Максимальная дальность прыжка с качелей

[Rusit8800]

Ах, то есть вы предлагаете выкинуть из формулы угол, вместо него поставить какое-нибудь расстояние и перерешать задачу? Но, по-моему, угол наиболее удобно задает точку прыжка. Если уж вариант 1 можно легко с помощью тригонометрии свести к 2 или 4 и наоборот, но вариант 1 так просто не решается, то, наверное, 2 и 4 варианты вряд ли дадут намного более простой вид уравнения.

-- 14.07.2017, 12:22 --

Мне интересно, насколько сложно искать точки экстремумов подобных громоздких

$$\[\begin{gathered} {x_{dal}}(\alpha ) =\[h(\sin \alpha + \cos \alpha \sin 2\alpha ) + 2\cos \alpha \sqrt {h\cos \alpha (h\cos \alpha {{\sin }^2}\alpha + a + h - h\cos \alpha )} \] \end{gathered} \]$$

функций, если ты прекрасно владеешь методами высшей математики? Есть ли общий метод?

[realeugene]

Rusit8800 в сообщении #1233497 писал(а):

Мне интересно, насколько сложно искать

Чуть сложнее, чем решать нелинейные уравнения. Иногда везёт, и уравнение разрешимо аналитически. Чаще всего не везёт, и уравнение аналитически не разрешимо. Тогда только численные методы. Чтобы понять, повезло или нет, нужно попытаться уравнения максимально упростить.

[Aritaborian]

Rusit8800 в сообщении #1233497 писал(а):

Мне интересно, насколько сложно искать точки экстремумов подобных громоздких

Wolfram Programming Lab мне нашептал, что там корни уравнений восьмой степени, но кто знает, может оно таки упрощается. И к тому же мы пока не выяснили, правильная ли это функция.

[realeugene]

Aritaborian в сообщении #1233504 писал(а):

Wolfram Programming Lab мне нашептал, что там корни уравнений восьмой степени

Бумажка мне это тоже подсказала.

[Sender]

Rusit8800 в сообщении #1233330 писал(а):

$$ {x_{dal}}(h,g,a,\alpha ) = h\sin \alpha + \sqrt {2gh\cos \alpha } \cos \alpha \cdot \frac{{\sqrt {2gh\cos \alpha } \sin \alpha + \sqrt {2(gh\cos \alpha {{\sin }^2}\alpha + g(a + h - h\cos \alpha ))} }}{g} = $$

Вот, кстати, нет уверенности, что член $h\sin \alpha$ следует включать в дальность прыжка.

[realeugene]

Sender в сообщении #1233507 писал(а):

Вот, кстати, нет уверенности

Есть уверенность, что вы прицитировали первоначальное неправильное уравнение. В правильное уравнение ускорение свободного падения входить не может (по соображениям размерности).

[wrest]

Rusit8800
Ваше первое сообщение в теме начинается с середины пути -- вы что-то сделали, и сюда положили промежуточный результат (ошибочный просто по размерностям).
Я бы вам посоветовал все начать с начала.
Написать "Пусть то-то и то-то будет тем-то и тем-то. Назовем такими буквами такие величины." и так далее, привести все выкладки которые привели вас к этим громоздким функциям. Это трудно, потому что надо писать TeX коды, но даст вам и другим участникам возможность понять где вы сделали не так.

Rusit8800 в сообщении #1233497 писал(а):

$$\[\begin{gathered} {x_{dal}}(\alpha ) =\[h(\sin \alpha + \cos \alpha \sin 2\alpha ) + 2\cos \alpha \sqrt {h\cos \alpha (h\cos \alpha {{\sin }^2}\alpha + a + h - h\cos \alpha )} \] \end{gathered} \]$$

Ну вот например скобка внутри корня:
$h\cos \alpha {{\sin }^2}\alpha + a + h - h\cos \alpha }$
Упрощается исходя из ${\sin }^2}\alpha + {\cos }^2}\alpha =1$ следующим образом:
$h\cos \alpha {{\sin }^2}\alpha + a + h - h\cos \alpha }=h\cos \alpha ({{\sin }^2}\alpha -1) + a +h=-h\cos ^3 \alpha +a +h=h(1-\cos^3 \alpha)+a$

[Sender]

realeugene в сообщении #1233508 писал(а):

В правильное уравнение ускорение свободного падения входить не может (по соображениям размерности).

Оно и не входит, если повнимательнее посмотреть на выражение.

[realeugene]

Sender в сообщении #1233510 писал(а):

Оно и не входит, если повнимательнее посмотреть на выражение.

Да, сорри.

[EUgeneUS]

Aritaborian в сообщении #1233504 писал(а):

И к тому же мы пока не выяснили, правильная ли это функция.

У меня такое же получилось.

[Rusit8800]

wrest в сообщении #1233509 писал(а):

Я бы вам посоветовал все начать с начала.
Написать "Пусть то-то и то-то будет тем-то и тем-то. Назовем такими буквами такие величины." и так далее, привести все выкладки которые привели вас к этим громоздким функциям.

Я вижу уже кто-то решил

EUgeneUS в сообщении #1233514 писал(а):

У меня такое же получилось.

-- 14.07.2017, 15:08 --

wrest в сообщении #1233509 писал(а):

Это трудно, потому что надо писать TeX коды

Это не трудно, это очень муторно.

[wrest]

Rusit8800

Полагаю, для дальнейшего упрощения надо вынести $h$ за скобку (т.е. приравнять к единице, а высоту $a$ мерять в долях высоты качели)

То есть, переписать

Rusit8800 в сообщении #1233497 писал(а):

$$\[\begin{gathered} {x_{dal}}(\alpha ) =\[h(\sin \alpha + \cos \alpha \sin 2\alpha ) + 2\cos \alpha \sqrt {h\cos \alpha (h\cos \alpha {{\sin }^2}\alpha + a + h - h\cos \alpha )} \] \end{gathered} \]$$

Так:
$\dfrac{x_{dal}(\alpha )}{h}= \sin \alpha + \cos \alpha \sin 2\alpha + 2\cos \alpha \sqrt {\cos \alpha(1-\cos^3 \alpha + \dfrac ah)}$

Убрав таким образом из анализа один параметр (высоту качели).

[SomePupil]

Как я понял, дифференцировать будет ТС?

-- 14.07.2017, 16:33 --

Rusit8800 в сообщении #1233497 писал(а):

Мне интересно, насколько сложно искать точки экстремумов подобных громоздких

Честно, я бы сдох (я первокур). Разве что, если бы в мире ином от меня потребовали бы продифференцировать такое выражение, и от этого зависело бы, попаду ли я в рай или в ад $-$ только тогда я бы подумал об этом. Но, я уверен, и в этом случае лень взяла бы надо мной верх, и я пошел бы к Люциферу.

[Dmitriy40]

(Давно пора)

wrest в сообщении #1233527 писал(а):

Полагаю, для дальнейшего упрощения надо вынести $h$ за скобку

Я это давно предлагал.

[wrest]

SomePupil в сообщении #1233536 писал(а):

Как я понял, дифференцировать будет ТС?

Мне почему-то кажется, что в общем виде решения в элементарных функциях не получить...

Но если уравнение записано верно, то из него следует, что чем больше $a$ при том же $h$, тем ближе должен быть к нулю угол. Т.е. при $a \gg h$ прыгать надо в нижней точке качелей.

Остальное численно. При $a=0$ угол примерно 41 градус, при $a=1$ -- примерно 33 градуса...

Это наводит на мысли, что или уравнение неправильное или надо сделать допущения. Например приравнять нулю горизонтальную координату отрыва от качелей.

-- 14.07.2017, 15:53 --

SomePupil в сообщении #1233536 писал(а):

Разве что, если бы в мире ином от меня потребовали бы продифференцировать такое выражение, и от этого зависело бы, попаду ли я в рай или в ад $-$ только тогда я бы подумал об этом.

Продифференцировать же это только первый шажочек. Получится громоздко, но это техническая задача. Главный вопрос -- как потом искать нули у производной.