Максимальная дальность прыжка с качелей

[Rusit8800]

Задача: Как надо прыгать с качелей, чтобы улететь на максимальное расстояние? Найти максимальное расстояние.
Мое неполное решение:

Пусть для определенности длина качелей равна $h$, а расстояние от земли до точки подвеса $a+h$. После использования закона сохранения механической энергии и других кинематических формул я получил формулу дальности полета:

$$\[\begin{gathered} {x_{dal}}(h,g,a,\alpha ) = h\sin \alpha + \sqrt {2gh\cos \alpha } \cos \alpha \cdot \frac{{\sqrt {2gh\cos \alpha } \sin \alpha + \sqrt {2(gh\cos \alpha {{\sin }^2}\alpha + a + h - \cos \alpha )} }}{g} = \hfill \\ h\sin \alpha + \frac{{gh\cos \alpha \sin 2\alpha + 2\cos \alpha \sqrt {gh\cos \alpha (gh\cos \alpha {{\sin }^2}\alpha + a + h - \cos \alpha )} }}{g} = \hfill \\ h(\sin \alpha + \cos \alpha \sin 2\alpha ) + \frac{{2\cos \alpha \sqrt {gh\cos \alpha (gh\cos \alpha {{\sin }^2}\alpha + a + h - \cos \alpha )} }}{g} \hfill \\ \end{gathered} \]$$

Мне казалось сначала, что точка максимума зависит только от $\alpha$, по аналогии с углом $\[45^\circ \]$, но, построив пару графиков $x_{dal}}(\alpha)$, с различными параметрами $h,g,a$ я убедился, что она зависит от всего, таким образом, бессмысленно решать задачу для частных случаев. Именно поэтому в задаче вопрос "как", а не "под каким углом". Может кто подскажет, как найти точку максимума этой громадины?

[EUgeneUS]

Rusit8800

У Вас где-то собака порылась.
1. Пусть $\alpha$ - девяносто градусов. Тогда $x_{dal}(...)$ должна быть нулем. А у Вас - $h$.
2. Функция $x_{dal}(...)$ должна зависеть не только от координат, но и, например, от скорости. Или максимальной высоты. А у Вас не зависит.

UPD: сорри, пункт 1 снимается. $h$ и должно быть.

[Sender]

И с размерностями в подкоренном выражении явно что-то не то.

[Rusit8800]

EUgeneUS в сообщении #1233295 писал(а):

А у Вас - $h$.

Правильно, если мы спрыгнем с качелей в тот момент, когда они будут горизонтальны, то мы просто упадем вниз. Из свойств прямоугольника получил, что расстояние - $h$.

-- 13.07.2017, 17:40 --

EUgeneUS в сообщении #1233295 писал(а):

например, от скорости

Она зависит от угла.

-- 13.07.2017, 17:42 --

Sender в сообщении #1233297 писал(а):

И с размерностями в подкоренном выражении явно что-то не то.

Мда, квадрат скорости и расстояние...

[rockclimber]

Rusit8800 в сообщении #1233290 писал(а):

с различными параметрами $h,g,a$ я убедился, что она зависит от всего, таким образом, бессмысленно решать задачу для частных случаев. Именно поэтому в задаче вопрос "как", а не "под каким углом". Может кто подскажет, как найти точку максимума этой громадины?

Что значит "зависит от всего"? Вот например, у вас в формуле есть $g$, в числителе - в степени $1/2$, в знаменателе - в степени $1$. Следовательно, чтобы улететь подальше, надо выбрать планету с как можно меньшим $g$. Вы такой ответ хотите услышать?
Или, все-таки, при такой постановке задачи как

Rusit8800 в сообщении #1233290 писал(а):

Как надо прыгать с качелей, чтобы улететь на максимальное расстояние?

вы считаете, что качели - вот они, фиксированные, и все параметры качелей есть константы? Но тогда у вас функция одной переменной, и...

[Aritaborian]

Rusit8800 в сообщении #1233299 писал(а):

Мда, квадрат скорости и расстояние...

И косинус там же ;-)

[Rusit8800]

Подкоренное выражение получилось из дискриминанта уравнения:

$$\[g{t^2} - 2{v_0}\sin \alpha \cdot t - 2(a + h - \cos \alpha ) = 0\]$$

[Aritaborian]

Ещё раз: и косинус! Вычитаемый из метров.

[Rusit8800]

rockclimber в сообщении #1233301 писал(а):

и все параметры качелей есть константы?

Параметры. $h,g,a$ - любые положительные числа.

[EUgeneUS]

Rusit8800 в сообщении #1233299 писал(а):

Она зависит от угла.

Берем угол равным нулю. Какая скорость и чему она равна?

[Rusit8800]

А если так?

$$\[g{t^2} - 2{v_0}\sin \alpha \cdot t - 2a + 2h(1 - \cos \alpha ) = 0\]$$

-- 13.07.2017, 17:48 --

А, ой

$$\[g{t^2} - 2{v_0}\sin \alpha \cdot t - 2(a + h - h\cos \alpha ) = 0\]$$

[Aritaborian]

В последнем уравнении хотя бы всё в метрах ;-)

[Rusit8800]

EUgeneUS в сообщении #1233308 писал(а):

Какая скорость и чему она равна?

Вычисляется по формуле $v_0=\[\sqrt {2gh\cos \alpha } \]$

-- 13.07.2017, 17:51 --

Тогда так:

$$\[{x_{dal}}(h,g,a,\alpha ) = h(\sin \alpha + \cos \alpha \sin 2\alpha ) + \frac{{2\cos \alpha \sqrt {gh\cos \alpha (gh\cos \alpha {{\sin }^2}\alpha + a + h - h\cos \alpha )} }}{g}\]$$

-- 13.07.2017, 17:51 --

Хотя все равно что-то не то...

[EUgeneUS]

Rusit8800 в сообщении #1233312 писал(а):

Вычисляется по формуле $v_0=\[\sqrt {2gh\cos \alpha } \]$

При этом $h$ - это всё ещё плечо качелей?

[Rusit8800]

Да.

-- 13.07.2017, 17:54 --

Видимо такая неразбериха с подкоренным выражением происходит из-за того, что дискриминант уравнения

$$\[g{t^2} - 2{v_0}\sin \alpha \cdot t - 2(a + h - h\cos \alpha ) = 0\]$$

является суммой квадрата скорости и расстояния.