Вселенная внутри Черной Дыры

[KVV]

manul91 в сообщении #1118202 писал(а):

А правильные критерии в этой книге - конкретно и четко сформулированы?
Хотелось бы их конкретно узнать (кроме общих слов, что "не так просты").

Черт его знает. Пока не разобрался.

[zubik67]

Munin в сообщении #1118157 писал(а):

zubik67
Вы читали Новикова-Фролова?

Только популярную "Куда течёт река времени".

[schekn]

Найду радиальную геодезическую для такой метрики в области $r'=0$.
Здесь в разделе D нечто похожее.
http://doras.dcu.ie/15649/1/nolan9.pdf

$$ds^2=d{\tau}^2-r'^2dR^2-r(\tau,R)^2(\sin^2{\theta}d{\varphi}^2+d{\theta}^2) \quad (40)$$

Они выглядят так:

$$\left( \frac{{d}^{2}}{d\,\tau\,d\,R}\,r\right) \,\left( \frac{d}{d\,R}\,r\right) \,{\left( \frac{d}{d\,s}\,R\right) }^{2}+\frac{{d}^{2}}{d\,{s}^{2}}\,\tau=0\quad(41)$$

$$\left( \frac{d}{d\,R}\,r\right) \,\left( \frac{{d}^{2}}{d\,{s}^{2}}\,R\right) +\left( \frac{{d}^{2}}{d\,{R}^{2}}\,r\right) \,{\left( \frac{d}{d\,s}\,R\right) }^{2}+2\,\left( \frac{{d}^{2}}{d\,\tau\,d\,R}\,r\right) \,\left( \frac{d}{d\,s}\,\tau\right) \,\left( \frac{d}{d\,s}\,R\right) =0 \quad(42)$$

добавим:

$$1=(\frac{d{\tau}}{ds})^2-r'^2(\frac{d{R}}{ds})^2 \quad(43)$$

Заменим: $\frac{d{\tau}}{ds}=u^0$, $\frac{d{R}}{ds}=u^1$

И будем решать совместно (42) и (43)

$$r'\frac{du^1}{d{\tau}}u^0+r''(u^1)^2+2\dot{r}'u^0u^1=0 \quad(44)$$

$$(u^0)^2-r'^2(u^1)^2=1\quad(45)$$

Разделим (44) на $(u^0)$ и $(u^1)$

$$r'\frac{du^1}{d{\tau}}\frac{1}{u^1}+r''\frac{(u^1)}{u^0}=-2\dot{r}' \quad(46)$$

Совместно с (45) это дифференциальное уравнение решается относительно $u^1$ , но мне это не удалось в общем виде.
Если рассматривать $r'=0$ , то задача упрощается и первый член в (46) пропадает.
Это напоминает то, как VladTk решал задачу пересечения радиальной геодезической горизонта в координатах Леметра.
То есть я нахожу координатную скорость массивной частицы на особенности $r'=0$.
Заметим , что $\frac{dR}{d{\tau}}=\frac{u^1}{u^0}$
Остается:

$$\frac{dR}{d{\tau}}=\frac{u^1}{u^0}=-\frac{2\dot{r}'}{r''}\quad(47)$$

Теперь подставляем в (47) решение для неоднородной пыли:

$$r=(R^{3/2}-3/2\sqrt{F}{\tau})^{2/3}$$

$$r'=\frac{\sqrt{R}-1/2F'{\tau}/\sqrt{F}}{\sqrt{r}}$$

Особенность соответствует: $r'=0$ , $\tau_k=\frac{2\sqrt{R}\sqrt{F}}{F'}$

Опущу все промежуточные расчеты и дам результат.

$$\frac{dR}{d{\tau}}=-\frac{2\sqrt{F}F'^2\sqrt{R}}{(2FF''-F'^2)R-FF'}\quad(48)$$

Теперь подставлю мое распределение вещества, когда на границе $R=a_0 $ и наступает указанная особенность,

$$F=kR^{\alpha+3}$$

$\alpha$ - положительная небольшая величина. Получим:

$$\frac{dR}{d{\tau}}=-\frac{(\alpha+3)\sqrt{k}R^{(\alpha/2+1)}}{\alpha}\quad(49)$$

Видно , что координатная скорость в месте пересечения особенность конечна (это при $R=a_0$ ) и направлена к центру. Но не исключаю, что тут возможен скачок скорости при прохождении ее.

Физическая скорость $v_f^2=r'^2(\frac{dR}{d{\tau}})^2$ должна быть равна нулю.

-- 25.04.2016, 21:15 --

manul91 в сообщении #1118202 писал(а):

schekn - вы можете ответить на такой вопрос - каков характер вашей "особой гиперповерхности" - она времениподобная или пространственноподобная (в сечении $(r,t)$, т.е. при фиксированных угловых координат)?

Да вроде пространственно подобная гиперповерхность. Это вроде очевидно.

manul91 в сообщении #1118194 писал(а):

Ничего не понял.

Ну я могу выбором распределения пыли в некий начальный момент времени добиться, что будет сингулярность либо голая либо уже спрятана под горизонт.
Вообще интересно, как определять физичность сингулярности при численных расчетах.

[manul91]

schekn в сообщении #1118213 писал(а):

Да вроде пространственно подобная гиперповерхность. Это вроде очевидно.

Т.е. линия $r'=0$ в $(r,t)$ пространственноподобна - как пространственноподобна линия $t=3$ в минковском $(x,t)$?
"Вроде очевидно" - или на самом деле проверили?

[Munin]

zubik67 в сообщении #1118209 писал(а):

Только популярную "Куда течёт река времени".

Новиков, Фролов. Физика чёрных дыр. § 2.7.

[schekn]

manul91 в сообщении #1118217 писал(а):

schekn в сообщении #1118213 писал(а):

Да вроде пространственно подобная гиперповерхность. Это вроде очевидно.

Т.е. линия $r'=0$ в $(r,t)$ пространственноподобна - как пространственноподобна линия $t=3$ в минковском $(x,t)$?
"Вроде очевидно" - или на самом деле проверили?

Могу Вам связь найти.

$$r=(R^{3/2}-3/2\sqrt{F}{\tau})^{2/3} \to$$

$$\tau=2/3\frac{R^{3/2}-r^{3/2}}{\sqrt{F}}$$

$$r'=0 \to \tau_k=\frac{2\sqrt{FR}}{F'}\to$$

$$r^{3/2}=R^{3/2}-\frac{3F(R)}{F'(R)}{\sqrt{R}}$$

$$0<R<a_0$$

Для $F=kR^{\alpha+3}$ получаем:

$$r=R(\frac{\alpha}{\alpha+3})^{2/3}$$

[manul91]

schekn в сообщении #1118226 писал(а):

Могу Вам связь найти.

Это ни о чем не говорит.... Нужно найти знак $ds^2$ (где $ds$ - элемент данного контура $r'=0$) - этот знак не будет зависеть ни от каких координат (и/или обозначений буковок).

[schekn]

manul91 в сообщении #1118231 писал(а):

Это ни о чем не говорит.... Нужно найти знак $ds^2$ (где $ds$ - элемент данного контура $r'=0$) - этот знак не будет зависеть ни от каких координат (и/или обозначений буковок).

можно перевести решение в координаты $(t,r)$ . Это я проделывал только для однородного распределения вещества.
Для неоднородного там не непросто. Но по оценкам это обращение в бесконечность компоненты $g_{00}(t,r)$.

[schekn]

Проанализировал коллапс в простом случае небольшого постоянного давления .
Чтоб не захламлять интернет формулами выложил все расчеты здесь:
https://yadi.sk/i/wu1GpVFPrN3dN

Кратко выводы такие. Метрика предполагалась в таком же виде в сопутствующей СО:

$$ds^2=d{\tau}^2-{r'^2}dR^2-r(\tau,R)^2(\sin^2{\theta}d{\varphi}^2+d{\theta}^2) $$

При этом функция $r$ определяется из такого диф. уравнения:

$$\dot{r}=-\sqrt{F/r-ar^2}$$

где $a=8{\pi}G{p}/3$ , $p$ - давление.

При малом давлении получим:

$$R^{3/2}-3/2\sqrt{F}{\tau}=r^{3/2}-\frac{ar^{9/2}}{6F}$$

Если теперь найти $r'=0$ и выразить время , то получим:

$$\tau_k=\frac{2\sqrt{FR}}{F'}+\frac{2ar^{9/2}}{9F^{3/2}}$$

То есть особенность с пересечением слоев отодвигается по времени, но не исчезает.

Также получены соотношения для скалярной кривизны и плотности в общем виде , если давление произвольное, но не зависит от $R$.

$$ \frac{F'}{r'r^2}=8{\pi}G(\varepsilon+p)$$

$$I_k=-8{\pi}GT=-8{\pi}G(\varepsilon-3p)$$

Имеет смысл проанализировать случай ультрарелятивистский случай , когда скалярная кривизна нулевая.

[schekn]

manul91 в сообщении #1118202 писал(а):

А достаточные критерии в этой книге - конкретно и четко сформулированы? Хотелось бы их конкретно узнать (кроме общих слов, что "не так просты").

Книга - Global Aspects in Gravitation and Cosmology - P. S. Joshi
http://ru.bookzz.org/book/2192975/a697f0
Достаточно нудно написана, но там есть целый раздел, где описываются сингулярности подобного типа.
Я хотел выдрать эту главу и перевести, но она отсканирована не совсем удачна и слишком много текста.
Но там есть и весьма странная сингулярнось, которую называют: Shell-focusing singularities
(типа фокусирующая оболочка). Если разберетесь, то сообщите, может это то, о чем я говорил , когда приводил пример
коллапса пыли без давления.
Она же вкраце здесь (раздел 2.3) : http://arxiv.org/pdf/gr-qc/9910108.pdf
У А. Кролака говорится, что принцип космической цензуры Пенроуза находится в стадии обсуждения и не решен до сих пор.

Что касается внутренней метрики в координатах Шварцшильда, то могу вам предоставить ее и там можно понять, какой характер у сингулярности $r'=0$.

[schekn]

manul91 в сообщении #1118217 писал(а):

"Вроде очевидно" - или на самом деле проверили?

Тема как-то не развивается, а хотелось сделать еще некоторые пояснения.
Можно найти внутреннее решение в стандартных координатах Шварцшильда для данной задачи коллапса пыли для произвольного распределения вещества.
Частично это было сделано в статье Оппенгеймера-Снайдера (ОС), но не до конца (сборник "Альберт Эйнштейн и теория относительности", стр. 353-360). Вот что получилось , опуская все вычисления:

$$ds^2=\frac{(y-1)^2}{(1-F(R)/r)r_g^2y^2{\dot{y}^2}}dt^2-\frac{dr^2}{1-F(R)/r}-r^2d{\Omega}^2 \quad(50)$$

Где функция $y(\tau,R)$ определяется согласно О-С из уравнения:

$$\frac{y'}{\dot{y}}=r'{\dot{r}}$$

.
При допущении, что метрика в стандартных координатах не имеет перекрестный член $g_{tr}=0$, что вообще говоря, не очень обосновано.
А шварцшильдовское время $t$ определяется как $t=t(y)$ , которая также определена в статье ОС .
Компоненты (50) переходят непрерывно в метрику Шварцшильда в стандартных координатах в вакууме на границе облака: $F(a_0)=r_g$ .
Функция $F(R)=m(R)$ - масса пыли под сферой радиуса $R$. И :

$$r=(R^{3/2}-3/2\sqrt{F}{\tau})^{2/3}$$

Из (50) видно , что метрика имеет следующие особенности.

1. $r(\tau_g,R)=F(R) $ - компоненты $g_{tt}$ и $g_{rr}$ становятся бесконечными. Это связано с тем, что компоненты тензора энергии импульса в данной координатной системе имеют разрывы при указанном равенстве. У Ландау-Лифшица эта особенность ошибочно названа "горизонтом событий" для слоя $R$. Эта ошибка перекочевала и в обзор сингулярностей у Global Aspects in Gravitation and Cosmology - P. S. Joshi

2. Горизонт событий наступает для каждого слоя $R$ , если $g_{00}=0$ или $y=1$. Это вторая особенность.

3. Наконец для пересечения слоев остается только вот такая особенность-сингулярность: $\dot{y}=+\infty$. Тогда $g_{00}=0$ также.

-- 10.05.2016, 12:23 --

epros в сообщении #1116597 писал(а):

всё копаетесь в каком-то тривиальном случае, для которого всем давно известно, что всё вещество сгинет в сингулярности будущего и никаких "вселенных внутри" не появится.

На самом деле даже в простом случае коллапса нейтральной пыли без давления не все до конца изучено и требует более подробного анализа. А потом уже переходить к заряженному веществу.

[epros]

schekn в сообщении #1122467 писал(а):

На самом деле даже в простом случае коллапса нейтральной пыли без давления не все до конца изучено и требует более подробного анализа. А потом уже переходить к заряженному веществу.

Даже с давлением сферически симметричный коллапс незаряженного вещества не сулит сюрпризов.

[schekn]

epros в сообщении #1122737 писал(а):

Даже с давлением сферически симметричный коллапс незаряженного вещества не сулит сюрпризов.

Вы все равно не можете проверить процессы, которые происходят внутри , когда каждый слой вещества пересечет свой "горизонт событий", поэтому ваша уверенность относительно уничтожения вещества около сильной сингулярности ни на чем в сущности не основана.

[epros]

schekn в сообщении #1122753 писал(а):

когда каждый слой вещества пересечет свой "горизонт событий"

Горизонт событий общий для всех. Смысл кавычек непонятен.

schekn в сообщении #1122753 писал(а):

ваша уверенность относительно уничтожения вещества около сильной сингулярности ни на чем в сущности не основана

Она основана на том же, на чём основана уверенность в любых других надёжных теоретических выводах.

[schekn]

epros в сообщении #1122924 писал(а):

Горизонт событий общий для всех. Смысл кавычек непонятен.

Ковычки расставлены у Ландау в пар 103. Я решил оставить их у себя. Горизонт не общий , вы ошибаетесь, особенно для неоднородной пыли. Он определяется некоторой формулой $r=\phi(\tau_g,R)$ . Для каждого слоя $R$ внутри вещества он свой.

epros в сообщении #1122924 писал(а):

Она основана на том же, на чём основана уверенность в любых других надёжных теоретических выводах.

Вы проверить это не сможете, а разные модели можно сконструировать сколько угодно даже в одной теории.