2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7
 
 Re: 3-я космическая. Опять 4 разных ответа.
Сообщение30.11.2017, 23:39 
Аватара пользователя


29/11/16
106
Cos(x-pi/2) в сообщении #1270491 писал(а):
Будет ли ответ такой же в 3-м варианте, я пока не знаю. Это другая задача, её я ещё не решал.
В Вашу формулу скорость Земли не входит, значит, ответ не зависит от скорости Земли.


Цитата:
Но относительно Солнца ракета при этом не будет стоять, а будет лететь
Почему? Несложно подобрать такую скорость, чтобы на бесконечности Земля двигалась со скоростью Солнца:
\tfrac{1}{2}M_\text{З}V_\text{З1}^2 - \tfrac{GM_\text{С}M_\text{З}}{R_\text{С-З}} = \tfrac{1}{2}M_\text{З}V_\text{З2}^2+\tfrac{1}{2}M_\text{С}V_\text{С2}^2
M_\text{З}V_\text{З1} = M_\text{З}V_\text{З2} + M_\text{С}V_\text{С2}

V_\text{С2}=V_\text{З2}=V_2
\tfrac{1}{2}M_\text{З}V_\text{З1}^2 - \tfrac{GM_\text{С}M_\text{З}}{R_\text{С-З}} = \tfrac{1}{2}(M_\text{З}+ M_\text{С})V_2^2
M_\text{З}V_\text{З1} = (M_\text{З} + M_\text{С})V_2

\tfrac{1}{2}M_\text{З}V_\text{З1}^2 - \tfrac{GM_\text{С}M_\text{З}}{R_\text{С-З}} = \tfrac{1}{2}(M_\text{З}+ M_\text{С})(\tfrac{M_\text{З}V_\text{З1}}{M_\text{З} + M_\text{С}})^2
Поправка мала и Фейнман ее просто не учитывает для задачи с 2-мя телами [абзац после формулы (14.6) http://www.feynmanlectures.caltech.edu/ ... eqn-EqI146 ]. Иными словами, когда Земля улетает на бесконечность, Земля стоит, Солнце почти стоит. По достижении ракетой бесконечности ракета тоже стоит.

Ошибка в Вашем решении в том, что Вы не учитываете ЗСИ, от чего сами же меня предостерегали. При замене V_\text{СЗ1} =V_\text{СЗ2}
Формула ЗСИ
$M\vec{V}_{\text{СЗ1}}+m\vec{v}_1 = M\vec{V}_{\text{СЗ2}}+m\vec{v}_2$
превращается в v_1 = v_2

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-я космическая. Опять 4 разных ответа.
Сообщение01.12.2017, 00:55 
Заслуженный участник


29/09/14
766
Uchitel'_istorii в сообщении #1270543 писал(а):
Ошибка в Вашем решении в том, что Вы не учитываете ЗСИ, от чего сами же меня предостерегали. При замене $V_\text{СЗ1} =V_\text{СЗ2}$
Формула ЗСИ
$M\vec{V}_{\text{СЗ1}}+m\vec{v}_1 = M\vec{V}_{\text{СЗ2}}+m\vec{v}_2$
превращается в $v_1 = v_2$

Во-первых, такой замены не было в решении. А самое главное, Вы не понимаете главного: если ведёте речь об ошибках или приближениях, то делайте количественные оценки — насколько велика ошибка. А иначе может оказаться (как в данном случае), что говорите ни о чём.

Объясняю последний раз:

Когда мы в законе сохранения энергии учитываем член $\frac{MV_{\text{СЗ1}}^2}{2} - \frac{MV_{\text{СЗ2}}^2}{2},$ то в нём нельзя полагать $V_\text{СЗ1} =V_\text{СЗ2}$ (я и не полагал!), потому что здесь малюсенькая разность квадратов скоростей умножается на огро-о-о-о-мную массу, примерно равную массе Солнца! Если тут положить $V_\text{СЗ1} =V_\text{СЗ2},$ то этот член обратится в ноль, и мы тем самым потеряем важное слагаемое в законе сохранения энергии (которое как раз нужно для безошибочного решения задачи в разных ИСО, причём в него не входит огромная масса $M$ и оно не исчезает в приближениях с $M \to \infty$):

$\frac{MV_{\text{СЗ1}}^2}{2} -\frac{MV_{\text{СЗ2}}^2}{2}=-m\vec{V}_{\text{СЗ1}} \cdot (\vec{v}_1-\vec{v}_2) \, .$

Это выражение получено с использованием закона сохранения импульса, т.е. он уже учтён. И это выражение учитывается в дальнейших расчётах.

Всё. Больше нигде не надо учитывать малюсенькую разность скоростей $V_\text{СЗ1}$ и $V_\text{СЗ2},$ потому что в дальнейшем расчёте больше нет такого места, где бы она умножалась на большое число и повлияла бы на ответ. Мы её уже учли именно там, где без неё возникала бы заметная ошибка, и учли как раз пользуясь законом сохранения импульса — он дал для этой разности скоростей вот какой результат:

$\vec{V}_{\text{СЗ2}}-\vec{V}_{\text{СЗ1}}=\frac{m}{M} ( \vec{v}_1-\vec{v}_2 ) \, .$

Оцените-ка величину этой разности скоростей и ответьте себе на вопрос: где в дальнейшем расчёте пригодится эта малюсенькая поправка?



Возьмём для оценки массу супер-пупер сверхмассивной ракеты (таких даже и не бывает!) в два миллиона тонн:

$m \sim 2 \cdot 10^6 \text{ тонн}=2 \cdot 10^9 \text{ кг}.$

Масса Солнца $M_{\text{C}} \approx M \sim 2 \cdot 10^{30} \text{ кг}.$

Возьмём для оценки $|\vec{v}_1-\vec{v}_2| \sim 100 \text{ км/c}$ — такие по порядку величины встречаются в задачке скорости. Тогда:

$|\vec{V}_{\text{СЗ2}}-\vec{V}_{\text{СЗ1}}|=\frac{m}{M} | \vec{v}_1-\vec{v}_2 | \sim 10^{-19} \text{ км/c}= 10^{-13} \text{ миллиметра в секунду}.$

Вот, какая это мелочь. Больше нигде в задачке, кроме того места, где мы её уже учли, эта ничтожная разница скоростей роли не играет.

(UPD: я смягчил тон последней фразы (убрал её совсем :-))

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-я космическая. Опять 4 разных ответа.
Сообщение01.12.2017, 22:10 
Заслуженный участник


29/09/14
766
Признаю, что в конце предыдущего сообщения я выразился слишком жёстко (сейчас отредактировал). В "подробном" решении, которое я привёл раньше, самом по себе ошибок нет. Но в нём была принята простейшая модель:
Cos(x-pi/2) в сообщении #1270491 писал(а):
Теперь сделаем упрощающее предположение: предположим, что ракета в процессе своего полёта прочь от Земли и Солнца почти не изменяет их внутреннюю энергию, а только немножко изменяет скорость движения их центра масс (и поэтому векторы $\vec{V}_{\text{СЗ1}$ и $\vec{V}_{\text{СЗ2}$ чуть-чуть различаются). То есть, предполагаю, что приближённо выполняется равенство

$E_{\text{СЗ внутр 1}}=E_{\text{СЗ внутр 2}} \, .$

Вот тут и "зарыта собака". Если предположить обратное, а именно, что ракета передаёт заметную часть своей энергии во "внутреннюю энергию" Земли с Солнцем, то закон сохранения энергии запишется в виде (вместо $(*)):$

$$\frac{mv_1^2}{2}-m\vec{V}_{\text{СЗ1}} \cdot (\vec{v}_1-\vec{v}_2) - \frac{GmM_{\text{С}}}{R_1} - \frac{GmM_{\text{З}}}{R} =$$
$$= \frac{mv_2^2}{2} + (E_{\text{СЗ внутр 2}} - E_{\text{СЗ внутр 1}}). \qquad (***)$$
Так как Солнце намного массивнее Земли, то можно предположить, что внутренняя энергия системы "Солнце + Земля" изменяется в основном за счёт изменения кинетической энергии Земли (в системе покоя центра масс "Земля + Солнце", поскольку здесь речь идёт о внутренней энергии; или, что практически то же, в системе покоя Солнца). И происходит это, в основном, пока ракета ещё не слишком удалилась от Земли: пока сила взаимодействия ракеты с Землёй больше, чем с Солнцем, то и передача импульса Земле больше. Если предположить для оценки, что это происходит, когда ракета теряет скорость от начальной $v_1$ до "солнечной параболической" $v_0=\sqrt{2}V_{\text{З1}},$ где $V_{\text{З1}}=\sqrt{GM_{\text{C}}/R_1},$ и считать, что при этом ракета передаёт импульс только Земле, то получим:

$$(E_{\text{СЗ внутр 2}}-E_{\text{СЗ внутр 1}})=-m\vec{V}_{\text{З1}} \cdot (\vec{v}_0 - \vec{v}_1)=-m\sqrt{2}V_{\text{З1}}^2+mV_{\text{З1}}v_1$$
Величины скоростей взяты в системе покоя Солнца, так как она с хорошей точностью совпадает с системой центра масс "Солнце + Земля"; предполагается, что векторы скоростей здесь направлены одинаково. В системе покоя Солнца можно считать, что $\vec{V}_{\text{СЗ1}}=0,$ и тогда $(***)$ в системе покоя Солнца при $v_2=0$ сводится к уравнению:

$$\frac{v_1^2}{2}- \frac{GM_{\text{С}}}{R_1} - \frac{GM_{\text{З}}}{R} = -\sqrt{2}V_{\text{З1}}^2 +V_{\text{З1}} v_1.$$
Это уравнение для 3-й космической скорости $v_1$ с обозначениями

$$\frac{GM_{\text{С}}}{R_1} = V_{\text{З1}}^2, \qquad  \frac{2GM_{\text{З}}}{R} = v_{k2}^2$$
можно переписать и в такой форме:

$$(v_1-V_{\text{З1}})^2=(\sqrt{2} - 1)^2V_{\text{З1}}^2+v_{k2}^2 \, .$$
Здесь $(v_1-V_{\text{З1}})$ имеет смысл 3-й космической скорости в системе покоя Земли. С учётом известных значений обитальной скорости Земли $V_{\text{З1}}$ и 2-й космической скорости $v_{k2}$ отсюда $(v_1-V_{\text{З1}}) \approx 16.6 \text{ км/с}.$

Так мне видится разгадка ответа "16". Насколько этот вывод близок тому, чему нас учит Uchitel'_istorii, не берусь судить.

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-я космическая. Опять 4 разных ответа.
Сообщение02.12.2017, 01:50 
Заслуженный участник


29/09/14
766
Проверим, даёт ли уравнение $(***)$ такой же ответ при расчёте в ИСО мгновенного покоя Земли (ведь это уравнение должно работать в любой ИСО):

(расчёт в системе мгновенного покоя Земли)

$$\frac{mv'_1^2}{2}-m\vec{V}_{\text{СЗ1}} \cdot (\vec{v}\, '_1-\vec{v}\, '_2) - \frac{GmM_{\text{С}}}{R_1} - \frac{GmM_{\text{З}}}{R} =$$
$$= \frac{mv'_2^2}{2} + (E_{\text{СЗ внутр 2}} - E_{\text{СЗ внутр 1}}). \qquad (****)$$
Разность внутренних энергий системы "Солнце + Земля", которая у нас получилась равной $-m\sqrt{2}V_{\text{З1}}^2+mV_{\text{З1}}v_1,$ определяется в системе центра масс этих двух тел (практически в системе покоя Солнца); она не должна зависеть от выбора ИСО, то есть её не надо вычислять заново. Надо только выразить присутствующую в ней величину скорости ракеты $v_1$ в системе покоя Солнца через искомую величину скорости ракеты в ИСО мгновенного покоя Земли. Эту новую искомую величину скорости обозначим как $v'_1,$ так что $v_1=v'_1+V_{\text{З1}},$ где $V_{\text{З1}}$ по-прежнему обозначает $\sqrt{GM_{\text{C}}/R_1}.$ Тогда:

$$(E_{\text{СЗ внутр 2}}-E_{\text{СЗ внутр 1}})=-m\sqrt{2}V_{\text{З1}}^2+mV_{\text{З1}}v'_1+mV_{\text{З1}}^2.$$
В ИСО мгновенного покоя Земли вектор $\vec{V}_{\text{СЗ1}} \approx \vec{V}_{\text{С1}}$ (с хорошей точностью), он направлен противоположно вектору $\vec{v} \, '_1.$ Конечная скорость ракеты (в далёкий момент времени $t_2)$ в этой ИСО есть $\vec{v} \, '_2=\vec{V}_{\text{С1}}$ Следовательно, с хорошей точностью:

$$-m\vec{V}_{\text{СЗ1}} \cdot (\vec{v}\, '_1-\vec{v}\, '_2) = mV_{\text{С1}}v'_1 + mV_{\text{С1}}^2$$
Величина скорости Солнца $V_{\text{С1}}$ в этой ИСО равна не нулю, как было бы в системе покоя Солнца, а величине $\sqrt{GM_{\text{C}}/R_1},$ обозначенной как $V_{\text{З1}}.$ Поэтому можем везде в уравнении вместо $V_{\text{С1}}$ подставить $V_{\text{З1}}.$ Пользуясь прежними обозначениями

$$\frac{GM_{\text{С}}}{R_1} = V_{\text{З1}}^2 \, , \qquad \frac{2GM_{\text{З}}}{R} = v_{k2}^2 \, ,$$
и собрав всё вместе, увидим, что в итоге уравнение $(****)$ свелось к

$$v '_1^2=(3-2\sqrt{2} ) V_{\text{З1}}^2+v_{k2}^2 \, ,$$
то есть:
$$v '_1^2=(\sqrt{2} - 1)^2V_{\text{З1}}^2+v_{k2}^2 \, .$$

Таким образом, для 3-й космической скорости $v '_1,$ вычисленной по модели $(***)$ с самого начала в ИСО мгновенного покоя Земли, получается, как и должно быть, прежний ответ "16".

Вот и всё. Похоже, все непонятки разрешились.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 94 ]  На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group