3-я космическая. Опять 4 разных ответа.

[Uchitel'_istorii]

ludwig51 в сообщении #1254089 писал(а):

Uchitel'_istorii в сообщении #1254040 писал(а):

$(r_2-r_1)=R_\text{З}=\operatorname{const}

Откуда это следует?

Ракета стоит на Земле до достижения 1 а.е.

Цитата:

Попробуйте повторить интегрирование.

\textstyle \int v_2 dv_2 = \textstyle\int -\gamma (\tfrac{M_\text{C}}{{r_2}^2} +\tfrac{M_\text{З}}{(r_2-r_1)^2}) dr_2
\tfrac{{v_2}^2}{2} - \gamma\tfrac{M_\text{C}}{r_2} - \gamma\tfrac{M_\text{З}}{r_2 - r_1}= \text{C}
Что подставлять вместо $r_1$ и $r_2$ как начальные условия? Если подставлять $r_1 = 1 \text{а.е.}$ , $r_2 = 1 \text{а.е.} + \text{(радиус Земли)}$, то опять получается 3-я космическая не совпадающая со справочными данными. Не уверен, можно ли считать $r_1$ постоянной. Если $r_1$ -- функция $r_2$, то надо вначале найти ее.

[Uchitel'_istorii]

Подставляя начальные условия:
$v_{2,0} = V_L+V_0,
$r_{2,0},
$r_{1,0},--
находим постоянную интегрирования:

$C = \tfrac{(V_L+V_0)^2}{2} - \gamma\tfrac{M_\text{C}}{r_{2,0}} - \gamma\tfrac{M_\text{З}}{r_{2,0} - r_{1,0}}
Получаем уравнение:
\tfrac{{v_2}^2}{2} - \gamma\tfrac{M_\text{C}}{r_2} - \gamma\tfrac{M_\text{З}}{r_2 - r_1}= \tfrac{(V_L+V_0)^2}{2} - \gamma\tfrac{M_\text{C}}{r_{2,0}} - \gamma\tfrac{M_\text{З}}{r_{2,0} - r_{1,0}}

${v_2}^2 - 2\gamma\tfrac{M_\text{C}}{r_2} - 2\gamma\tfrac{M_\text{З}}{r_2 - r_1} + 2\gamma\tfrac{M_\text{C}}{r_{2,0}} + 2\gamma\tfrac{M_\text{З}}{r_{2,0} - r_{1,0}}= (V_L+V_0)^2
\sqrt{{v_2}^2 - 2\gamma\tfrac{M_\text{C}}{r_2} - 2\gamma\tfrac{M_\text{З}}{r_2 - r_1} + 2\gamma\tfrac{M_\text{C}}{r_{2,0}} + 2\gamma\tfrac{M_\text{З}}{r_{2,0} - r_{1,0}}} - V_L= V_0

Подставляя числовые значения:
$v_2 = 0,
$r_2 = \infty,
$r_1 = 0,
$M_\text{З} = 6\cdot 10^{24} \text{ kg},
$M_\text{C} = 333000 M_\text{З},
$V_L = 3\cdot 10^4 \text{ m/sec},
$r_{2,0} = 1,5\cdot 10^{11} + 6,4\cdot 10^6 \text{ m},
$r_{1,0} = 1,5\cdot 10^{11} \text{ m},---
получаем:
V_0 = 1.362 \cdot 10^4 \text{ m/sec}

[ludwig51]

Uchitel'_istorii в сообщении #1254109 писал(а):

Не уверен, можно ли считать $r_1$ постоянной. Если $r_1$ -- функция $r_2$, то надо вначале найти ее.

У вас правильно взят интеграл.
$r_1$ не зависит от $r_2$. Масса ракеты слишком мала, чтобы тащить за собой Землю.
А третья космическая действительно не совпадает со справочными данными.
По законам Ньютона она получается $13,9 {\text{км/сек}}$

-- 09.10.2017, 17:08 --

Uchitel'_istorii в сообщении #1254191 писал(а):

Получаем уравнение:
\tfrac{{v_2}^2}{2} - \gamma\tfrac{M_\text{C}}{r_2} - \gamma\tfrac{M_\text{З}}{r_2 - r_1}= \tfrac{(V_L+V_0)^2}{2} - \gamma\tfrac{M_\text{C}}{r_{2,0}} - \gamma\tfrac{M_\text{З}}{r_{2,0} - r_{1,0}}

с этого момента вам не надо использавать лишние данные - массы и т.д.
Например:
$\gamma\tfrac{M_\text{C}}{r_{2,0}}=V^2_L=(30\text{км/сек})^2$
$\gamma\tfrac{M_\text{З}}{r_{2,0} - r_{1,0}}=V^2_{1k}=(7,9\text{км/сек})^2$
Но ваша форма записи хорошо показывает ЗСЭ.
И в условии задачи требуется найти скорость старта ракеты с Земли, если в бесконечности она $16 \text{км/сек}$

[Uchitel'_istorii]

Pphantom в сообщении #1252102 писал(а):

Во-первых, зачем Вы ее туда включили? Во-вторых, с какой точностью при этом можно будет вычислить скорость малого тела?

Согласно формулы 13-14 нужно рассматривать всю систему, а не один корабль. Размышляя далее над тем, где может быть ошибка в решении МИФИ, обнаружилось несколько вопросов. В системе X'Y'Z' во всех случаях: до старта, сразу после старта и когда корабль на бесконечности, -- Земля покоится.
Закон сохранения энергии в общем виде в системе X'Y'Z':
\tfrac{M_\text{earth} (V_\text{earth}_{,t=0})^2}{2} + \tfrac{m (v_{t=0})^2}{2} - G\tfrac{M_\text{earth} m}{ R_\text{earth}} = \tfrac{M_\text{earth} (V_\text{earth}_{,t=\infty})^2}{2} + \tfrac{m (v_{t=\infty})^2}{2} - G\tfrac{M_\text{earth} m}{ \infty}
,где
$V_\text{earth}_{,t=0} = V_\text{earth}_{,t=\infty} = 0 -скорость Земли в системе X'Y'Z';
v_{t=0} - скорость ракеты при старте в системе X'Y'Z';
$v_{t=\infty} = 0 - скорость ракеты на бесконечности в системе X'Y'Z';
$R_\text{earth} -- радиус Земли.

Переход в систему XYZ осуществляется сложением векторно скорости системы X'Y'Z' со скоростями тел. Предположим, в системе XYZ скорости Земли, ракеты и системы X'Y'Z' сонаправлены. Тогда скорости можно складывать скалярно.
В системе XYZ:
скорость Земли: $V_\text{earth}_{,t=0} + V_\text{X'Y'Z'} = V_\text{X'Y'Z'};
скорость ракеты при старте: $v_{t=0} + V_\text{X'Y'Z'};
скорость ракеты на бесконечности: $v_{t=\infty} + V_\text{X'Y'Z'} = V_\text{X'Y'Z'}.

Т.к. теорема Кенига для одного тела превращается в тождество, она имеет значение только для двух или более тел. Согласно теореме Кенига $T = T_\text{CM} + \tfrac{1}{2}\Sigma m {V_\text{CM}}^2. Т.к. система X'Y'Z' и есть системой центра масс, то теорема Кенига принимает вид:

$T_\text{XYZ} = T_\text{X'Y'Z'} + \tfrac{1}{2}(M_\text{earth} + m) {V_\text{X'Y'Z'}}^2.
Известно, чему равна кин. энергия Земли в XYZ: \tfrac{1}{2}M_\text{earth} {V_\text{X'Y'Z'}}^2. Поэтому оставшаяся кин. энергия \tfrac{m (v_{t=0})^2}{2} + \tfrac{1}{2} m {V_\text{X'Y'Z'}}^2 -- это энергия ракеты. Но в системе XYZ энергия ракеты : $\tfrac{m (v_{t=0} + V_\text{X'Y'Z'})^2}{2}$. Возникло противоречие. Откуда оно взялось? Из-за того, что система X'Y'Z' не является строго системой центра масс ракеты и Земли? Но ведь при расчете 2-й космической также не учитывается, что по закону сохранения импульса Земля не может покоиться во время полета корабля, т.е. $V_\text{earth}_{,t=0} \neq 0$.

[Uchitel'_istorii]

Следующий вопрос в том, почему закон сохранения энергии в XYZ не соблюдается. А именно:
\tfrac{M_\text{earth} (V_\text{earth}_{,t=0} + V_\text{X'Y'Z'})^2}{2} + \tfrac{m (v_{t=0} + V_\text{X'Y'Z'})^2}{2} - G\tfrac{M_\text{earth} m}{ R_\text{earth}} \stackrel{\text{?}}{=} \tfrac{M_\text{earth} (V_\text{earth}_{,t=\infty} + V_\text{X'Y'Z'})^2}{2} + \tfrac{m (v_{t=\infty} + V_\text{X'Y'Z'})^2}{2} - G\tfrac{M_\text{earth} m}{ \infty}

\tfrac{M_\text{earth} (V_\text{X'Y'Z'})^2}{2} + \tfrac{m (v_{t=0} + V_\text{X'Y'Z'})^2}{2} - G\tfrac{M_\text{earth} m}{ R_\text{earth}} \stackrel{\text{?}}{=} \tfrac{M_\text{earth} (V_\text{X'Y'Z'})^2}{2} + \tfrac{m ( V_\text{X'Y'Z'})^2}{2}

\tfrac{m (v_{t=0} + V_\text{X'Y'Z'})^2}{2} - G\tfrac{M_\text{earth} m}{ R_\text{earth}} \stackrel{\text{?}}{=} \tfrac{m ( V_\text{X'Y'Z'})^2}{2}

Последнее уравнение верно только при $V_\text{X'Y'Z'} = 0$ . Почему?

[Pphantom]

Uchitel'_istorii в сообщении #1256666 писал(а):

Согласно формулы 13-14 нужно рассматривать всю систему, а не один корабль.

Боюсь, вы не понимаете смысл теоремы Кенига. Это выражение для преобразования кинетической энергии чего-то при переходе из одной системы отсчета в другую, загонять туда вообще все, что попадется под руку, совершенно не требуется.

Ну и мой второй вопрос никуда не делся: если Вы обязательно хотите рассматривать все и сразу, то с какой точностью можно будет вычислить скорость малого тела? Попробуйте, например, порядки величин в желаемом Вами варианте использования теоремы Кенига прикинуть, возможно, это наведет Вас на правильное понимание ситуации.

[Uchitel'_istorii]

До старта ракеты импульс системы "Земля - ракета " нулевой , следовательно X'Y'Z' -- система центра масс с абсолютной точностью. После старта ракеты у Земли будет скорость $V_\text{earth,}^\text{strictly}_{t=0} = - \tfrac{m v_{t=0}}{M_\text{earth}}.

Энергия Земли в системе XYZ тогда точно: $T_\text{earth,}^\text{strictly}_{t=0}=\tfrac{1}{2}M_\text{earth}(- \tfrac{m v_{t=0}}{M_\text{earth}} + V_\text{X'Y'Z'})^2.
Вычисление точности. Вследсвие задания энергии Земли неточно $ T_\text{earth,}_{t=0} = \tfrac{1}{2}M_\text{earth}(V_\text{X'Y'Z'})^2$ возникает ошибка в расчете энергии:
\tfrac{|T_\text{earth,}^\text{strictly}_{t=0} - T_\text{earth,}_{t=0} |}{T_\text{earth,}^\text{strictly}_{t=0}}

При массе ракеты $m = 10^6 \text{ kg}$ и скорости системы X'Y'Z' $V_\text{X'Y'Z'} = 30 \text{ km/sec}$ ошибка в энергии составляет :$ 2,144 \cdot 10^{-16}$. Аналогичная ошибка с противоположным знаком будет для энергии ракеты.
Ошибка в скорости составляет : $ \sqrt { 2,144 \cdot 10^{-16} }$.

В оценках, ошибках, погрешностях и т.д. я не разбираюсь и даже не знаю, как это правильно записывыается. Выше написанное вычисление ошибки сделано наугад. Одно дело задавать наводящие вопросы, когда я могу ответить. Это -- не тот случай. И требовать от меня самому отвечать на вопросы -- абсурд.

[Pphantom]

Uchitel'_istorii в сообщении #1256829 писал(а):

При массе ракеты $m = 10^6 \text{ kg}$ и скорости системы X'Y'Z' $V_\text{X'Y'Z'} = 30 \text{ km/sec}$ ошибка в энергии составляет :$ 2,144 \cdot 10^{-16}$.

А чему будет равна абсолютная погрешность в определении энергии?

Uchitel'_istorii в сообщении #1256829 писал(а):

Аналогичная ошибка с противоположным знаком будет для энергии ракеты.

Почему?

Uchitel'_istorii в сообщении #1256829 писал(а):

В оценках, ошибках, погрешностях и т.д. я не разбираюсь и даже не знаю, как это правильно записывыается. Выше написанное вычисление ошибки сделано наугад.

Я вижу.

Uchitel'_istorii в сообщении #1256829 писал(а):

Одно дело задавать наводящие вопросы, когда я могу ответить. Это -- не тот случай. И требовать от меня самому отвечать на вопросы -- абсурд.

Ну как сказать...

Дело в том, что я изложил полное решение задачи еще на 1-й странице темы. Вы решили, что оно Вас не устраивает и начали сооружать свое: формально (кажется) правильное, но технически нереализуемое именно из-за огромных потерь точности при подобном подходе. Естественно, в результате обнаружилась пачка проблем, вроде несовпадения результата с ожидаемым, невыполнения закона сохранения энергии и т.п. Причина этого Вам была указана, но Вы в ней "не разбираетесь". На вопрос, зачем сделано то-то, следует ответ "так надо". Ну так раз надо, то делайте...

Ладно, давайте еще раз подумаем, что произойдет, если запихать в теорему Кенига Землю вместе с АМС (или что там с нее взлетает). Вы в конечном счете получите кинетическую энергию системы, которая будет состоять из кинетической энергии Земли чуть менее чем полностью. Для получения кинетической энергии АМС из общей энергии нужно будет вычесть энергию только Земли. Соответственно, если в реальной жизни скорости АМС и Земли относительно Солнца имеют один и тот же порядок, а массы отличаются на 20 порядков как минимум, то для получения хоть сколько-нибудь осмысленного результата Вам нужно вычислять кинетические энергии системы и Земли с относительной погрешностью как миниум $\sim 10^{-20}$, т.е., грубо говоря, с 20 правильными значащими цифрами. А Вы оцениваете что-то по приближенному значению орбитальной скорости Земли 30 км/с, т.е. обеспечиваете точность не лучше $10^{-2}$. В результате получаемый Вами ответ представляет собой какую-то функцию от погрешностей округления орбитальной скорости Земли, расстояния от Земли до Солнца, массы Солнца и т.п. и не имеет ничего общего с действительностью.

В формульном виде все еще проще. Сначала Вы считаете суммарную энергию, а потом приравниваете ее к энергии Земли, поскольку разница очевидно мала. После этого разность этих энергий, т.е. энергия АМС, оказывается равна нулю (странно, правда?).

[Uchitel'_istorii]

Если бы Земля не двигалась относительно Солнца , то тогда формула была бы такая, как левая часть в решении МИФИ:
$\tfrac{v^2}{2} - \tfrac{GM_\text{earth}}{R_\text{earth}} - \tfrac{GM_\text{sun}}{R_\text{earth-sun}} = 0;
$\tfrac{v^2}{2} - \tfrac{{v_\oplus_2}^2}{2} - \tfrac{{v_\odot_2}^2}{2} = 0;
$v=43,6 \text{km/sec}.
Правильно?

[ludwig51]

Uchitel'_istorii в сообщении #1258086 писал(а):

Правильно?

При решении по Законам Ньютона, без учёта вращения, получается такой же результат, как в решении МИФИ.
А для более точного решения необходимо учесть реальные условия движения.
Земля не стартует с Солнца вместе с ракетой. Земля движется примерно по круговой орбите.
Ракета запускается по траектории Земли, то есть её начальная скорость в системе Солнца $V_0+V_1$ и направлена по касательной к орбите Земли.
$V_0$ стартовая скорость ракеты с Земли
$V_1$ линейная (круговая) скорость Земли вокруг Солнца по постоянному радиусу $R_1$.
Теперь уравнение ускорения ракеты записываем в векторной форме. Я приводил для прямолинейного движения. Все мои обозначения остаются силе.
$\vec{\ddot{r}}_2=-\frac{\gamma M_s}{r_2^2}\vec{e}_2-\frac{\gamma M_e}{r_{12}^2}\vec{e}_{12}$
$\vec{r}_{12}=\vec{r}_2-\vec{r}_1$
$\vec{e}_2$ орт вектора $\vec{r}_2$
$\vec{e}_{12}$ орт вектора Земля - ракета
Необходимо решить данное векторное дифференциальное уравнение.
И при данных начальных условиях найти модуль скорости ракеты в бесконечности.
Или наоборот.

[ludwig51]

Uchitel'_istorii
Приведённое векторное дифференциальное уравнение:
$\vec{\ddot{r}}_2=-\frac{\gamma M_s}{r_2^2}\vec{e}_2-\frac{\gamma M_e}{r_{12}^2}\vec{e}_{12}$ решить очень сложно.
Подсказка.
Но решение в проекциях на оси координат системы Солнца - проще.
Получим два скалярных уравнения.
$\ddot{x}_2=-\frac{\gamma M_sx_2}{r_2^3}-\frac{\gamma M_e(x_2-x_1)}{r_{12}^3}\,(1)$
$\ddot{y}_2=-\frac{\gamma M_sy_2}{r_2^3}-\frac{\gamma M_e(y_2-y_1)}{r_{12}^3}\,(2)$
Попытайтесь найти модуль скорости ракеты из этих двух уравнений.
Метод такой же, как вы применяли. Только надо знать формулу полного дифференциала.

P.S.
Уравнения (1) и (2) описывают движение ракеты при любых начальных скоростях ракеты при старте с Земли.
Для движения Земли можно вывести уравнение в полярных координатах в аналитической форме.
Для ракеты в данной задаче вывод уравнения её движения в полярных координатах в аналитической форме невозможен. Только - численными методами.
Но к вашей задаче это не относится. Это другая задача.

[Uchitel'_istorii]

Pphantom в сообщении #1250802 писал(а):

... Сейчас мы вылетели на круговую гелиоцентрическую орбиту и летим по ней с $v_\odot_1$.

...

Вот, еще что мне непонятно. Если учесть массу топлива $M$, то в системе отсчета, связанной с Землей,
энергия до старта 0 ,
после старта $\tfrac{mv^2}{2} + \tfrac{M(vm/M)^2}{2}$ .
В системе, связанной с Солнцем ,
энергия до старта $\tfrac{m(V_\text{earth})^2}{2} + \tfrac{M(V_\text{earth})^2}{2}$ ,
после старта $\tfrac{m(v-V_\text{earth})^2}{2} + \tfrac{M(vm/M - V_\text{earth})^2}{2} = \tfrac{mv^2}{2} + \tfrac{M(vm/M)^2}{2} + \tfrac{m(V_\text{earth})^2}{2} + \tfrac{M(V_\text{earth})^2}{2}.

Теперь если положить $v = \sqrt{\tfrac{2GM_\text{earth}}{R_\text{earth}}} = 11 \text{km/sec} и вычесть энергию , необходимую для преодоление поля Земли, \tfrac{GM_\text{earth}m}{R}, должно остаться $\tfrac{m(V_\text{earth})^2}{2}$. Но мы же не можем считать выражение $\tfrac{mv^2}{2} + \tfrac{m(V_\text{earth})^2}{2}$ энергией ракеты. Следовательно , где гарантия, что после преодоления поля Земли скорость ракеты будет $30 \text{km/sec}$ . Я понимаю, что в системе Земли скорость нуль, и при переходе в систему Солнца скорость будет 30 км/сек согласно правил параллельного переноса . Но как этот результат получить из энергии?

[Pphantom]

Uchitel'_istorii, Вам не надоело? Вы уже третью страницу пишете какую-то абстрактную чушь, после чего пытаетесь понять, почему эта чушь не согласуется с чем-то другим.

[Uchitel'_istorii]

Я отклоняю Вашу просьбу не писать на форуме. Я спросил, как получается из уравнений сохранения энергии, что после преодоления поля Земли у ракеты скорость $v_\odot_1$. Напишите доказательство.

[Pphantom]

Uchitel'_istorii в сообщении #1264417 писал(а):

Я отклоняю Вашу просьбу не писать на форуме.

Вообще-то это не было просьбой не писать на форуме. Это было просьбой хоть немного подумать.

Uchitel'_istorii в сообщении #1264417 писал(а):

Я спросил, как получается из уравнений сохранения энергии, что после преодоления поля Земли у ракеты скорость $v_\odot_1$. Напишите доказательство.

А Вы читали условие задачи, которую "решаете" уже три страницы? Вот это:

Uchitel'_istorii в сообщении #1250747 писал(а):

Вопрос по Фейнмановским лекциям по физике, задача 14.21 к вып. 1

Цитата:

14.21. Двигатели космического корабля прекращают работу где-то в районе Земли. Какую минимальную скорость должен набрать космический корабль, чтобы покинуть пределы Солнечной системы, имея «на выходе» скорость 16 \text{км/сек} относительно Солнца? Скорость Земли в ее орбитальном движении равна 30 \text{км/сек}.

Выделение подчеркиванием - мое.

Откуда Вы взяли топливо? Зачем Вы учитываете его массу? У Вас из условия задачи следует, что в начальный момент космический корабль уже разогнан до некоторой скорости, дальше он летит по инерции, двигатели не работают, топливо не тратится.