Ситуация по состоянию на 10 февраля 2006.
Итак, судя по множеству признаков, элементарное доказательство Великой теоремы найдено. После демонстрации простейшей ключевой формулы (4°) доказательство выглядит даже проще теоремы Пифагора.
Легко объяснить, почему за 300 лет никто не вышел на формулу (4°): при ее выводе используется выражение
, ОТСУТСТВУЮЩЕЕ в равенстве Ферма.
Весьма подробная дискуссия прошла на форуме lib.mexmat.ru с г-ном Someone, которая позволила подробно прояснить каждое утверждение. Однако полное понимание с оппонентом достигнуто не было. Анализ разногласия может оказаться, на мой взгляд, весьма поучительным для понимания тонкостей математики.
Г-н Someone попытался опровергнуть мое доказательство с помощью числового контрпримера, в котором полное равенство Ферма заменено частичным равенством по
-значным окончаниям степеней. То есть г-н Someone пытается опровергнуть равенство с помощью замены равенства на неравенство. И вот понять эту логическую ошибку мой оппонент не смог.
Дело в том, что замена равенства на неравенство ведет к СУЩЕСТВЕННОЙ потере информации. Так если две нечетные степени равны ПО ВСЕМ ЦИФРАМ, то из равенства
-х цифр в степенях следует и равенство
-х цифр в основаниях. А вот с переходом от полного равенства степеней к их равенству лишь по
-значным окончаниям указанное следствие ослабевает: теперь (см. Лемма 1°) если две степени равны по
-значным окончаниям, то их основания заведомо равны лишь по
- значным окончаниям, а вот равенство по
-значным окончаниям может не выполняться.
А так как в контрпримере (не совсем адекватном, ибо правая часть равенства не есть степень) равенство левой и правой частей равенства Ферма выполняется по
-значным окончаниям, то из этого якобы следует, что основания равны лишь по
-значным окончаниям.
Замена полного равенства Ферма на равенство лишь по окончаниям приводит к невозможности показать ключевые соотношения 4°-5° и как следствие этого увидеть неравенство
-х цифр в двух частях равенства (1°). Мой оппонент этого не понял, и мы прекратили наш диалог.
Впрочем, ни одна из формул, приведенных в доказательстве, провернута не была. Опровергалась лишь их интерпретация.
Более всего Someone пытался показать, что
-значное окончание правой части равенства Ферма (1°) не представимо в виде произведения каких-то
чисел с равными
-значными окончаниями. В частности, он не согласился признать
-значное окончание числа
(равное в итоге 1) равным произведению
единиц – не смотря на то, что число простых сомножителей в числе
заведомо больше
. Такое признание означало бы признание доказательства верным. И потому я еще раз остановлюсь на этом самом "трудном" моменте доказательства.
Итак, согласно а) преобразованию
-значного окончания числа
в
, б) тождеству 5° и в) строгому понятию степени, все простые сомножители в правой части равенства могут быть сгруппированы в
"больших" сомножителей с РАВНЫМИ
-значными окончаниями, равными
(точнее:
). И никакой переброской простых сомножителей из одного "большого" сомножителя в другой – ПРИ УСЛОВИИ, что
-значные окончания всех "больших" сомножителей будут равны между собой – получить ИНЫЕ
-значные окончания у "больших" сомножителей невозможно, ибо от перестановки сомножителей их произведение ИЗМЕНИТЬСЯ НЕ МОЖЕТ. Это фундаментальная аксиома арифметики, и глупо пытаться ее опровергнуть – причем только ради того, чтобы не признать верным простое доказательство ВТФ. (Замечу, что доказательство не содержит ни единого расчета и все используемые формулы общеизвестны.)
Формальности ради я приведу подробное доказательство самого "трудного" места.
Заключительные выводы из тождества 5°:
Пусть
– простой сомножитель левой части равенства 1° (числа
),
– простой сомножитель левой части равенства 1° (числа
),
–
-значное окончание числа
,
–
-значное окончание числа
.
Тогда
1) множества {
} = {
} (следствие равенства 1°); следовательно:
2) множества {
} = {
} (следствие единственности представления числа в базе
); следовательно:
3) множества {
}/
= {
}/
(как равные части от равного); следовательно:
4) произведение P' всех чисел из {
}/
равно произведению Q'
всех чисел из {
q'_i
}/
n$[/math]; следовательно:
5)
(следствие из равенства
).
Заключительный вывод. Мы имеем противоречие:
-я цифра в левой части равенства 1°
≠
, а ТА ЖЕ цифра в правой части
.
Наконец, есть еще одно доказательство факта, что
-значное окончание числа
есть произведение
равных чисел.
Действительно, умножив равенство 1° на такое число
, что
, мы возвращаем
-значным окончаниям чисел
и
их изначальные значения, и теперь КАЖДОЕ из
"больших" сомножителей числа
будет иметь такое же
-значное окончание, что и число
. А поскольку после перестановки всех простых сомножителей в правой части равенства в ТОМ ЖЕ ПОРЯДКЕ, что и в левой части равенства,
-значные окончания новых "больших" сомножителей НЕ МЕНЯЮТСЯ, то
-значное окончание основания в правой части равенства 1° будет равно
-значному окончании числа
. Но из определения числа
следует, что
-значные окончания у чисел
и
РАЗЛИЧНЫ. Следовательно, и равенство Ферма невозможно!
На этом я заканчиваю разбор этого простейшего факта в равенстве Ферма. А за пределами его не остается более ничего.
В.С.