можно ещё предложить такое дополнение (как понял при чтении я): предположим, что в рассуждении вкралась самая незаметнейшая ошибка (отсюда можно протянуть мостик к фальсифицируемости) — тогда при третьем уровне понимания ты её сразу же заметишь и исправишь, если забыть о невнимательности.

Ещё вспоминается «понять теорему — значит, обобщить её», недавно на форуме упоминалось, но не помню чьё. Это явно требование довольно высокого уровня понимания, каждую теорему так слёту не обобщить (надо ещё причину этому увидеть!).

upgrade в сообщении #1286140 писал(а):

т.е. лишь некоторые не доказанные утверждения считаются ложными пока не доказано обратное

По-моему, в здравом уме никакой учёный и просто разумный человек не станет считать недоказанное утверждение и то, для которого доказано отрицание, одинаково ложными. Второе ложно уже «насовсем», с точностью только до ошибок в его опровержении, а первое может изменить статус.

Можно ввести некоторую иерархию аргументов, где аргументы ложности/истинности более высокого уровня переопределяют аргументы низкого (притом эта иерархия может в принципе быть частичным порядком, и даже чем-то ещё хуже, если мы хотим моделировать то, как оценивают утверждения люди). Дихотимия «ложно, и все вменяемые знают, что ложно»/«истинно, и все вменяемые знают, что истинно», очевидно, слабоприменима, и я не понимаю, чего тут спорить.

[Cos(x-pi/2)]

arseniiv в сообщении #1286142 писал(а):

Ещё вспоминается «понять теорему — значит, обобщить её»

arseniiv, да, и в книге "опровержение доказательств" обсуждается как раз в этом плане.

[dsge]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1286136 писал(а):

Лакатос в "Доказательствах и опровержениях" вспоминает(в примечании 44)
вот цитата в окружении сопутствующего текста, чтобы это примечание 44 было легче найти в книжке: Изображение
что Поппер дал классификацию уровней понимания.

Похоже на шутку, передразнивание Поппера. Шутка деликатно приводится в сноске и без точной ссылки.

[wrest]

arseniiv в сообщении #1286129 писал(а):

удивительно то, что никто в цепочке не мог остановиться.

Ну так холиворы они такие...

arseniiv в сообщении #1286142 писал(а):

По-моему, в здравом уме никакой учёный и просто разумный человек не станет считать недоказанное утверждение и то, для которого доказано отрицание, одинаково ложными.

Думаю, что послужившая стартом этого холивора фраза ("недоказанное ложно") была не то чтобы экстремизмом, а скорее описывается поговоркой "Ради красного словца не пожалеет и отца".

Так вот, характер этого "научного" холивора по тактике не сильно отличается от других, "ненаучных" холиворов (переход на личности, цепляние к словам, ссылки на авторитеты и т.п.), что как мне кажется показывает что люди есть люди -- хоть знающие про Поппера хоть нет.

-- 21.01.2018, 17:22 --

arseniiv в сообщении #1286129 писал(а):

удивительно то, что никто в цепочке не мог остановиться.

Ну так холиворы они такие...

arseniiv в сообщении #1286142 писал(а):

По-моему, в здравом уме никакой учёный и просто разумный человек не станет считать недоказанное утверждение и то, для которого доказано отрицание, одинаково ложными.

Думаю, что послужившая стартом этого холивора фраза ("недоказанное ложно") была не то чтобы экстремизмом, а скорее описывается поговоркой "Ради красного словца не пожалеет и отца".

Так вот, характер этого "научного" холивора по тактике не сильно отличается от других, "ненаучных" холиворов (переход на личности, цепляние к словам, ссылки на авторитеты и т.п.), что как мне кажется показывает что люди есть люди -- хоть знающие про Поппера хоть нет.

[arseniiv]

wrest в сообщении #1286152 писал(а):

что как мне кажется показывает что люди есть люди

Ну, этого никто пока действительно не отменял. Например, вероятно, вы не застали пропонирование Zealint одной позиции, но если интересно, можете покопать, а потом смотри́те, что он недавно написал.

[madschumacher]

pogulyat_vyshel в сообщении #1286089 писал(а):

Вы, вообще, математическую статью видели хоть раз?

А Вы полагаете, что не видел?
Хорошо, я открыл одну из директорий на своём ноуте, где хранятся статьи, которые мне были необходимы в той или иной момент жизни по теме регуляризации в обратных задачах. Просто случайно пролистав некоторые из них, следующая подборка получилась...

1)Эпохальнейшая работа:
А. В. Гончарский, А. С. Леонов, А. Г. Ягола, Обобщенный принцип невязки, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1973, том 13, номер 2, 294–302
8(!!!) ссылок на другие работы.

2) И. В. Кочиков, А. Н. Матвиенко, А. Г. Ягола, Обобщенный принцип невязки для решения несовместных уравнений, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1984, том 24, номер 7, 1087–1090.
Тоже 8 ссылок.

из более нового:
3) Qi-Nian Jin and Zong-Yi Hou // Inverse Problems 13 (1997) 815–827.
10 ссылок.

4) Barbara Kaltenbacher, Alana Kirchner and Boris Vexler // Inverse Problems 27 (2011) 125008 (28pp)
27 ссылок. Видимо, к 2011 году это поле стало всё же более исследованным, поэтому набралось почти 30(!) работ, которые пришлось процитировать (кст, ни одной ссылки на первые 2 статьи, да и вообще, в этой статье была только 1 ссылка на статью МГУшной школы обратных задач, причём в описанной статье 1992 года было всего 7 ссылок).

Для сравнения, работа 70-х в не-математических областях может иметь, например, 25 ссылок:
G. L. BLACKMAN: K. BOLTON, R. D. BROWN, F. R. BURDEN, AND A. MISHRA // JOURNAL OF MOLECULAR SPECTROSCOPY 47, 4574.68 (1973)
А более современные статьи, типа
Jernej Stare, Janez Mavri, Joze Grdadolnik, Jernej Zidar, Zvonimir B. Maksic, and Robert Vianello // J. Phys. Chem. B 2011, 115, 5999–6010
могут иметь более 100 ссылок на другие работы.

pogulyat_vyshel в сообщении #1286089 писал(а):

И Гинзбург критиковал Куна за дурацкие высказывания по поводу теории относительности

В СССР вообще любили критиковать различные буржуазные теории, совершенно не вникая в их суть, и цепляясь за определённые фразы (хотя те могли быть всего-лишь порождением ума переводчика).

pogulyat_vyshel в сообщении #1286089 писал(а):

В этом-то и проблелма, что методологи науки всевозможные , они ни малейшего представления не имеют о предмете, о котором говорят

ооо, Вы мне так льстите. Пожалуйста, сообщите, на которой из ступеней невежества (по Вашему мнению) я нахожусь (например, закончил филфак заборостроительного университета Мухокалска со степенью бакалавра по политомеханике, ну и т.д.)? Мне правда интересно, вдруг, мне стоит поменять свою профессиональную сферу деятельности. У Вас есть предложения?

[g______d]

madschumacher в сообщении #1285857 писал(а):

Не, мнение у естественников о наукометрии тоже схожее: плохо, когда этим инструментом делают что-то не то. Не любят, например, какие-нибудь физхимики, когда их сравнивают с клеточными биологами.

Не уверен, что это не оффтоп, но мне кажется, что это должно быть произнесено. Разумеется, сравнивать учёного/результат из области А с областью Б на основе наукометрии бессмысленно. Из этого многие делают ошибочный вывод, что можно получить какие-то содержательные результаты, сравнивая учёных из области А с учёными из области А. Далеко не всегда.

В частности, не-математики иногда пытаются сравнивать математиков друг с другом по наукометрическим показателям, упуская из виду, что профессиональный математик может судить о значимости математических работ (для математики) заведомо более компетентно, чем не-математик. Даже внутри математики алгебраист не станет сравнивать двух топологов по цитированиям, а в первую очередь спросит других топологов. Другими словами, $\text{экспертное мнение}>>\text{циферки}$. Исключение -- алгебраист может оценить значимость пограничной работы (алгебры/топологии) для алгебры или для математики в целом, если примерно знаком с состоянием топологии, но не является профессиональным топологом (не имеет работ по топологии).

Единственное, что внешний человек имеет шанс адекватно понять -- это значимость той или иной математической работы для его вне-математической области, но такие вещи почти всегда относятся к applied mathematics, у которой критерии значимости и профессиональное сообщество абсолютно другие, и сравнивать их с чистыми математиками, которые доказывают теоремы, ещё хуже. В частности, критерии новизны и значимости (с) в области applied math намного ближе к области приложения, чем к самой математике.

-- Вс, 21 янв 2018 12:49:26 --

madschumacher в сообщении #1285806 писал(а):

Именно поэтому математические и гуманитарные журналы проигрывают по всяким показателям, типа импакт-фактора, научным областям, той же Физике.

Мне не очевидно, что можно проигрывать, не играя в игру.

[madschumacher]

g______d в сообщении #1286283 писал(а):

Мне не очевидно, что можно проигрывать, не играя в игру.

Нет, естественно, слово "проигрыш" имело смысл "больше/меньше", а не несло никаких оценок плана "хорошо/плохо". Только лишь, что по формальным статистическим критериям имеется схожесть одних областей с другими, не более того.

Действительно, некрасиво выразился. Прошу прощения.

[pogulyat_vyshel]

madschumacher в сообщении #1286248 писал(а):

8(!!!) ссылок на другие работы.

Вы , ведь, не про количество ссылок как таковое говорили? Вы говорили, что в математических статьях ссылок мало потому, что математики предпочитают выводить все заново, а не ссылаться, не так ли?

pogulyat_vyshel в сообщении #1286089 писал(а):

там люди предпочитают заново выводить все результаты, делая минимальное число ссылок.

Так вот, в математических статьях "заново" ни чего не выводят, там выводят новые результаты, а на известные ссылаются по мере надобности.

madschumacher в сообщении #1286248 писал(а):

МГУшной школы обратных задач

А это что за зверь такой? Если говорить о каких-то сообществах, то разумно говорить, например, о московских сообществах по мат. физике, динамическим системам, обратным задачам(с этой тусовкой я совершенно не знаком, слышал только что большим классиком там является Прилепко) функану и т. д.
Эти сообщества группируются вокруг семинаров, а не по месту работы, семинары работают в разных институтах, и люди на них собираются тоже из разных институтов. Не угадываете.

[madschumacher]

pogulyat_vyshel в сообщении #1286307 писал(а):

Вы говорили, что в математических статьях ссылок мало потому, что математики предпочитают выводить все заново, а не ссылаться, не так ли?

Я это взял не из головы, а из какого-то интервью. За давностью лет и объемностью интернета, мне сложно откопать источник. За это мне очень стыдно.

pogulyat_vyshel в сообщении #1286307 писал(а):

Вы , ведь, не про количество ссылок как таковое говорили?

Главное было в количестве ссылок, а не в выведении результатов заново, не надо передёргивать.

pogulyat_vyshel в сообщении #1286307 писал(а):

а на известные ссылаются по мере надобности.

Вот, эта "мера необходимости" в Математике очень существенно отличается от других областей знания, именуемых "Наукой".

pogulyat_vyshel в сообщении #1286307 писал(а):

А это что за зверь такой?

(дисклеймер)

дальше пойдёт сказочка, детали могут быть немного искажены.

Жил да был такой Математик, работавший в МГУ, Тихонов, Андрей Николаевич. Он был очень крутой, и даже основал один из крутейших факультетов МГУ (ВМК) (прям как Гриффиндор и КО).
Его очень бесили физики со своими некорректно поставленными задачами (обратные задачи -- это наиболее частый представитель этого ужаса), и он придумал для них, неразумных, метод регуляризации. Ну вот, и те люди, тусовавшиеся вокруг А.Н.Т., которые далее над этой темой работали, и наработали кучу всего хорошего (в частности, обобщённый принцип невязки), и составляют эту самую школу. Сейчас остатки всего этого великолепия, насколько мне известно, обитают на кафедре математики физфака МГУ и в НИВЦ. Привязанность школы к МГУ диктуется только тем, что оттуда у неё растёт всё, и что бОльшая часть народу имела соответствующую аффилиацию.

[realeugene]

mihaild в сообщении #1285186 писал(а):

Поля форума слишком узки.

Ваши рассуждения, повторённые $2^{1000000}$ раз, приводят к некорректным результатам. Что говорит о неприменимости ваших формальных рассуждений к реальным тестам. Ваша ошибка в том, что рассматривая $2^{1000000}$ строк вы всё равно проводите ровно один тест. Проверяя, что выпадет одна строка из подмножества мощностью $2^{1000000}$ строк. Вероятность случайного совпадения с одной строкой из этого подмножества, пожалуйста, посчитайте сами. Она вовсе не $2^{-1000000}$.

[Someone]

realeugene в сообщении #1286343 писал(а):

Ваши рассуждения, повторённые $2^{1000000}$ раз, приводят к некорректным результатам.

Однако причиной этого является не рассуждение mihaild, а так понравившееся Вам эффектное утверждение "всё недоказанное ложно", которое в действительности просто подменяет понятия.

[mihaild]

realeugene, на самом деле можно еще проще (я как-то пропустил, что на вероятность никто внимания не обращал).
Никто не доказал, что при следующем броске выпадет орел - следовательно, утверждение "выпадет орел" ложно.
Никто не доказал, что при следующем броске выпадет решка - следовательно, утверждение "выпадет решка" ложно.
Тавтология исчисления высказываний: $\neg A \wedge \neg B \rightarrow \neg (A \vee B)$.
Подставляем, получается "утверждение (выпадет орел или выпадет решка) ложно".
Я готов поставить на то, что оно истинно, в отношением ставок 1:1. Согласны?