Переход из системы в систему осуществляется вычитанием из скоростей всех тел скорости второй системы относительно первой. Т.е. Вы совершили переход , а не учет.
Не надо заниматься игрой в слова. Если у тел скорости разные, то они во всех системах отсчёта разные; и сам тот факт, что скорости у тел разные, уже означает, что тела движутся друг относительно друга.
Имеем 2 варианта начальных условий: 1) Земля летит со скоростью 30 км/сек в системе Солнца; 2) Земля удерживается неподвижно в системе Солнца. У Вас в системе Солнца получился одинаковый формульный ответ для этих двух вариантов.
Да, так и должно быть; вроде, это очевидно.
Возьмем 3-й вариант: Земля летит , со скоростью 42 км/сек. Опять формульный ответ будет такой же? Но ведь ракете тогда достаточно стоять на стартовой площадке и ждать, пока Земля сама улетит на бесконечность, а потом преодолеть только поле Земли.
Но относительно Солнца ракета при этом не будет стоять, а будет лететь; в системе покоя Солнца формула и выдаёт скорость ракеты относительно Солнца. Будет ли ответ такой же в 3-м варианте, я пока не знаю. Это другая задача, её я ещё не решал.
есть скорость в системе покоя Солнца, при которой ракета сможет улететь с расстояния
от центра Солнца на бесконечность. (Кстати, это неплохая оценка для 3-й космической скорости: она всего примерно на 4 % меньше той, что получается с учётом Земли.)
Но "Этап 2" — какая-то муть мутная. Это непонятная мне попытка соединить решение задачи без Земли с задачей без Солнца, вместо того, чтобы честно вывести следствия из закона сохранения энергии и импульса в задаче сразу с тремя телами.
Ладно, так и быть. Не буду больше ждать. Вот обещанное моё решение задачи о 3-й космической скорости, основанное на законах сохранения в системе "Солнце + Земля + ракета" (без всяких мутных "Этапов"; но, разумеется, с приближениями). Получилось длинновато, зато подробно:
Для ясности начну издалека: с формул законов сохранения энергии и импульса системы трёх тел "Солнце + Земля + стартовавшая_ракета", которые мы уже обсудили в
недавнем посте:


Индексами

и

здесь и далее отмечаются величины, относящиеся соответственно к моментам времени

и

Считается, что к моменту времени

ракета улетела уже так далеко от Земли и Солнца, что к этому времени энергия её притяжения к Земле и Солнцу пренебрежимо мала. Эти равенства верны в любой ИСО. Конкретную ИСО выберем в самом конце выкладок; там мы выберем "систему мгновенного покоя Земли" в момент

а пока пишем всё в общем виде.
Выражение в скобках в левой стороне первого равенства это энергия двух тел "Земля + Солнце" в момент времени

с учётом их движения и гравитационного взаимодействия друг с другом, но без учёта взаимодействия с ракетой. Механика учит нас, что можно ввести в рассмотрение воображаемую материальную точку с суммарной массой Земли и Солнца

с радиус-вектором центра масс Земли и Солнца (как он определяется, напомню потом, если будет надо). Его производная по времени в момент

есть скорость движения центра масс Солнца и Земли

в момент

относительно той произвольной ИСО, к которой пока относятся все наши выкладки. Механика также учит нас, что энергия любой системы (или подсистемы) тел в произвольной ИСО может быть записана в виде суммы
внутренней энергии (это энергия взаимодействия между телами в системе плюс кинетическая энергия их движения относительно их центра масс; внутренняя энергия не зависит от выбора ИСО) и кинетической энергии движения центра масс относительно ИСО. Значит, применительно к системе двух тел "Солнце и Земля" в момент времени

имеем:

Аналогично запишем энергию двух тел "Солнце и Земля" в момент времени


Теперь сделаем упрощающее предположение: предположим, что ракета в процессе своего полёта прочь от Земли и Солнца почти не изменяет их внутреннюю энергию, а только немножко изменяет скорость движения их центра масс (и поэтому векторы

и

чуть-чуть различаются). То есть, предполагаю, что приближённо выполняется равенство

Тогда эти два вклада можно вычеркнуть в левой и правой стороне нашей формулы закона сохранения энергии. Кинетические же энергии центра масс двух тел "Солнце + Земля" остаются в формуле закона сохранения энергии:

Перенеся

справа налево, имеем:

Займёмся законом сохранения импульса. Суммарный импульс Солнца и Земли можно для любого момента времени записать в виде произведения суммарной массы

этих двух тел на скорость их центра масс в данный момент времени (относительно всё время одной и той же произвольной ИСО, к которой пока относятся все наши выкладки):


Тогда закон сохранения импульса системы трёх тел "Солнце+Земля+ракета" принимает следующий вид:

Отсюда выразим конечную скорость центра масс "Земля + Солнце"

через его начальную скорость

и импульсы ракеты:

Возведём это в квадрат, т.е. скалярно умножим обе стороны этого равенства сами на себя; получим:

Полученное выражение подставим на место

в разность кинетических энергий (такая разность у нас видна в формуле закона сохранения энергии); получим:

Второе слагаемое в правой стороне мало в меру малости отношения массы ракеты к суммарной массе Солнца и Земли:

Пренебрегая им, имеем с высокой точностью:

Подставив это выражение в формулу закона сохранения энергии, получаем окончательно:

Это равенство (мы отметим его меткой

применимо в любых ИСО (но, разумеется, только в таких, по отношению к которым скорости рассматриваемых здесь тел малы в сравнении со скоростью света; ведь мы пользовались формулами нерелятивистской механики).
Так. Теперь будем смотреть, чему равны входящие сюда скорости относительно конкретной ИСО. Выберем ИСО "мгновенного покоя Земли" — инерциальную систему отсчёта, по отношению к которой
в момент времени 
Земля имела нулевую скорость; т.е. положим:

Тогда скорость центра масс двух тел "Солнце + Земля" в момент времени

есть
Масса Солнца на пять с лишним порядков больше массы Земли, поэтому

и, значит, скорость центра масс системы "Солнца + Земля" с очень хорошей точностью совпадает со скоростью Солнца. Значит, мы можем в формулу закона сохранения энергии подставить выдерживающееся с высокой точностью приближённое равенство

По той же причине, т.е. из-за огромной массы Солнца

по сравнению с массой Земли

и тем более по сравнению с массой ракеты

можно считать, что центр масс системы "Солнца + Земля"
всё время почти совпадает с центром Солнца, При этом он движется относительно ИСО почти равномерно и прямолинейно, так как полёт лёгонькой ракеты ничтожно мало изменяет скорость центра масс "Земля + Солнце".
Другими словами всё это означает, что Солнце практически равномерно и прямолинейно движется относительно ИСО (а Земля, вращаясь вокруг Солнца, смещается относительно ИСО вместе с Солнцем. Скорость Земли относительно ИСО обращалась в ноль в момент

и обращается в ноль на мгновение после каждого очередного оборота Земли вокруг Солнца, но в остальные моменты времени скорость Земли

в этой "ИСО мгновенного покоя Земли" отлична от нуля).
Для ясности демонстрирую проявления большой массы Солнца ещё раз. В любой момент времени

имеем:

Притяжение ракеты влияет на скорость Солнца ещё меньше, чем притяжение Земли: мы видели, что

и, значит, с точностью до слагаемого, малого в меру малости

применимо равенство

Таким образом, все скорости в списке

и

с высокой точностью равны друг другу, каждую из них можно без ущерба для дальнейшего расчёта заменить на

Тогда с той же точностью условие неподвижности ракеты относительно Солнца к моменту

можно выразить равенством

Член

в формуле закона сохранения энергии с учётом сказанного выше принимает вид

Заметим, что по условию задачи ракета в момент

движется относительно Солнца в направлении орбитальной скорости Земли. В ИСО мгновенного покоя Земли в момент

(в этой ИСО мы сейчас делаем расчёт) это означает, что скорость ракеты

направлена противоположно к скорости Солнца

Следовательно,

и, значит, член

в формуле закона сохранения энергии в итоге сводится к

Формула закона сохранения энергии теперь выглядит так:

Чему равна величина скорости

Поскольку это скорость Солнца относительно ИСО, в которой в момент времени

Земля была неподвижна, то величина этой скорости равна величине орбитальной скорости Земли относительно Солнца (на приблизительно круговой орбите радиусом


Пользуясь этим равенством, обозначим

и заодно введём обозначение (оно такое потому, что в другой задаче оно связано с понятием "2-я космическая скорость"):

С этими обозначениями равенство, выражающее закон сохранения энергии, принимает простой вид (после того, как мы разделим все слагаемые на

и умножим на


Видно, что это есть квадратное уравнение для искомой величины

Его положительный корень:

То есть:

Это ответ для 3-й космической скорости в системе мгновенного покоя Земли.
Чтобы его пояснить (и проверить), перепишем его так:

При выборе другой ИСО, а именно — ИСО покоя Солнца, присутствующей здесь величине

равнялась бы орбитальная скорость Земли относительно неподвижного Солнца. Значит, присутствующую здесь сумму

можно понимать как величину 3-й космической скорости в системе покоя Солнца. Как видим, для этой скорости получился знакомый правильный ответ.
( Более культурно преобразование Галилея от ИСО мгновенного покоя Земли (где мы имеем вектор скорости ракеты

к ИСО покоя Солнца описывается так:
Обозначим скорость ракеты относительно ИСО покоя Солнца в момент времени

как

. Тогда преобразование Галилея для скоростей даётся равенством:

где

— скорость Солнца относительно ИСО мгновенного покоя Земли. То есть:

Возведя это в квадрат, получим:

По условию задачи векторы

и

направлены в противоположные стороны, поэтому

Значит:

Положительное значение корня квадратного есть

в чём и требовалось убедиться ).
( P.S.
Заодно рассмотрим формулу закона сохранения энергии

в ИСО покоя Солнца.
В уравнении

которое применимо в любой ИСО, заменим скорость центра масс "Солнце + Земля"

скоростью Солнца

поскольку, как пояснялось выше, из-за большой массы Солнца можно считать эти два вектора с хорошей точностью равными друг другу. И учтём, что в ИСО покоя Солнца

Тогда член

в

исчезает, и закон сохранения энергии

в ИСО покоя Солнца принимает вид:

В задаче о 3-й космической скорости скорость ракеты к моменту времени

в ИСО покоя Солнца по условию задачи обращается в ноль:

Следовательно, для величины 3-й космической скорости

в ИСО покоя Солнца получаем знакомое уравнение

и, соответственно, знакомый ответ. Видим таким образом, что в ИСО покоя Солнца эта задача решается намного проще, а физическая информация об искомой космической скорости одинакова в обеих ИСО.)