3-я космическая. Опять 4 разных ответа.

[Cos(x-pi/2)]

ludwig51 в сообщении #1266128 писал(а):

А можно по вашей теории вычислить параметры орбиты ($\varepsilon ,a$) ракеты в системе Солнца, если ракета стартует с Земли со второй космической скоростью ($11,2km/c$)в направлении совпадающем с вектором скорости Земли относительно Солнца?

ludwig51
Так ведь здесь нет никакой "моей (вашей, нашей и т.п. :-)) теории", кроме обычной механики Ньютона. Речь шла о тех задачках, которые можно решить, не решая уравнения движения, а пользуясь только законами сохранения.

Насколько я понял, Вы спрашиваете о параметрах некоей эллиптической орбиты. Но в поле одновременно и Земли и Солнца орбита ракеты не будет эллипсом. Лишь если приближённо заменить Землю и Солнце одной материальной точкой или вообще пренебречь наличием Земли, то в таком приближении орбита ракеты становится эллипсом, и параметры этого эллипса несложно найти из законов сохранения энергии и момента импульса. Такая оценка, т.е. без учёта поля Земли, показывает, если я не ошибся, что эллипс получается довольно-таки вытянутый: наибольшее расстояние ракеты от Солнца почти в 22 раза больше наименьшего расстояния (по условию вашей задачи примерно равного радиусу примерно круговой орбиты Земли).

[ludwig51]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1266238 писал(а):

расстояние ракеты от Солнца почти в 22 раза больше наименьшего расстояния (по условию вашей задачи примерно равного радиусу примерно круговой орбиты Земли).

У меня другой результат. При выходе ракеты из поля тяготения Земли.
расстояние ракеты в апогее от Солнца примерно в 6,9 раза больше расстояния в перигее (примерно равного радиусу круговой орбиты Земли)
$\varepsilon =0,746;\,a=5,9\,10^8\,km
Для такого вывода нет необходимости решать дифференциальные уравнения по законам Ньютона.
Достаточно ЗСЭ при выходе ракеты из поля тяготения Земли.
$\frac{V_2^2}{2}\approx \frac{(V_0+V_1)^2}{2}-V_{2k}^2$
погрешность этой формулы $\approx 1 $ процент
Обозначения :
$V_2$ - скорость ракеты в системе Солнца на момент выхода ракеты из поля тяготения Земли
$V_0$ - стартовая скорость ракеты относительно Земли
$V_1\approx 30km/c$ - круговая скорость Земли в системе Солнца
$V_{2k}\approx 11,2km/c $ - вторая космическая скорость в системе Земли.

[Cos(x-pi/2)]

ludwig51 в сообщении #1266128 писал(а):

вычислить параметры орбиты ($\varepsilon ,a$) ракеты в системе Солнца, если ракета стартует с Земли со второй космической скоростью ($11,2km/c$) в направлении совпадающем с вектором скорости Земли относительно Солнца?

ludwig51 в сообщении #1266422 писал(а):

Достаточно ЗСЭ при выходе ракеты из поля тяготения Земли.
$\frac{V_2^2}{2}\approx \frac{(V_0+V_1)^2}{2}-V_{2k}^2$

Возможно, я плохо соображаю и поэтому не могу сходу понять смысл этого уравнения а также смысл слов "при выходе ракеты из поля тяготения Земли". И поэтому ваше уравнение ЗСЭ у меня вызывает сомнения. Если Вас не затруднит, напишите, пожалуйста, ЗСЭ так, чтобы в нём были видны массы всех учтённых тел, и чтобы была видна зависимость потенциальной энергии ракеты от расстояния до учитываемых вами массивных тел; подробная запись поспособствует ясной интерпретации отдельных слагаемых и тем самым проверке уравнения.

Начало, наверное, должно быть вот каким. Поскольку по условию вашей задачи $V_0=V_{2k},$ то стартовая кинетическая энергия ракеты массой $m$ относительно неподвижного Солнца есть

$\frac{m(V_{2k}+V_1)^2}{2}.$

Что Вы к этому прибавляете, чтобы учесть притяжение ракеты к Солнцу (и к Земле?) в начальный момент? И как записываете аналогичные слагаемые для энергии ракеты в момент её наибольшего удаления от Солнца? Разве масса Солнца не должна войти в ответ (помимо того, что от неё зависит $V_1)?$

[ludwig51]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1266438 писал(а):

Если Вас не затруднит, напишите, пожалуйста, ЗСЭ так, чтобы в нём были видны массы всех учтённых тел, и чтобы была видна зависимость потенциальной энергии ракеты от расстояния до учитываемых вами массивных тел.

Пожалуйста.

ludwig51 в сообщении #1259969 писал(а):

Uchitel'_istorii

Решение в проекциях на оси координат системы Солнца.
Получим два скалярных уравнения.
$\ddot{x}_2=-\frac{\gamma M_sx_2}{r_2^3}-\frac{\gamma M_e(x_2-x_1)}{r_{12}^3}\,(1)$
$\ddot{y}_2=-\frac{\gamma M_sy_2}{r_2^3}-\frac{\gamma M_e(y_2-y_1)}{r_{12}^3}\,(2)$

Из (1) и (2) получаем ЗСЭ и ЗСМИ, учитывая начальные условия.
ЗСЭ:

$$\frac{V_2^2}{2}=\frac{(V_0+V_1)^2}{2}-V_1^2\left (1-\frac{R_1}{r_2}\right )-V_{1k}^2\left ( 1-\frac{R_e}{r_{12}} \right )\,(3)$$

ЗСМИ:
$r_2^2\omega _2=R_1(V_0+V_1)\,(4)$


Квадрат расстояния от Земли до ракеты:
$r_{12}^2=R_1^2+r_2^2-2R_1r_2\cos(\varphi _2-\varphi _1)\,(5)$
Обозначения:
$ M_s$ - масса Солнца
$ M_e$ - масса Земли
$\varphi _1=\omega _1t$ - угол поворота радиус-вектора Земли в системе координат Солнца
$\varphi _2=\omega _2t$ - угол поворота радиус-вектора ракеты в системе координат Солнца
В последнем слагаемом (3) имеется $\frac{R_e}{r_{12}}$
Это коэффициент радиуса действия Земли. Примем его равным 0,001.
Радиус действия Земли $R_d=1000R_e$
Тогда при выходе ракеты из поля тяготения Земли $r_2\approx R_1$
И из (3) получаем формулу, которую я привёл в предыдущем посте.

[Cos(x-pi/2)]

ludwig51
Спасибо Вам за ваши труды.

Но как я ничего не понимал в предыдущем уравнении ЗСЭ, так не понимаю и в новом. Я думал, Вы находите параметры орбиты ракеты вокруг Солнца, считая орбиту приблизительно эллиптической (а иначе, не знаю, что такое упомянутые вами параметры ($\varepsilon ,a)).$ Тогда ответ должен был бы зависеть от массы Солнца. Длина эллипса $2a$ определялась бы как сумма наименьшего и наибольшего расстояний от ракеты до Солнца. Но в вашей записи ЗСЭ мне по-прежнему не видно массы Солнца; как Вы находите наибольшее расстояние от ракеты до Солнца (и находите ли его вообще) я тоже не понял; что такое "коэффициент радиуса действия Земли", каюсь, не знаю. Поэтому, с вашего позволения, выхожу из обсуждения этой задачи.

[ludwig51]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1267076 писал(а):

Поэтому, с вашего позволения, выхожу из обсуждения этой задачи.

Пожалуйста, не надо выходить из обсуждения.
Я распишу подробнее выводы ЗСЭ и ЗСМИ, в которых явно будут видны массы Солнца и Земли.
И на все остальные вопросы я отвечу.
Для начала вопрос. Вам понятны уравнения (1) и (2) по законам Ньютона в проекциях ?

[Cos(x-pi/2)]

ludwig51, уравнения (1) и (2) понятны. Пропущенные дальнейшие выкладки мне не ясны.

[ludwig51]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1267284 писал(а):

ludwig51, уравнения (1) и (2) понятны. Пропущенные дальнейшие выкладки мне не ясны.

Провожу выводы подробно.
Часть 1.

$\ddot{x}_2=-\frac{\gamma M_sx_2}{r_2^3}-\frac{\gamma M_e(x_2-x_1)}{r_{12}^3}\,(1)$
$\ddot{y}_2=-\frac{\gamma M_sy_2}{r_2^3}-\frac{\gamma M_e(y_2-y_1)}{r_{12}^3}\,(2)$
ЗСЭ:

$$\frac{V_2^2}{2}=\frac{(V_0+V_1)^2}{2}-V_1^2\left (1-\frac{R_1}{r_2}\right )-V_{1k}^2\left ( 1-\frac{R_e}{r_{12}} \right )\,(3)$$

ЗСМИ:
$r_2^2\omega _2=R_1(V_0+V_1)\,(4)$

Подробный вывод уравнений (3) и (4) из (1) и(2)
Проинтегрируем уравнения (1) по $dx_2, (2) по dy_2$:
$\frac{\dot{x_2}^2}{2}=-\gamma M_s\int \frac{x_2dx_2}{r_2^3}-\gamma M_e\int \frac{(x_2-x_1)dx_2}{r_{12}^3}\,(5)$
$\frac{\dot{y_2}^2}{2}=-\gamma M_s\int \frac{y_2dx_2}{r_2^3}-\gamma M_e\int \frac{(y_2-y_1)dy_2}{r_{12}^3}\,(6)$

$\int \ddot{z}dz=\int \frac{d\dot{z}}{dt}dz=\int \frac{dz}{dt}d\dot{z}=\int \dot{z}d\dot{z}=\frac{\dot{z}^2}{2} $
Сложим (5) и (6)
$\frac{V_2^2}{2}=-\gamma M_s\int \frac{x_2dx_2+y_2dy_2}{r_2^3}-\gamma M_e\int \frac{(x_2-x_1)dx_2+(y_2-y_1)dy_2}{r_{12}^3}\,(7) $
В (7) - полные дифференциалы:
$x_2dx_2+y_2dy_2=r_2dr_2 $
$(x_2-x_1)dx_2+(y_2-y_1)dy_2= r_{12}d r_{12}$
В последнем выражении учтено, что ракета не притягивает Землю.
Подставим выражения для полных дифференциалов в (7):
$\frac{V_2^2}{2}=-\gamma M_s\int \frac{dr_2}{r_2^2}-\gamma M_e\int \frac{ d r_{12}}{r_{12}^2}\,(8)$

$\frac{V_2^2}{2 }=\frac{\gamma M_s }{r_2 }+\frac{\gamma M_e }{r_{12}}+C_1\,(9)$
Постоянную интегрирования $C_1$ находим из начальных условий.
$V_2(0)=V_0+V_1, r_2(0)=R_1, r_{12}(0)=R_e$
Подставим начальные условия в (9) и найдём $C_1$
$\frac{(V_0+V_1)^2}{2 }=\frac{\gamma M_s }{R_1 }+\frac{\gamma M_e }{R_e}+C_1$
$C_1=\frac{(V_0+V_1)^2}{2 }- \frac{\gamma M_s }{R_1 }-\frac{\gamma M_e }{R_e}$
Подставим $C_1$ в (9) и найдём интеграл энергии (тождественно ЗСЭ)
$\frac{V_2^2}{2 }=\frac{\gamma M_s }{r_2 }+\frac{\gamma M_e }{r_{12}}+ \frac{(V_0+V_1)^2}{2 }- \frac{\gamma M_s }{R_1 }-\frac{\gamma M_e }{R_e}\,(10) $
Запишем (10) в более понятном виде. Полная начальная энергия ракеты равна полной энергии в любой момент времени.
$\frac{(V_0+V_1)^2}{2 }- \frac{\gamma M_s }{R_1 }-\frac{\gamma M_e }{R_e}=\frac{V_2^2}{2 }-\frac{\gamma M_s }{r_2 }-\frac{\gamma M_e }{r_{12}}$

Из (10) получим наше уравнение (3)
Слагаемые в правой части (10)
$\frac{\gamma M_s }{r_2 }=\frac{\gamma M_s }{r_2 }\frac{R_1 }{R_1}=\frac{\gamma M_s }{R_1 }\frac{R_1 }{r_2}=V_1^2\frac{R_1 }{r_2}$

$\frac{\gamma M_e }{r_{12}}=\frac{\gamma M_e }{r_{12}}\frac{R_e }{R_e}=V_{1k}^2\frac{R_e }{r_{12}}$

$\frac{\gamma M_s }{R_1 }=V_1^2$

$\frac{\gamma M_e }{R_e}=V_{1k}^2$

Подставим все это слагаемые в (10) и получим наше уравнение (3)

Уважаемый Cos(x-pi/2)
Если всё в этой части понятно, то я продолжу.
Если не всё понятно, то жду вопросы.

(Оффтоп)

Извините, что долго не отвечал. У нас в доме капитальный ремонт. Отключили телефон и интернет. Пришлось купить карту мобилку для моего смартфона. И смартфон подключать к моему компьютеру.

[Cos(x-pi/2)]

Уважаемый ludwig51, большое спасибо.

Вывод ЗСЭ в виде (10) понятен.

(В такой явной форме ЗСЭ был понятен с самого начала; можно было бы его и не выводить заново, а сказать только, что мы решили энергию Земли в поле тяготения Солнца считать постоянной и поэтому не включаем её в рассматриваемый ЗСЭ, так как можно считать, что ракета не притягивает Землю).

В форме (3) ЗСЭ теперь тоже полностью понятен, поскольку Вы теперь привели явное выражение для обозначения $V_{1k}^2.$

Если вернуться к Вашему сообщению post1266794.html#p1266794 , то у меня остаются вот какие вопросы:

ludwig51 в сообщении #1266794 писал(а):

В последнем слагаемом (3) имеется $\frac{R_e}{r_{12}}.$ Это коэффициент радиуса действия Земли. Примем его равным 0,001.

а) Как Вы обосновываете возможность руками задавать значение этого слагаемого? Ведь расстояние $r_{12}(t)$ ракеты от Земли не есть произвольный параметр: для каждого момента времени оно, как и $r_2(t),$ определяется уравнениями движения ракеты в поле тяготения Солнца и Земли (при заданных в задаче начальных условиях).

ludwig51 в сообщении #1266794 писал(а):

Тогда при выходе ракеты из поля тяготения Земли $r_2\approx R_1$

б) К этому утверждению у меня аналогичный вопрос: из какой формулы берётся равенство $r_2\approx R_1?$

ludwig51 в сообщении #1266794 писал(а):

И из (3) получаем формулу, которую я привёл в предыдущем посте.

в) Сходу не услежу, как остающаяся у Вас в (3) величина $V_{1k}^2$ сводится к $V_{2k}^2$ в упомянутом Вами "предыдущем посте":

ludwig51 в сообщении #1266422 писал(а):

Достаточно ЗСЭ при выходе ракеты из поля тяготения Земли.
$\frac{V_2^2}{2}\approx \frac{(V_0+V_1)^2}{2}-V_{2k}^2$
погрешность этой формулы $\approx 1 $ процент

г) И поясните, пожалуйста, как Вы определяете ($\varepsilon ,a)?$

(Оффтоп)

За долгое (или не очень) отсутствие на форуме, пожалуйста, не извиняйтесь. И не торопитесь с ответами, если они в ущерб Вашим делам. Ведь никто из нас не обязан здесь постоянно "дежурить"и писать ответ моментально. (Жизнь мной тоже иной раз распоряжается так, что бывает не до интернета.)

[ludwig51]

Cos(x-pi/2)
На все ваши вопросы ответ из этого уравнения:
Квадрат расстояния от Земли до ракеты:
$r_{12}^2=R_1^2+r_2^2-2R_1r_2\cos(\varphi _2-\varphi _1)$
Из нашего главного уравнения (3)

$$\frac{V_2^2}{2}=\frac{(V_0+V_1)^2}{2}-V_1^2\left (1-\frac{R_1}{r_2}\right )-V_{1k}^2\left ( 1-\frac{R_e}{r_{12}} \right )\,(3)$$

выбираем компромис, чтобы не использовать ЗСМИ и для упрощения решения нашей упрощенной задачи трёх тел.
Радиус действия Земли можно не использовать. В нашем случае незачем вводить лишние понятия.
Но примем удаление ракеты от Земли в 1000 раз больше радиуса Земли.
В этом случае потенциальной энергией Земли в формуле ЗСЭ можно пренебречь.
То есть можно сказать, что ракета практически вышла из поля тяготения Земли.
И оказалась только в поле тяготения Солнца.
Используем формулу квадрат расстояния от Земли до ракеты для $r_{12}=1000R_e$
Подставляем все наши данные в эту формулу и получаем с очень большой точностью:
$r_{12}=R_1$

Итак после выхода ракеты из поля тяготения Земли мы имеем задачу двух тел с начальными условиями в точке перигелия в системе Солнца:
$r_2(0)\approx R_1$
Из (3):
$\frac{V_2^2(0)}{2}=\frac{(V_0+V_1)^2}{2}-V_{1k}^2$

$V_2^2(0)=(V_0+V_1)^2-2V_{1k}^2$

$V_2^2(0)=(V_0+V_1)^2-V_{2k}^2$

Мой пример был для $V_0=11,2 km/s$
Тогда $V_2(0)\approx39,6km/s$
Параметры орбиты ракеты в системе Солнца:
$\varepsilon =V_2^2/V_1^2-1\approx 0,75$
$a=\frac{R_1}{(1-\varepsilon )}\approx 5,9\,10^8 \,km$

[Cos(x-pi/2)]

ludwig51
К сожалению, с выводами Вашего последнего сообщения не могу согласиться. Сейчас поясню почему, но прежде отмечу, что Ваша формула из последнего сообщения

ludwig51 в сообщении #1268112 писал(а):

Из (3):
$\frac{V_2^2(0)}{2}=\frac{(V_0+V_1)^2}{2}-V_{1k}^2$

противоречит Вашей формуле (о сомнительности которой я Вам говорил раньше):

ludwig51 в сообщении #1266422 писал(а):

Достаточно ЗСЭ при выходе ракеты из поля тяготения Земли.
$\frac{V_2^2}{2}\approx \frac{(V_0+V_1)^2}{2}-V_{2k}^2$

Жаль, что Вы не даёте комментария о наличии опечатки.

Теперь о более серьёзном недостатке. При выводе ЗСЭ (10) Вы уже учли начальные условия, которые мы можем назвать точными:

ludwig51 в сообщении #1267959 писал(а):

Постоянную интегрирования $C_1$ находим из начальных условий.
$V_2(0)=V_0+V_1, r_2(0)=R_1, r_{12}(0)=R_e$

Это хорошо. Но затем, после того как Вы пренебрегли в равенстве (3) (которое было точным ЗСЭ (10), записанным в "скоростных" обозначениях) слагаемым $R_e/r_{12},$ Вы и приближённое равенство подчиняете прежнему начальному условию $r_2(0)\approx R_1$. Этот шаг, на мой взгляд сомнительный, приводит Вас к новому равенству для $V_2(0),$ противоречащему ранее использованному $V_2(0)=V_0+V_1:$

ludwig51 в сообщении #1268112 писал(а):

$V_2^2(0)=(V_0+V_1)^2-V_{2k}^2$

Наверное, этого противоречия между двумя формулами для $V_2(0)$ можно избежать, если во второй из них обозначить момент времени не нулём, а как-то иначе, например так: $V_2(t_1).$ Но в этот новый начальный момент времени ракета ещё не достигла апогелия афелия (ведь у Вас ракета в момент $t_1$ находится на расстоянии всего лишь $r_2(t_1) \approx R_1$ от Солнца), направление вектора её скорости $\vec{V}_2(t_1)$ не обязано быть перпендикулярным направлению на Солнце, и как по этой скорости определять параметры орбиты - мне непонятно. Поясните, пожалуйста, откуда следует применённая Вами формула $\varepsilon =V_2^2/V_1^2-1 \, ?$

[Someone]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1268219 писал(а):

не достигла апогелия

…афелия

[Cos(x-pi/2)]

Someone, да, спасибо, исправил.

[Cos(x-pi/2)]

ludwig51
Прошу меня извинить: сомнения насчёт вашей формулы для $\varepsilon$ отпали, ваша формула правильная. Просто я не сразу заметил, что это не общая формула (со скоростями в перигелии и афелии, как мне подумалось), а специальная. Она применима именно в вашей "задаче двух тел" со специальной начальной скоростью, квадрат которой есть $V_2^2=(V_0+V_1)^2-V_{2k}^2\,,$ причём, в предположении, что эта скорость относится к точке перигелия ракеты на расстоянии $R_1$ от Солнца. У меня для такой задачи с $V_0=V_{2k}$ получилась чуть более простая формула: $\varepsilon = 2V_{2k}/V_1.$ Ваша к ней сводится.

[ludwig51]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1268349 писал(а):

У меня для такой задачи с $V_0=V_{2k}$ получилась чуть более простая формула: $\varepsilon = 2V_{2k}/V_1.$ Ваша к ней сводится.

Да, более простая формула для нашей задачи.
А общая формула для задачи двух тел:

$$\varepsilon =\frac{V_p^2}{\frac{\gamma M}{R_p}}-1$$

Имеются ещё вопросы к нашей задаче?

P.S.
Из диалога в другой теме (движение по окружности) выяснилось, что в формуле ЗСМИ я сделал ошибку.
Вместо $\omega _2$ должно быть $\dot{\varphi} _2$