Распределение заряда на иголке.

[chislo_avogadro]

Нашёл, предложение было здесь -
post984033.html#p984033
Но что-то мне кажется, если $\varepsilon$ не константа, то имеем полный произвол. Т.е. исходная сосиска и конечная игла уже не будут иметь друг к другу никакого отношения...

[Red_Herring]

Что мы имеем? Благодаря sup метод и доказанные результаты. Теперь можно думать, как опираясь на это улучшить результат (возможно итерациями).

По поводу гантелек и прочих хреновинок: ёмкость "сосидоида" длины $a$ и толщины $\varepsilon \ll a$ будет порядка $a/|\ln \varepsilon|$, а ёмкость шара радиуса $\varepsilon_1$ будет $\varepsilon_1$. Сравнивая их мы можем заключить на уровне спекуляций что будет играть более важную роль: проволока или шары на концах.

[chislo_avogadro]

Значит, и $\varepsilon_1$ должна быть $\ll a$. Дополнительное ограничение.

[Утундрий]

Red_Herring в сообщении #992041 писал(а):

Теперь можно думать, как опираясь на это улучшить результат

Ой, а можно в направлении квантованных зарядов? А то пока что наблюдается исключительно бравурное шествие в сторону бесконечно вытянутого и бесконечно заряженного сосидроида.

[Red_Herring]

Утундрий в сообщении #992142 писал(а):

Ой, а можно в направлении квантованных зарядов?

Сосидоид не бесконечно длинный и не не бесконечно заряженный и с ним ещё не разобрались.

Если же хочется квантованного, то сформулийте (а то ни я, ни, подозреваю sup в этом деле не копенгагены)

[Утундрий]

Red_Herring в сообщении #992153 писал(а):

Сосидоид не бесконечно длинный и не не бесконечно заряженный

Это, конечно, точка зрения, но если не забывать фундаментальную порционность заряда, то рассматриваемая сейчас задача относится не столько к тонкой игле, сколько к вполне макроскопическому чемодану, растянутому в одном направлении на космологические масштабы. И как следствие - соразмерно заряженному.

[sup]

Утундрий
Правильно ли я понимаю, что Вы сейчас говорите о распределении точечных зарядов не на отрезке, а на 3-х мерной "тонкой" иголке? "Непрерывная" 3-d задача оказалась более или менее доступной для изучения. А вот с зарядами на поверхности дело будет сложнее. Впрочем, я не исключаю, что рассматривая непрерывный заряд, мы занимались не вполне бесполезным делом. Вне тела уравнение на потенциал и точечных зарядов будет то же самое. Правда теперь мы не можем утверждать, что поверхность эквипотенциальна. Давайте отодвинемся на некоторое расстояние от нее. Есть основание ожидать, что там потенциал уже выгладится и станет "мало" отличаться от константы. Тогда для этой новой поверхности мы применим известную технику и получим оценки на линейный заряд. Кто знает, может этот подход и сработает.

[Утундрий]

Нет, какая-то область применения у решения, конечно, будет. Я просто пытаюсь понять по какой причине линейная цепочка точечных зарядов сходится совсем к другому пределу. Наверное это всё-таки две разные задачи. А о цепочке ещё надо будет подумать отдельно. Скажем, взять заряды одинаковыми и соединить одинаковыми же пружинами...

[Red_Herring]

Утундрий в сообщении #992661 писал(а):

Я просто пытаюсь понять по какой причине линейная цепочка точечных зарядов сходится совсем к другому пределу.

Да к тому же равномерному распределению.

[sup]

А почему к другому? У Вас есть доказательство?
Вроде бы получается что все сходится к равномерному распределению. Я говорю об одномерной цепочке зарядов в узлах решетки. Строго я это не доказал, но, судя по всему, это так. На краю возникает довольно большой перекос, но его не хватает для формирования дельта-функции.

[Утундрий]

Доказательства у меня нет, есть только несколько частичных сумм, которые если и стремятся к равномерности, то крайне медленно. Так что для практики, возможно, могут быть более интересны какие-нибудь промежуточные асимптотики. Не знаю. Повожусь пока с пружинками.

[Red_Herring]

Утундрий в сообщении #992721 писал(а):

если и стремятся к равномерности, то крайне медленно.

Ну так никто и не говорит что быстро: логарифмически

[sup]

У меня появился небольшой оптимизм относительно дискретной задачи. Оказывается, к ней можно применять схожую технику оценок. Например, в качестве первого (весьма грубого) приближения получилась оценка

$$q_k - q_m \sim \frac {\ln m - \ln k}{\ln {(m-k)}}$$

Похоже, появились шансы "дожать" до чего-то хоть сколько-нибудь определенного.

[chislo_avogadro]

(Сосидоид продвинутой конструкции)

[sup]

Возник любопытный вопрос в задаче $B$ об устойчивом положении зарядов в узлах решетки.
Можно ли доказать, что заряды монотонно убывают от краев к центру?
Вычислительный эксперимент показывает, что не только монотонность но и выпуклость имеет место быть. Но как это доказать?