2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.
 
 Re: 3-я космическая. Опять 4 разных ответа.
Сообщение17.11.2017, 23:25 
Заслуженный участник


29/09/14
766
ludwig51 в сообщении #1266128 писал(а):
А можно по вашей теории вычислить параметры орбиты ($\varepsilon ,a$) ракеты в системе Солнца, если ракета стартует с Земли со второй космической скоростью ($11,2km/c$)в направлении совпадающем с вектором скорости Земли относительно Солнца?

ludwig51
Так ведь здесь нет никакой "моей (вашей, нашей и т.п. :-)) теории", кроме обычной механики Ньютона. Речь шла о тех задачках, которые можно решить, не решая уравнения движения, а пользуясь только законами сохранения.

Насколько я понял, Вы спрашиваете о параметрах некоей эллиптической орбиты. Но в поле одновременно и Земли и Солнца орбита ракеты не будет эллипсом. Лишь если приближённо заменить Землю и Солнце одной материальной точкой или вообще пренебречь наличием Земли, то в таком приближении орбита ракеты становится эллипсом, и параметры этого эллипса несложно найти из законов сохранения энергии и момента импульса. Такая оценка, т.е. без учёта поля Земли, показывает, если я не ошибся, что эллипс получается довольно-таки вытянутый: наибольшее расстояние ракеты от Солнца почти в 22 раза больше наименьшего расстояния (по условию вашей задачи примерно равного радиусу примерно круговой орбиты Земли).

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-я космическая. Опять 4 разных ответа.
Сообщение18.11.2017, 17:00 


22/11/13
139
Cos(x-pi/2) в сообщении #1266238 писал(а):
расстояние ракеты от Солнца почти в 22 раза больше наименьшего расстояния (по условию вашей задачи примерно равного радиусу примерно круговой орбиты Земли).

У меня другой результат. При выходе ракеты из поля тяготения Земли.
расстояние ракеты в апогее от Солнца примерно в 6,9 раза больше расстояния в перигее (примерно равного радиусу круговой орбиты Земли)
$\varepsilon =0,746;\,a=5,9\,10^8\,km
Для такого вывода нет необходимости решать дифференциальные уравнения по законам Ньютона.
Достаточно ЗСЭ при выходе ракеты из поля тяготения Земли.
$\frac{V_2^2}{2}\approx \frac{(V_0+V_1)^2}{2}-V_{2k}^2$
погрешность этой формулы $\approx 1 $ процент
Обозначения :
$V_2$ - скорость ракеты в системе Солнца на момент выхода ракеты из поля тяготения Земли
$V_0$ - стартовая скорость ракеты относительно Земли
$V_1\approx 30km/c$ - круговая скорость Земли в системе Солнца
$V_{2k}\approx 11,2km/c $ - вторая космическая скорость в системе Земли.

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-я космическая. Опять 4 разных ответа.
Сообщение18.11.2017, 18:05 
Заслуженный участник


29/09/14
766
ludwig51 в сообщении #1266128 писал(а):
вычислить параметры орбиты ($\varepsilon ,a$) ракеты в системе Солнца, если ракета стартует с Земли со второй космической скоростью ($11,2km/c$) в направлении совпадающем с вектором скорости Земли относительно Солнца?

ludwig51 в сообщении #1266422 писал(а):
Достаточно ЗСЭ при выходе ракеты из поля тяготения Земли.
$\frac{V_2^2}{2}\approx \frac{(V_0+V_1)^2}{2}-V_{2k}^2$

Возможно, я плохо соображаю и поэтому не могу сходу понять смысл этого уравнения а также смысл слов "при выходе ракеты из поля тяготения Земли". И поэтому ваше уравнение ЗСЭ у меня вызывает сомнения. Если Вас не затруднит, напишите, пожалуйста, ЗСЭ так, чтобы в нём были видны массы всех учтённых тел, и чтобы была видна зависимость потенциальной энергии ракеты от расстояния до учитываемых вами массивных тел; подробная запись поспособствует ясной интерпретации отдельных слагаемых и тем самым проверке уравнения.

Начало, наверное, должно быть вот каким. Поскольку по условию вашей задачи $V_0=V_{2k},$ то стартовая кинетическая энергия ракеты массой $m$ относительно неподвижного Солнца есть

$\frac{m(V_{2k}+V_1)^2}{2}.$

Что Вы к этому прибавляете, чтобы учесть притяжение ракеты к Солнцу (и к Земле?) в начальный момент? И как записываете аналогичные слагаемые для энергии ракеты в момент её наибольшего удаления от Солнца? Разве масса Солнца не должна войти в ответ (помимо того, что от неё зависит $V_1)?$

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-я космическая. Опять 4 разных ответа.
Сообщение19.11.2017, 14:45 


22/11/13
139
Cos(x-pi/2) в сообщении #1266438 писал(а):
Если Вас не затруднит, напишите, пожалуйста, ЗСЭ так, чтобы в нём были видны массы всех учтённых тел, и чтобы была видна зависимость потенциальной энергии ракеты от расстояния до учитываемых вами массивных тел.

Пожалуйста.
ludwig51 в сообщении #1259969 писал(а):
Uchitel'_istorii

Решение в проекциях на оси координат системы Солнца.
Получим два скалярных уравнения.
$\ddot{x}_2=-\frac{\gamma M_sx_2}{r_2^3}-\frac{\gamma M_e(x_2-x_1)}{r_{12}^3}\,(1)$
$\ddot{y}_2=-\frac{\gamma M_sy_2}{r_2^3}-\frac{\gamma M_e(y_2-y_1)}{r_{12}^3}\,(2)$


Из (1) и (2) получаем ЗСЭ и ЗСМИ, учитывая начальные условия.
ЗСЭ:
$$\frac{V_2^2}{2}=\frac{(V_0+V_1)^2}{2}-V_1^2\left (1-\frac{R_1}{r_2}\right )-V_{1k}^2\left ( 1-\frac{R_e}{r_{12}} \right )\,(3)$$
ЗСМИ:
$r_2^2\omega _2=R_1(V_0+V_1)\,(4)$


Квадрат расстояния от Земли до ракеты:
$r_{12}^2=R_1^2+r_2^2-2R_1r_2\cos(\varphi _2-\varphi _1)\,(5)$
Обозначения:
$ M_s$ - масса Солнца
$ M_e$ - масса Земли
$\varphi _1=\omega _1t$ - угол поворота радиус-вектора Земли в системе координат Солнца
$\varphi _2=\omega _2t$ - угол поворота радиус-вектора ракеты в системе координат Солнца
В последнем слагаемом (3) имеется $\frac{R_e}{r_{12}}$
Это коэффициент радиуса действия Земли. Примем его равным 0,001.
Радиус действия Земли $R_d=1000R_e$
Тогда при выходе ракеты из поля тяготения Земли $r_2\approx R_1$
И из (3) получаем формулу, которую я привёл в предыдущем посте.

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-я космическая. Опять 4 разных ответа.
Сообщение19.11.2017, 22:54 
Заслуженный участник


29/09/14
766
ludwig51
Спасибо Вам за ваши труды.

Но как я ничего не понимал в предыдущем уравнении ЗСЭ, так не понимаю и в новом. Я думал, Вы находите параметры орбиты ракеты вокруг Солнца, считая орбиту приблизительно эллиптической (а иначе, не знаю, что такое упомянутые вами параметры ($\varepsilon ,a)).$ Тогда ответ должен был бы зависеть от массы Солнца. Длина эллипса $2a$ определялась бы как сумма наименьшего и наибольшего расстояний от ракеты до Солнца. Но в вашей записи ЗСЭ мне по-прежнему не видно массы Солнца; как Вы находите наибольшее расстояние от ракеты до Солнца (и находите ли его вообще) я тоже не понял; что такое "коэффициент радиуса действия Земли", каюсь, не знаю. Поэтому, с вашего позволения, выхожу из обсуждения этой задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-я космическая. Опять 4 разных ответа.
Сообщение20.11.2017, 13:05 


22/11/13
139
Cos(x-pi/2) в сообщении #1267076 писал(а):
Поэтому, с вашего позволения, выхожу из обсуждения этой задачи.

Пожалуйста, не надо выходить из обсуждения.
Я распишу подробнее выводы ЗСЭ и ЗСМИ, в которых явно будут видны массы Солнца и Земли.
И на все остальные вопросы я отвечу.
Для начала вопрос. Вам понятны уравнения (1) и (2) по законам Ньютона в проекциях ?

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-я космическая. Опять 4 разных ответа.
Сообщение20.11.2017, 16:04 
Заслуженный участник


29/09/14
766
ludwig51, уравнения (1) и (2) понятны. Пропущенные дальнейшие выкладки мне не ясны.

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-я космическая. Опять 4 разных ответа.
Сообщение22.11.2017, 14:36 


22/11/13
139
Cos(x-pi/2) в сообщении #1267284 писал(а):
ludwig51, уравнения (1) и (2) понятны. Пропущенные дальнейшие выкладки мне не ясны.


Провожу выводы подробно.
Часть 1.

$\ddot{x}_2=-\frac{\gamma M_sx_2}{r_2^3}-\frac{\gamma M_e(x_2-x_1)}{r_{12}^3}\,(1)$
$\ddot{y}_2=-\frac{\gamma M_sy_2}{r_2^3}-\frac{\gamma M_e(y_2-y_1)}{r_{12}^3}\,(2)$
ЗСЭ:
$$\frac{V_2^2}{2}=\frac{(V_0+V_1)^2}{2}-V_1^2\left (1-\frac{R_1}{r_2}\right )-V_{1k}^2\left ( 1-\frac{R_e}{r_{12}} \right )\,(3)$$
ЗСМИ:
$r_2^2\omega _2=R_1(V_0+V_1)\,(4)$

Подробный вывод уравнений (3) и (4) из (1) и(2)
Проинтегрируем уравнения (1) по $dx_2, (2) по dy_2$:
$\frac{\dot{x_2}^2}{2}=-\gamma M_s\int \frac{x_2dx_2}{r_2^3}-\gamma M_e\int \frac{(x_2-x_1)dx_2}{r_{12}^3}\,(5)$
$\frac{\dot{y_2}^2}{2}=-\gamma M_s\int \frac{y_2dx_2}{r_2^3}-\gamma M_e\int \frac{(y_2-y_1)dy_2}{r_{12}^3}\,(6)$

$\int \ddot{z}dz=\int \frac{d\dot{z}}{dt}dz=\int \frac{dz}{dt}d\dot{z}=\int \dot{z}d\dot{z}=\frac{\dot{z}^2}{2}
$
Сложим (5) и (6)
$\frac{V_2^2}{2}=-\gamma M_s\int \frac{x_2dx_2+y_2dy_2}{r_2^3}-\gamma M_e\int \frac{(x_2-x_1)dx_2+(y_2-y_1)dy_2}{r_{12}^3}\,(7)
$
В (7) - полные дифференциалы:
$x_2dx_2+y_2dy_2=r_2dr_2 $
$(x_2-x_1)dx_2+(y_2-y_1)dy_2= r_{12}d r_{12}$
В последнем выражении учтено, что ракета не притягивает Землю.
Подставим выражения для полных дифференциалов в (7):
$\frac{V_2^2}{2}=-\gamma M_s\int \frac{dr_2}{r_2^2}-\gamma M_e\int \frac{ d r_{12}}{r_{12}^2}\,(8)$

$\frac{V_2^2}{2 }=\frac{\gamma M_s }{r_2 }+\frac{\gamma M_e }{r_{12}}+C_1\,(9)$
Постоянную интегрирования $C_1$ находим из начальных условий.
$V_2(0)=V_0+V_1, r_2(0)=R_1, r_{12}(0)=R_e$
Подставим начальные условия в (9) и найдём $C_1$
$\frac{(V_0+V_1)^2}{2 }=\frac{\gamma M_s }{R_1 }+\frac{\gamma M_e }{R_e}+C_1$
$C_1=\frac{(V_0+V_1)^2}{2 }- \frac{\gamma M_s }{R_1 }-\frac{\gamma M_e }{R_e}$
Подставим $C_1$ в (9) и найдём интеграл энергии (тождественно ЗСЭ)
$\frac{V_2^2}{2 }=\frac{\gamma M_s }{r_2 }+\frac{\gamma M_e }{r_{12}}+ \frac{(V_0+V_1)^2}{2 }- \frac{\gamma M_s }{R_1 }-\frac{\gamma M_e }{R_e}\,(10)
$
Запишем (10) в более понятном виде. Полная начальная энергия ракеты равна полной энергии в любой момент времени.
$\frac{(V_0+V_1)^2}{2 }- \frac{\gamma M_s }{R_1 }-\frac{\gamma M_e }{R_e}=\frac{V_2^2}{2 }-\frac{\gamma M_s }{r_2 }-\frac{\gamma M_e }{r_{12}}$

Из (10) получим наше уравнение (3)
Слагаемые в правой части (10)
$\frac{\gamma M_s }{r_2 }=\frac{\gamma M_s }{r_2 }\frac{R_1 }{R_1}=\frac{\gamma M_s }{R_1 }\frac{R_1 }{r_2}=V_1^2\frac{R_1 }{r_2}$

$\frac{\gamma M_e }{r_{12}}=\frac{\gamma M_e }{r_{12}}\frac{R_e }{R_e}=V_{1k}^2\frac{R_e }{r_{12}}$

$\frac{\gamma M_s }{R_1 }=V_1^2$

$\frac{\gamma M_e }{R_e}=V_{1k}^2$

Подставим все это слагаемые в (10) и получим наше уравнение (3)

Уважаемый Cos(x-pi/2)
Если всё в этой части понятно, то я продолжу.
Если не всё понятно, то жду вопросы.

(Оффтоп)

Извините, что долго не отвечал. У нас в доме капитальный ремонт. Отключили телефон и интернет. Пришлось купить карту мобилку для моего смартфона. И смартфон подключать к моему компьютеру.

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-я космическая. Опять 4 разных ответа.
Сообщение22.11.2017, 18:01 
Заслуженный участник


29/09/14
766
Уважаемый ludwig51, большое спасибо.

Вывод ЗСЭ в виде (10) понятен.

(В такой явной форме ЗСЭ был понятен с самого начала; можно было бы его и не выводить заново, а сказать только, что мы решили энергию Земли в поле тяготения Солнца считать постоянной и поэтому не включаем её в рассматриваемый ЗСЭ, так как можно считать, что ракета не притягивает Землю).

В форме (3) ЗСЭ теперь тоже полностью понятен, поскольку Вы теперь привели явное выражение для обозначения $V_{1k}^2.$

Если вернуться к Вашему сообщению post1266794.html#p1266794 , то у меня остаются вот какие вопросы:
ludwig51 в сообщении #1266794 писал(а):
В последнем слагаемом (3) имеется $\frac{R_e}{r_{12}}.$ Это коэффициент радиуса действия Земли. Примем его равным 0,001.
а) Как Вы обосновываете возможность руками задавать значение этого слагаемого? Ведь расстояние $r_{12}(t)$ ракеты от Земли не есть произвольный параметр: для каждого момента времени оно, как и $r_2(t),$ определяется уравнениями движения ракеты в поле тяготения Солнца и Земли (при заданных в задаче начальных условиях).

ludwig51 в сообщении #1266794 писал(а):
Тогда при выходе ракеты из поля тяготения Земли $r_2\approx R_1$
б) К этому утверждению у меня аналогичный вопрос: из какой формулы берётся равенство $r_2\approx R_1?$

ludwig51 в сообщении #1266794 писал(а):
И из (3) получаем формулу, которую я привёл в предыдущем посте.
в) Сходу не услежу, как остающаяся у Вас в (3) величина $V_{1k}^2$ сводится к $V_{2k}^2$ в упомянутом Вами "предыдущем посте":
ludwig51 в сообщении #1266422 писал(а):
Достаточно ЗСЭ при выходе ракеты из поля тяготения Земли.
$\frac{V_2^2}{2}\approx \frac{(V_0+V_1)^2}{2}-V_{2k}^2$
погрешность этой формулы $\approx 1 $ процент

г) И поясните, пожалуйста, как Вы определяете ($\varepsilon ,a)?$

(Оффтоп)

За долгое (или не очень) отсутствие на форуме, пожалуйста, не извиняйтесь. И не торопитесь с ответами, если они в ущерб Вашим делам. Ведь никто из нас не обязан здесь постоянно "дежурить"и писать ответ моментально. (Жизнь мной тоже иной раз распоряжается так, что бывает не до интернета.)

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-я космическая. Опять 4 разных ответа.
Сообщение22.11.2017, 20:41 


22/11/13
139
Cos(x-pi/2)
На все ваши вопросы ответ из этого уравнения:
Квадрат расстояния от Земли до ракеты:
$r_{12}^2=R_1^2+r_2^2-2R_1r_2\cos(\varphi _2-\varphi _1)$
Из нашего главного уравнения (3)
$$\frac{V_2^2}{2}=\frac{(V_0+V_1)^2}{2}-V_1^2\left (1-\frac{R_1}{r_2}\right )-V_{1k}^2\left ( 1-\frac{R_e}{r_{12}} \right )\,(3)$$
выбираем компромис, чтобы не использовать ЗСМИ и для упрощения решения нашей упрощенной задачи трёх тел.
Радиус действия Земли можно не использовать. В нашем случае незачем вводить лишние понятия.
Но примем удаление ракеты от Земли в 1000 раз больше радиуса Земли.
В этом случае потенциальной энергией Земли в формуле ЗСЭ можно пренебречь.
То есть можно сказать, что ракета практически вышла из поля тяготения Земли.
И оказалась только в поле тяготения Солнца.
Используем формулу квадрат расстояния от Земли до ракеты для $r_{12}=1000R_e$
Подставляем все наши данные в эту формулу и получаем с очень большой точностью:
$r_{12}=R_1$

Итак после выхода ракеты из поля тяготения Земли мы имеем задачу двух тел с начальными условиями в точке перигелия в системе Солнца:
$r_2(0)\approx R_1$
Из (3):
$\frac{V_2^2(0)}{2}=\frac{(V_0+V_1)^2}{2}-V_{1k}^2$

$V_2^2(0)=(V_0+V_1)^2-2V_{1k}^2$

$V_2^2(0)=(V_0+V_1)^2-V_{2k}^2$

Мой пример был для $V_0=11,2 km/s$
Тогда $V_2(0)\approx39,6km/s$
Параметры орбиты ракеты в системе Солнца:
$\varepsilon =V_2^2/V_1^2-1\approx 0,75$
$a=\frac{R_1}{(1-\varepsilon )}\approx 5,9\,10^8 \,km$

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-я космическая. Опять 4 разных ответа.
Сообщение23.11.2017, 01:18 
Заслуженный участник


29/09/14
766
ludwig51
К сожалению, с выводами Вашего последнего сообщения не могу согласиться. Сейчас поясню почему, но прежде отмечу, что Ваша формула из последнего сообщения
ludwig51 в сообщении #1268112 писал(а):
Из (3):
$\frac{V_2^2(0)}{2}=\frac{(V_0+V_1)^2}{2}-V_{1k}^2$
противоречит Вашей формуле (о сомнительности которой я Вам говорил раньше):
ludwig51 в сообщении #1266422 писал(а):
Достаточно ЗСЭ при выходе ракеты из поля тяготения Земли.
$\frac{V_2^2}{2}\approx \frac{(V_0+V_1)^2}{2}-V_{2k}^2$
Жаль, что Вы не даёте комментария о наличии опечатки.

Теперь о более серьёзном недостатке. При выводе ЗСЭ (10) Вы уже учли начальные условия, которые мы можем назвать точными:
ludwig51 в сообщении #1267959 писал(а):
Постоянную интегрирования $C_1$ находим из начальных условий.
$V_2(0)=V_0+V_1, r_2(0)=R_1, r_{12}(0)=R_e$

Это хорошо. Но затем, после того как Вы пренебрегли в равенстве (3) (которое было точным ЗСЭ (10), записанным в "скоростных" обозначениях) слагаемым $R_e/r_{12},$ Вы и приближённое равенство подчиняете прежнему начальному условию $r_2(0)\approx R_1$. Этот шаг, на мой взгляд сомнительный, приводит Вас к новому равенству для $V_2(0),$ противоречащему ранее использованному $V_2(0)=V_0+V_1:$
ludwig51 в сообщении #1268112 писал(а):
$V_2^2(0)=(V_0+V_1)^2-V_{2k}^2$

Наверное, этого противоречия между двумя формулами для $V_2(0)$ можно избежать, если во второй из них обозначить момент времени не нулём, а как-то иначе, например так: $V_2(t_1).$ Но в этот новый начальный момент времени ракета ещё не достигла апогелия афелия (ведь у Вас ракета в момент $t_1$ находится на расстоянии всего лишь $r_2(t_1) \approx R_1$ от Солнца), направление вектора её скорости $\vec{V}_2(t_1)$ не обязано быть перпендикулярным направлению на Солнце, и как по этой скорости определять параметры орбиты - мне непонятно. Поясните, пожалуйста, откуда следует применённая Вами формула $\varepsilon =V_2^2/V_1^2-1 \, ?$

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-я космическая. Опять 4 разных ответа.
Сообщение23.11.2017, 02:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15154
Новомосковск
Cos(x-pi/2) в сообщении #1268219 писал(а):
не достигла апогелия
…афелия

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-я космическая. Опять 4 разных ответа.
Сообщение23.11.2017, 02:37 
Заслуженный участник


29/09/14
766
Someone, да, спасибо, исправил.

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-я космическая. Опять 4 разных ответа.
Сообщение23.11.2017, 14:45 
Заслуженный участник


29/09/14
766
ludwig51
Прошу меня извинить: сомнения насчёт вашей формулы для $\varepsilon$ отпали, ваша формула правильная. Просто я не сразу заметил, что это не общая формула (со скоростями в перигелии и афелии, как мне подумалось), а специальная. Она применима именно в вашей "задаче двух тел" со специальной начальной скоростью, квадрат которой есть $V_2^2=(V_0+V_1)^2-V_{2k}^2\,,$ причём, в предположении, что эта скорость относится к точке перигелия ракеты на расстоянии $R_1$ от Солнца. У меня для такой задачи с $V_0=V_{2k}$ получилась чуть более простая формула: $\varepsilon = 2V_{2k}/V_1.$ Ваша к ней сводится.

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-я космическая. Опять 4 разных ответа.
Сообщение23.11.2017, 15:37 


22/11/13
139
Cos(x-pi/2) в сообщении #1268349 писал(а):
У меня для такой задачи с $V_0=V_{2k}$ получилась чуть более простая формула: $\varepsilon = 2V_{2k}/V_1.$ Ваша к ней сводится.

Да, более простая формула для нашей задачи.
А общая формула для задачи двух тел:
$$\varepsilon =\frac{V_p^2}{\frac{\gamma M}{R_p}}-1$$
Имеются ещё вопросы к нашей задаче?

P.S.
Из диалога в другой теме (движение по окружности) выяснилось, что в формуле ЗСМИ я сделал ошибку.
Вместо $\omega _2$ должно быть $\dot{\varphi} _2$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 94 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group