Диск Эйнштейна

[epros]

SergeyGubanov, образец Вашего мыслительного процесса прямо-таки заслуживает того, чтобы быть выложенным в каком-нибудь музее чудес.

SergeyGubanov в сообщении #997919 писал(а):

Сказано, что в общем случае решения этой системы уравнений в виде обычной гиперповерхности не существует. Даже объяснено почему не существует: по теореме о вложении невозможно произвольное трёхмерное пространство вложить в четырёхмерное.

Сказано, что решение не существует. Всё, на этом можете расслабиться. Остальные слова -- про "обычную гиперповерхность" -- лишние. Нет её, гиперповерхности. Ни в "обычном" и ни в каком ином виде. И объяснения тут никакие не нужны. Тем более, что они неверные: теорема о вложениях тут совершенно ни при чём.

[SergeyGubanov]

epros в сообщении #998007 писал(а):

SergeyGubanov, образец Вашего мыслительного процесса прямо-таки заслуживает того, чтобы быть выложенным в каком-нибудь музее чудес.

SergeyGubanov в сообщении #997919 писал(а):

Сказано, что в общем случае решения этой системы уравнений в виде обычной гиперповерхности не существует. Даже объяснено почему не существует: по теореме о вложении невозможно произвольное трёхмерное пространство вложить в четырёхмерное.

Сказано, что решение не существует. Всё, на этом можете расслабиться. Остальные слова -- про "обычную гиперповерхность" -- лишние. Нет её, гиперповерхности. Ни в "обычном" и ни в каком ином виде. И объяснения тут никакие не нужны. Тем более, что они неверные: теорема о вложениях тут совершенно ни при чём.

Решений там целый вагон и маленькая тележка. Но Вы же хотите видеть решение не иначе как в виде гиперповерхности в $4D$, а именно это в общем случае и невозможно. Из того что решения нет в желаемом Вам виде Вы делаете вывод будто решений нет вообще, это грубая ошибка. Теорема о вложении тут очень даже причём. Трёхмерное пространство там произвольное, и согласно теореме о вложении его нельзя представить как вложение в $4D$.

[epros]

SergeyGubanov в сообщении #998065 писал(а):

Но Вы же хотите видеть решение не иначе как в виде гиперповерхности в $4D$, а именно это в общем случае и невозможно. Из того что решения нет в желаемом Вам виде Вы делаете вывод будто решений нет вообще, это грубая ошибка.

Это не моё желание, а определение понятия "решения". А Вы пытаетесь его подменить на какую-то альтернативную математику.

SergeyGubanov в сообщении #998065 писал(а):

Теорема о вложении тут очень даже причём. Трёхмерное пространство там произвольное, и согласно теореме о вложении его нельзя представить как вложение в $4D$.

Там нет никакого трёхмерия, ни вложенного, ни не вложенного. В качестве упражнения попробуйте любым способом определить три координаты, чтобы тройка их значений однозначно определяла точку этой "гиперповерхности". Подсказка: именно это и называется трёхмерием.

[schekn]

Цитата:

epros в сообщении #996696 писал(а):

schekn в сообщении #996672
писал(а):
вы не отвечаете на конкретный вопрос, как ваше представление о переходе в другую СО связано с тем , что написано в ЛЛ-2?

Был ответ, что они не противоречат друг другу. Что ещё конкретно Вы хотите?

Арифов сформулировал тело отчета , как точечного наблюдателя , снабженного часами (примерно то же, что Вы говорите). Соответственно СО диска это множество всех наблюдателей, заполняющих диск (моллюск Эйнштейна). Этого всего нет в пар. 89.

epros в сообщении #996696 писал(а):

Мне на это разрешение Федеральной Антимонопольной Службы требуется или что?

Пользуюсь Вашей терминологией, ФАС исследует несуществующую фирму на Луне. Если не существует данного 3-х мерного гиперпространства в Минковском , о котором пишут в пар 89, то , что они вычисляют?

epros в сообщении #996696 писал(а):

Способ измерения малых расстояний известен: Радаром, например. Длины окружности и радиуса определяются сложением длин всех малых отрезков, из которых они состоят. Отношение первой ко второй находится с помощью школьной арифметики.

Если вдоль окружности проложить световод (ну например), то сигнал по вращению диска и против будет иметь разную скорость. Согласны? ( примерно это написано в процитированном отрывке).

epros в сообщении #996696 писал(а):

Не собираюсь это обсуждать, ибо копанием во всякой альтернативной науке не интересуюсь. Впрочем, на внятный конкретный вопрос мог бы ответить. Если Вы удосужитесь его наконец задать.

У Вас фигурируют понятия : трёхмерие, подпространство, гиперпространство. В чем разница?

[warlock66613]

schekn в сообщении #998154 писал(а):

Если не существует гиперпространства в Минковском , о котором пишут в пар 89, то , что они вычисляют?

И разговор для этого. Кто-нибудь может объяснить, в какой момент в рассуждения попадает Минковский? Из каких соображений указанное трёхмерие должно вкладываться в пространство Минковского? По моему это вообще неочевидно, так что нет и ничего странного, что неверно.

[schekn]

Если бы epros заявил, что хочет вычислить длину окружности в абстрактном псевдоримановом пространстве-времени типа:

$$ds^2=c^2dt'^2-\frac{r^2}{1-\frac{\Omega^2r^2}{c^2}}d\phi^2-dr^2-dz^2.$$

то вопросов бы не было, он получил бы тот же результат, что и в пар 89. Имеет право. Но мы говорим о вращающейся СО в мире Минковского.

[epros]

schekn в сообщении #998154 писал(а):

Арифов сформулировал тело отчета , как точечного наблюдателя , снабженного часами (примерно то же, что Вы говорите).

Тело отсчёта не точечное. В отличие от наблюдателя.

schekn в сообщении #998154 писал(а):

Соответственно СО диска это множество всех наблюдателей, заполняющих диск (моллюск Эйнштейна).

Плюс гиперповерхности одновременности.

schekn в сообщении #998154 писал(а):

Этого всего нет в пар. 89.

Не обязательно использовать строго такие же слова. Координаты пространства и времени определяют то же самое.

schekn в сообщении #998154 писал(а):

Если не существует данного 3-х мерного гиперпространства в Минковском , о котором пишут в пар 89, то , что они вычисляют?

Кто сказал, что не существует?

schekn в сообщении #998154 писал(а):

Если вдоль окружности проложить световод (ну например), то сигнал по вращению диска и против будет иметь разную скорость. Согласны? ( примерно это написано в процитированном отрывке).

Нет. Скорость света относительно любой СО в любом направлении всегда одинакова. Если использовать правильные определения.

schekn в сообщении #998154 писал(а):

У Вас фигурируют понятия : трёхмерие, подпространство, гиперпространство. В чем разница?

Гиперповерхность -- это трёхмерное подмножество четырёхмерия. Если мы хотим трактовать её как трёхмерное пространство в некий момент времени, то пространственную метрику надо определять не по правилам вложения, а по формуле, которая приводилась выше.

[SergeyGubanov]

warlock66613 в сообщении #998156 писал(а):

Кто-нибудь может объяснить, в какой момент в рассуждения попадает Минковский? Из каких соображений указанное трёхмерие должно вкладываться в пространство Минковского? По моему это вообще неочевидно, так что нет и ничего странного, что неверно.

Вы это epros расскажите, а то он мне не верит. Я до него пытаюсь донести следующее. Есть пространство Минковского, в нём покоящаяся система отсчёта $\bar{e}^{(a)}_{\mu}(x)$. В декартовых координатах можно выбрать $\bar{e}^{(a)}_{\mu}(x) = \delta^a_{\mu}$. Делаем произвольное локальное Лоренцево преобразование и переходим в произвольную систему отсчёта $e^{(a)}_{\mu}(x)$:

$$ e^{(a)}_{\mu}(x) = \Lambda^{(a)}_{(b)}(x) \; \bar{e}^{(b)}_{\mu}(x). $$

Матрица локального Лоренцева преобразования $\Lambda^{(a)}_{(b)}(x)$ в общем случае имеет шесть независимых компонент.

В системе отсчёта $e^{(a)} \equiv e^{(a)}_{\mu}(x) \, dx^{\mu}$ имеем следующее трёхмерное пространство с тремя касательными (ко)векторами $\sigma^{(1)}$, $\sigma^{(2)}$, $\sigma^{(3)}$ (триадой) и метрикой $d\ell^2$, которые находятся из системы уравнений:

$$ \begin{cases} e^{\bf (0)} = 0, \\ \sigma^{\bf (1)} = e^{\bf (1)}, \quad \sigma^{\bf (2)} = e^{\bf (2)}, \quad \sigma^{\bf (3)} = e^{\bf (3)}. \end{cases} $$

$$d\ell^2 = \left( \sigma^{\bf (1)} \right)^2 + \left( \sigma^{\bf (2)} \right)^2 + \left( \sigma^{\bf (3)} \right)^2.$$

Метрика произвольного трёхмерного пространства в общем случае имеет шесть независимых компонент. Но именно столько же их имеет и матрица $\Lambda^{(a)}_{(b)}(x)$. То есть, по крайней мере локально (если не отвлекаться на вопросы топологии), с помощью произвольной матрицы $\Lambda^{(a)}_{(b)}(x)$ можно получить произвольное трёхмерное пространство с триадой $\sigma^{(1)}$, $\sigma^{(2)}$ и $\sigma^{(3)}$. По теореме о вложении произвольное трёхмерное пространство не может быть вложено в плоское четырёхмерное. То есть указанное трёхмерное пространство в общем случае не является трёхмерной гиперповерхностью в пространстве Минковского.

epros в сообщении #998131 писал(а):

Это не моё желание, а определение понятия "решения". А Вы пытаетесь его подменить на какую-то альтернативную математику.

Как же быстро пришло время вспомнить как решаются уравнения вида $e^{\bf (0)} = 0$:

SergeyGubanov в сообщении #991590 писал(а):

Запись $e^{\bf (0)} = 0$ обозначает дифференциальную связь:

$$ e^{\bf (0)}_0 dx^0 + e^{\bf (0)}_1 dx^1 + e^{\bf (0)}_2 dx^2 + e^{\bf (0)}_3 dx^3 = 0 $$

Для линии $x^{\mu}(\ell)$ эта дифференциальная связь превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение:

$$ e^{\bf (0)}_0 \frac{dx^0}{d\ell} + e^{\bf (0)}_1 \frac{dx^1}{d\ell} + e^{\bf (0)}_2 \frac{dx^2}{d\ell} + e^{\bf (0)}_3 \frac{dx^3}{d\ell} = 0 $$

Для двумерной поверхности $x^{\mu}(\ell^1, \ell^2)$ она превращается в систему уравнений в частных производных:

$$ e^{\bf (0)}_0 \frac{\partial x^0}{\partial \ell^1} + e^{\bf (0)}_1 \frac{\partial x^1}{\partial \ell^1} + e^{\bf (0)}_2 \frac{\partial x^2}{\partial \ell^1} + e^{\bf (0)}_3 \frac{\partial x^3}{\partial \ell^1} = 0, $$

$$ e^{\bf (0)}_0 \frac{\partial x^0}{\partial \ell^2} + e^{\bf (0)}_1 \frac{\partial x^1}{\partial \ell^2} + e^{\bf (0)}_2 \frac{\partial x^2}{\partial \ell^2} + e^{\bf (0)}_3 \frac{\partial x^3}{\partial \ell^2} = 0. $$

Для трёхмерного тела $x^{\mu}(\ell^1, \ell^2, \ell^3)$ она превращается в следующую систему уравнений в частных производных:

$$ e^{\bf (0)}_0 \frac{\partial x^0}{\partial \ell^1} + e^{\bf (0)}_1 \frac{\partial x^1}{\partial \ell^1} + e^{\bf (0)}_2 \frac{\partial x^2}{\partial \ell^1} + e^{\bf (0)}_3 \frac{\partial x^3}{\partial \ell^1} = 0, $$

$$ e^{\bf (0)}_0 \frac{\partial x^0}{\partial \ell^2} + e^{\bf (0)}_1 \frac{\partial x^1}{\partial \ell^2} + e^{\bf (0)}_2 \frac{\partial x^2}{\partial \ell^2} + e^{\bf (0)}_3 \frac{\partial x^3}{\partial \ell^2} = 0, $$

$$ e^{\bf (0)}_0 \frac{\partial x^0}{\partial \ell^3} + e^{\bf (0)}_1 \frac{\partial x^1}{\partial \ell^3} + e^{\bf (0)}_2 \frac{\partial x^2}{\partial \ell^3} + e^{\bf (0)}_3 \frac{\partial x^3}{\partial \ell^3} = 0. $$

Одномерные решения $x^{\mu}(\ell)$ существуют всегда, двумерные $x^{\mu}(\ell^1, \ell^2)$ иногда, а трёхмерные $x^{\mu}(\ell^1, \ell^2, \ell^3)$ и того реже.

epros в сообщении #998131 писал(а):

Там нет никакого трёхмерия, ни вложенного, ни не вложенного. В качестве упражнения попробуйте любым способом определить три координаты, чтобы тройка их значений однозначно определяла точку этой "гиперповерхности". Подсказка: именно это и называется трёхмерием.

В трёхмерном пространстве взятом само по себе какие-то трёхмерные координаты $\ell^1, \ell^2, \ell^3$ локально ввести можно, но вот связать их с четырёхмерными координатами пространства Минковского $x^{\mu}(\ell^1, \ell^2, \ell^3)$ в общем случае невозможно. Существование (гладкой) связи $x^{\mu}(\ell^1, \ell^2, \ell^3)$ между трёхмерными и четырёхмерными координатами как раз и будет означать наличие (гладкого) вложения, а его-то в общем случае не существует.

Теперь что касается "Там нет никакого трёхмерия". Трёхмерия там завались. Как из тетрады $e^{(a)}$ четырёхмерного пространства получить триаду $\sigma^{(i)}$ трёхмерного пространства я написал чуть выше.

[epros]

SergeyGubanov в сообщении #998534 писал(а):

Одномерные решения $x^{\mu}(\ell)$ существуют всегда, двумерные $x^{\mu}(\ell^1, \ell^2)$ иногда, а трёхмерные $x^{\mu}(\ell^1, \ell^2, \ell^3)$ и того реже.

Ещё раз: гиперповерхность трёхмерна. Так что не отвлекайтесь на гипотетические случаи и ищите трёхмерное решение. На всякий случай напоминаю, что мы рассматривали СО карусели.

SergeyGubanov в сообщении #998534 писал(а):

В трёхмерном пространстве взятом само по себе какие-то трёхмерные координаты $\ell^1, \ell^2, \ell^3$ локально ввести можно

Не "локально", а в конечной (т.е. не в "бесконечно малой") области. Давайте, ищите. А потом поговорим, вкладывается ли эта трёхмерная область в четырёхмерие.

SergeyGubanov в сообщении #998534 писал(а):

Существование (гладкой) связи $x^{\mu}(\ell^1, \ell^2, \ell^3)$ между трёхмерными и четырёхмерными координатами как раз и будет означать наличие (гладкого) вложения, а его-то в общем случае не существует.

Если трёхмерия не существует, то и пытаться вложить в четырёхмерие нечего.

[schekn]

epros в сообщении #998203 писал(а):

Тело отсчёта не точечное. В отличие от наблюдателя.

Хорошо, пусть будет неточечное

epros в сообщении #998203 писал(а):

Плюс гиперповерхности одновременности.

Уже непонятно, как Вы определили эту "гиперповерхность одновременности" во вращающейся СО? Можете мне показать эту гиперповерность или написать в виде 3-х мерной метрике?

epros в сообщении #998203 писал(а):

Не обязательно использовать строго такие же слова. Координаты пространства и времени определяют то же самое.

Нет, смена координат (перенумерация точек в 4Д) не определяет то, что физический объект начал двигаться с ускорением.

Цитата:

epros в сообщении #998203 писал(а):

schekn в сообщении #998154
писал(а):
Если не существует данного 3-х мерного гиперпространства в Минковском , о котором пишут в пар 89, то , что они вычисляют?

Кто сказал, что не существует?

Я Вас просил это доказать.

epros в сообщении #998203 писал(а):

Нет. Скорость света относительно любой СО в любом направлении всегда одинакова. Если использовать правильные определения.

Я говорил о скорости сигнала. Именно это обстоятельство позволяет интерпретировать эффект Саньяка в СО , связанной с вращающимся диском. Ваше мнение противоречит эксперименту. У Арифова об этом указано.

-- 31.03.2015, 21:47 --

epros в сообщении #998203 писал(а):

Гиперповерхность -- это трёхмерное подмножество четырёхмерия. Если мы хотим трактовать её как трёхмерное пространство в некий момент времени, то пространственную метрику надо определять не по правилам вложения, а по формуле, которая приводилась выше.

По какой формуле? Я уже запутался в них.

[epros]

schekn в сообщении #998651 писал(а):

Уже непонятно, как Вы определили эту "гиперповерхность одновременности" во вращающейся СО? Можете мне показать эту гиперповерность или написать в виде 3-х мерной метрике?

epros в сообщении #992582 писал(а):

в локальном смысле расстояния остаются определимыми именно в смысле той процедуры, о которой пишут ЛЛ (радаром). А это значит, что для заданной пространственно-подобной гиперповерхности можно опредилить расстояния, т.е. пространственную геометрию. Она выражается метрикой:

$\gamma_{\alpha \beta} = -g_{\alpha \beta} + \frac{g_{\alpha 0} g_{0 \beta}}{g_{00}}$

которую часто можно встретить в литературе.

Гиперповерхность в случае, рассмотренном в параграфе 89 ЛЛ, можно проводить любым образом, указанная метрика от этого не зависит.

schekn в сообщении #998651 писал(а):

смена координат (перенумерация точек в 4Д) не определяет то, что физический объект начал двигаться с ускорением.

Определяет. Если считать, что точки тела отсчёта определяются именно пространственными координатами.

schekn в сообщении #998651 писал(а):

epros в сообщении #998203 писал(а):

Нет. Скорость света относительно любой СО в любом направлении всегда одинакова. Если использовать правильные определения.

Я говорил о скорости сигнала. Именно это обстоятельство позволяет интерпретировать эффект Саньяка в СО , связанной с вращающимся диском. Ваше мнение противоречит эксперименту. У Арифова об этом указано.

Это неверно. Просто при несинхронном координатном времени при переходе от мгновенной скорости к средней нужно учитывать поправку на синхронизацию.

schekn в сообщении #998651 писал(а):

По какой формуле? Я уже запутался в них.

См. выше.

[SergeyGubanov]

epros в сообщении #998547 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #998534 писал(а):

Одномерные решения $x^{\mu}(\ell)$ существуют всегда, двумерные $x^{\mu}(\ell^1, \ell^2)$ иногда, а трёхмерные $x^{\mu}(\ell^1, \ell^2, \ell^3)$ и того реже.

Ещё раз: гиперповерхность трёхмерна. Так что не отвлекайтесь на гипотетические случаи и ищите трёхмерное решение. На всякий случай напоминаю, что мы рассматривали СО карусели.

Конечно трёхмерная гиперповерхность в пространстве Минковского трёхмерна. Трёхмерное пространство произвольной системы отсчёта (в том числе системы отсчёта карусели) тоже трёхмерно (кто бы мог подумать!). Но трёхмерное пространство произвольной системы отсчёта (в том числе системы отсчёта карусели) в общем случае не может быть трёхмерной гиперповерхностью в пространстве Минковского. Трёхмерная гиперповерхность в пространстве Минковского является частным случаем трёхмерных пространств. Существуют такие трёхмерные пространства, которые не вкладываются в пространство Минковского. Неужели не понятно?

epros в сообщении #998547 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #998534 писал(а):

В трёхмерном пространстве взятом само по себе какие-то трёхмерные координаты $\ell^1, \ell^2, \ell^3$ локально ввести можно

Не "локально", а в конечной (т.е. не в "бесконечно малой") области. Давайте, ищите. А потом поговорим, вкладывается ли эта трёхмерная область в четырёхмерие.

Для ускоренно вращающейся карусели? Так там уравнения сложные:

$$ \begin{cases} c \, dt - \frac{v}{c} \, r \sin(\theta) \, d\varphi = 0, \\ d \ell^2 = dr^2 + r^2 \, d\theta^2 + \frac{ \left( r \sin(\theta) \, d\varphi - v \, dt \right)^2 }{1 - \frac{v^2}{c^2}}. \end{cases} $$

Моего голого энтузиазма пока хватило лишь на выписывание уравнений для нахождения длины окружности ускоренно вращающейся карусели:

SergeyGubanov в сообщении #991044 писал(а):

Из системы уравнений (5) находим первую и вторую мировые линии:

$$ t(\varphi) = \begin{cases} \sqrt{\frac{2 \varphi }{\varepsilon}}, \quad \text{при} \quad \varphi \le \frac{\omega^2}{2 \varepsilon} \\ \frac{\omega}{2 \varepsilon} + \frac{\varphi}{\omega}, \quad \text{при} \quad \varphi \ge \frac{\omega^2}{2 \varepsilon} \end{cases} $$

$$ t(\varphi) = \begin{cases} \sqrt{\frac{2 (\varphi - 2 \pi) }{\varepsilon}}, \quad \text{при} \quad \varphi - 2 \pi \le \frac{\omega^2}{2 \varepsilon} \\ \frac{\omega}{2 \varepsilon} + \frac{\varphi - 2 \pi}{\omega}, \quad \text{при} \quad \varphi - 2 \pi \ge \frac{\omega^2}{2 \varepsilon} \end{cases} $$

Выглядят они примерно так (по вертикальной оси $t$, по горизонтальной $\varphi$):

Из системы уравнений (3) находим семейство гиперповерхностей постоянного времени (гиперповерхности нумеруется параметром $\alpha$):

$$ t(\varphi) = \begin{cases} \frac{\omega}{\varepsilon} \exp \left( \frac{\varepsilon R^2}{c^2} (\varphi - \alpha) \right), \quad \text{при} \quad \varphi \le \alpha \\ \frac{\omega}{\varepsilon} + \frac{\omega R^2}{c^2} (\varphi - \alpha), \quad \text{при} \quad \varphi \ge \alpha \end{cases} $$

Выглядят они примерно так (зелёные линии):

Интересующая нас длина окружности есть интеграл от $e^{(3)}$ взятый между двумя красными линиями вдоль зелёной линии (линии, разумеется, в пространстве Минковского).

Посколько интеграл громоздкий, а уравнения на нахождение точек пересечения красных и зелёных линий трансцендентные, то до конца расчёт довести затрудняюсь, можете попробовать сами...

Так что ежели Вы собираетесь поговорить об этом лишь после того как будет в явном виде (прям в трёхмерных координатах) выписано указанное трёхмерное пространство (так сказать само по себе), то это почти всё равно что Вы вовсе не собираетесь больше об этом говорить.

Но можно упростить задачу. Пусть карусель вращается равномерно $v = r \sin(\theta) \, \omega$. Трёхмерное пространство равномерно вращающейся карусели имеет следующую метрику:

$$ d \ell^2 = dr^2 + r^2 \, d\theta^2 + \frac{ r^2 \sin(\theta)^2 \, d\psi^2}{1 - \frac{r^2 \sin(\theta)^2 \omega^2}{c^2}}, $$

и это трёхмерное пространство не является гиперповерхностью в пространстве Минковского.

В связи с этим возникает следующий риторический вопрос. Если уж трёхмерное пространство равномерно вращающейся карусели не вкладывается в пространство Минковского, то зачем решать гораздо более сложную задачу с ускоренно вращающейся каруселью? Чего ради? Цель-то уже достигнута.

[epros]

SergeyGubanov в сообщении #998837 писал(а):

Существуют такие трёхмерные пространства, которые не вкладываются в пространство Минковского. Неужели не понятно?

Неужели не понятно, что этот несомненный факт не имеет отношения к делу?

SergeyGubanov в сообщении #998837 писал(а):

Для ускоренно вращающейся карусели? Так там уравнения сложные:

Меня вполне устроит предложеный далее вариант:

SergeyGubanov в сообщении #998837 писал(а):

Но можно упростить задачу. Пусть карусель вращается равномерно

SergeyGubanov в сообщении #998837 писал(а):

Трёхмерное пространство равномерно вращающейся карусели имеет следующую метрику:

$$ d \ell^2 = dr^2 + r^2 \, d\theta^2 + \frac{ r^2 \sin(\theta)^2 \, d\psi^2}{1 - \frac{r^2 \sin(\theta)^2 \omega^2}{c^2}}, $$

и это трёхмерное пространство не является гиперповерхностью в пространстве Минковского.

Вы сейчас определили совершенно отдельное трёхмерное пространство, которое наделили метрикой, которую Вы взяли неизвестно откуда. И тот факт, что формула метрики правильная (правда непонятно, ради чего Вы вместо цилиндрических координат берёте сферические), никоим образом не умаляет значения того, что Вы не фига не поняли откуда она берётся.

А теперь объясните пожалуйста, какое отношение это взятое неизвестно откуда трёхмерное пространство имеет к той гиперповерхности, которая по Вашему утверждению является решением приведённого Вами нерешаемого уравнения.

[SergeyGubanov]

epros в сообщении #998868 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #998837 писал(а):

Существуют такие трёхмерные пространства, которые не вкладываются в пространство Минковского. Неужели не понятно?

Неужели не понятно, что этот несомненный факт не имеет отношения к делу?

Этот несомненный факт имеет прямое отношение к делу.

epros в сообщении #998868 писал(а):

Вы сейчас определили совершенно отдельное трёхмерное пространство, которое наделили метрикой, которую Вы взяли неизвестно откуда. И тот факт, что формула метрики правильная (правда непонятно, ради чего Вы вместо цилиндрических координат берёте сферические), никоим образом не умаляет значения того, что Вы не фига не поняли откуда она берётся.

А теперь объясните пожалуйста, какое отношение это взятое неизвестно откуда трёхмерное пространство имеет к той гиперповерхности, которая по Вашему утверждению является решением приведённого Вами нерешаемого уравнения.

Это Вы ни фига не поняли откуда оно берётся, сейчас мы на десятой странице, а решение было дано на второй:

SergeyGubanov в сообщении #982831 писал(а):

Система покоя:

$$ \bar{e}^{(0)} = c \, dt, \quad \bar{e}^{(1)} = dr, \quad \bar{e}^{(2)} = r \, d\theta, \quad \bar{e}^{(3)} = r \sin(\theta) \, d\varphi. $$

В "плоскости" $\bar{e}^{(0)} \wedge \bar{e}^{(3)}$ делаем локальный Лоренцевский буст с переменной скоростью $v(t, r, \theta, \varphi)$, получаем вращающуюся систему отсчёта:

$$ e^{(0)} = \frac{\bar{e}^{(0)} - \frac{v}{c} \, \bar{e}^{(3)}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}, \quad e^{(1)} = \bar{e}^{(1)}, \quad e^{(2)} = \bar{e}^{(1)}, \quad e^{(3)} = \frac{- \frac{v}{c} \, \bar{e}^{(0)} + \bar{e}^{(3)}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}. $$

В явном виде:

$$ e^{(0)} = \frac{c \, dt - \frac{v}{c} \, r \sin(\theta) \, d\varphi }{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}, \quad e^{(1)} = dr, \quad e^{(2)} = r \, d\theta, \quad e^{(3)} = \frac{r \sin(\theta) \, d\varphi - v \, dt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}. $$

В этой системе отсчёта дифференциальная форма времени $e^{(0)}$ неголономна $e^{(0)} \ne d T$, более того, она даже не может быть сведена к голономной домножением на интегрирующий множитель $e^{(0)} \ne N d T$. То есть в обычном смысле гиперповерхностей постоянного времени $T=\operatorname{const}$ не существует (не существует функции $T$).

Трёхмерная геометрия во вращающейся системе отсчёта задаётся следующей системой дифференциальных связей:

$$ d\ell^2 = \left( e^{(1)} \right)^2 + \left( e^{(2)} \right)^2 + \left( e^{(3)} \right)^2, \; \text{при условии} \; e^{(0)} = 0. $$

В явном виде:

$$ d\ell^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2 + \frac{ \left( r \sin(\theta) \, d\varphi - v \, dt \right)^2 }{1-\frac{v^2}{c^2}}, \; \text{при условии} \; \frac{c \, dt - \frac{v}{c} \, r \sin(\theta) \, d\varphi }{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = 0. $$

Частному случаю, вращению с постоянной угловой скоростью $\Omega$, соответствует выбор $v = \Omega \, r \sin(\theta)$.

Для частного случая $v = \omega \, r \sin(\theta)$ вводим переменную $d\psi = d \varphi - \omega dt$, $0 \le \psi < 2 \pi$ и получаем ответ:

$$ d\ell^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2 + \frac{ r^2 \sin(\theta)^2 \, d\psi^2 }{1-\frac{\omega^2 r^2 \sin(\theta)^2}{c^2}}, \; \text{при условии} \; \frac{c \, dt - \frac{\omega}{c} \, r^2 \sin(\theta)^2 \, (d\psi + \omega dt) }{\sqrt{1-\frac{\omega^2 r^2 \sin(\theta)^2}{c^2}}} = 0. $$

Слова "при условии" относятся к соответствию трёхмерного и четырёхмерного пространств. На трёхмерную геометрию это соответствие не влияет. Трёхмерное пространство (взятое само по себе) описывается метрикой:

$$ d\ell^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2 + \frac{ r^2 \sin(\theta)^2 \, d\psi^2 }{1-\frac{\omega^2 r^2 \sin(\theta)^2}{c^2}}. $$

[epros]

SergeyGubanov в сообщении #998896 писал(а):

Это Вы ни фига не поняли откуда оно берётся, сейчас мы на десятой странице, а решение было дано на второй:

Да, да, я вижу, что Вы как на второй странице ничего не понимали, так и до сих пор продолжаете ту же ерунду нести.

SergeyGubanov в сообщении #998896 писал(а):

Для частного случая $v = \omega \, r \sin(\theta)$ вводим переменную $d\psi = d \varphi - \omega dt$, $0 \le \psi < 2 \pi$ и получаем ответ:

$$ d\ell^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2 + \frac{ r^2 \sin(\theta)^2 \, d\psi^2 }{1-\frac{\omega^2 r^2 \sin(\theta)^2}{c^2}}, \; \text{при условии} \; \frac{c \, dt - \frac{\omega}{c} \, r^2 \sin(\theta)^2 \, (d\psi + \omega dt) }{\sqrt{1-\frac{\omega^2 r^2 \sin(\theta)^2}{c^2}}} = 0. $$

Слова "при условии" относятся к соответствию трёхмерного и четырёхмерного пространств. На трёхмерную геометрию это соответствие не влияет. Трёхмерное пространство (взятое само по себе) описывается метрикой:

$$ d\ell^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2 + \frac{ r^2 \sin(\theta)^2 \, d\psi^2 }{1-\frac{\omega^2 r^2 \sin(\theta)^2}{c^2}}. $$

Нет никакого "трёхмерного простанства, взятого само по себе". Я почему Вам задал задачу про ускоряющееся вращение? Чтобы Вы не пудрили нам мозги пространственной метрикой, которую можно отнести к любому моменту времени (что возможно только в стационарном случае), а чётко указали, к какому моменту времени относится какая пространственная метрика. Иными словами, нужно определить гиперповерхность, находясь на которой множество маленьких геодезистов с маленькими линейками производят измерения, которые в совокупности и составят "пространственную геометрию".

Ладно, ускоренное вращение Вы сочли вычислительно сложным. Тогда для стационарного вращения укажите, к какому именно моменту относится указанная пространственная геометрия, т.е. повторяю вопрос:
"Какое отношение это взятое неизвестно откуда трёхмерное пространство имеет к той гиперповерхности, которая по Вашему утверждению является решением приведённого Вами нерешаемого уравнения"?

-- Ср апр 01, 2015 18:22:27 --

Ёлы-палы, SergeyGubanov, раз Вы упорно не желаете понимать того, что гиперповерхность по определению является подмножеством четырёхмерия, то вот Вам вопрос попроще: Переменные $r$, $\varphi$ и т.д., которые задают координатную карту в Вашем трёхмерии, они откуда взялись? Разве это не те же самые координаты, которые были заданы в четырёхмерии?