Распределение заряда на иголке.

[drug39]

Munin в сообщении #981136 писал(а):

Оценивать подобные картинки "на глаз" опасно: там могут быть детали, которые так или иначе не видны при графическом построении. Нужно аналитическое решение всё-таки.

Так я об этом в предыдущем посте и сказал. Более того, в этой теме дал ссылку на аналитическое решение и обещал дать более удачное решение. Но, может, не сейчас. Посмотрю, как будет развиваться дискуссия. Может, кто решит. Дерзайте.

[Someone]

Red_Herring в сообщении #980243 писал(а):

Someone в сообщении #980216 писал(а):

Эта задача, по-моему, обсуждалась: Заряженная жидкость на линейке.

Ну да, обсуждалась. На первой странице писались расходящиеся интегралы причём без разъяснения как их понимать, на остальных больше ругались.

Там было с кем ругаться. Но случай дискретного распределения зарядов там тоже рассматривался, и были красивые графики. К сожалению, за давностью лет все изображения, размещённые на внешних хостингах, пропали.

[Red_Herring]

Someone в сообщении #981151 писал(а):

сожалению, за давностью лет все изображения, размещённые на внешних хостингах, пропали.

Вот поэтому я никогда не считал внешние хостинги удачным решением

-- 22.02.2015, 05:18 --

drug39
это другая задача, в некотором смысле обратная: не найти потенциал данного заряда, а найти оптимальное распределение заряда с точки. А Вы до сих пор математически строгого ответа как понимать $\int \rho(y)dy/(x-y)|x-y|$ не выдали.

[drug39]

Red_Herring, ну как можно понимать интеграл $\int \rho(y)dy/(x-y)|x-y|$. Так как и принято понимать интеграл. Есть у математиков модная тема гиперсингулярные интегралы, которые не берутся в обычном (и в обычном главном) смысле. Это вроде как из той оперы. Вот ети математики и должны дать строгое определение, и не факт, что мы их поймём. Вы для начала краевую задачу правильно поставьте. Уравнение то $\int\limits_{-1}^{1}\frac{\rho(y)}{(x-y)|x-y|}dy=f(x)$ - обычненькое интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода с ядрышком Ньютона - при $f(x)=0$ решений не имеет. А вот при$ f(x)=\frac{-2x}{1-x^2} $ сами решение одно знаете. Только оно там, пока поверьте, не одно. Да и другие $f(x)$ есть, при которых решения существуют.

[Утундрий]

Любопытно, а как математики отнесутся к следующему построению? Расположим заряды линейно с постоянным шагом и потребуем отсутствия поля только в точках - серединах отрезков, соединяющих соседние заряды. Фиксируя суммарный заряд, получаем единственное решение, слегка загибающееся вверх ку краёв.

Похожим спосом, методом дискретных вихрей, рассчитывают обтекание пластинки идеальной несжимаемой жидкостью. Метод, вроде бы, никак не обоснован и хорош лишь тем, что результаты расчёта дают картину, близкую к эксперименту (при не слишком больших временах). Впрочем, интересовался я этими делами довольно давно и нынешний "математический статус" метода мне неизвестен.

[Red_Herring]

drug39
Ну вот как математик я Вам и говорю: Да, можно понять $x)^{-1}|x^{-1}$ как производную $ |x|^{-1}$, а её в свою очередь как производную от $\sign(x) \log |x|$, но последний переход отрывает уравнение от задачи о минимизации энергии.

Утундрий
О каких зарядах идет речь? 1) Точечные заряды =1 (тогда шаг нам неизвестен и явно непостоянен) 2) Точечные неизвестные заряды с постоянным шагом 3) Непрерывные заряды но с кусочно постоянной плотностью (там опять вопрос о понуимании интеграла)

И чем по-Вашему уравнения лучше задачи о минимизации?

[Утундрий]

Ситуация 2.

Неизвестно лучше такой подход или хуже, просто может сработать. По аналогии с гидродинамикой.

[upgrade]

(Оффтоп)

кончик иголки - это конус. может быть надо взять конус с телесным углом $\pi$ и уменьшать угол понемногу попутно отслеживая распределение.

[Утундрий]

Потыкал вплоть до 10000, вроде бы сходится к чему-то непрерывному. Но крайне медленно на краях. Так что неясно интегрируемая ли там получается особенность, но что особенность - это точно: производные растут тем быстрее чем производнее.

[drug39]

Red_Herring в сообщении #981162 писал(а):

drug39, Вы до сих пор математически строгого ответа как понимать $\int \rho(y)dy/(x-y)|x-y|$ не выдали.

Попробую подсказать иначе. Ведь обрывки здравой мысли к одному из решений у Вас были...
Можно понимать так: $\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{\rho(y)}{(x-y)|x-y|}dy=\lim\limits_{w\to\infty} w\frac{d\rho(y)}{dy}$.
Отсюда уравнение $\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{\rho(y)}{(x-y)|x-y|}dy=0$ имеет решение $\rho(y)=const$.
А вот на конечном отрезке $[-1, 1]$ этот интеграл так понимать нельзя. Вернее, можно, но тогда на правую часть уравнения $\int\limits_{-1}^1\frac{\rho(y)}{(x-y)|x-y|}dy=f(x)$ нужно наложить нехилое условие. Догаетесь, какое?

[Red_Herring]

drug39 в сообщении #981704 писал(а):

Попробую подсказать иначе. Ведь обрывки здравой мысли к одному из решений у Вас были...

Пожалуйста, отвечайте на вопрос: «Как понимать указанный интеграл?»

[drug39]

Red_Herring, ну формулу же дал, как нужно понимать этот интеграл. Понимайте его как линейный оператор на пространстве функций $\rho(y)$. По сути это антисимметричный диагональный линейный оператор на пространстве функций.

[Red_Herring]

drug39 в сообщении #981744 писал(а):

Понимайте его как линейный оператор на пространстве функций $\rho(y)$.

Это все слова. Я не помню никакой корректно определенной формулы. Приведите её ещё раз, или хотя бы линк. Только если это предел, то чтобы он существовал.

[drug39]

Вот ещё раз $\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{\rho(y)}{(x-y)|x-y|}dy=\lim\limits_{w\to\infty} w\frac{d\rho(y)}{dy}$. Но существует этот предел не для всех $\rho(y)$, в большинстве случаев он стремится к $\pm\infty$.

[amon]

drug39,
Вы извините, может я и не прав, но Ваши сообщения напомнили мне некое утверждение, которому меня научили в молодости: "Если высказывания собеседника не вызывают ничего, кроме ощущения постоянно ускользающего от тебя глубокого смысла, то с точностью до множества меры ноль собеседник несет чушь". Ваше определение $\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{\rho(y)}{(x-y)|x-y|}dy=\lim\limits_{w\to\infty} w\frac{d\rho(y)}{dy}$ IMHO не означает ничего, кроме того, что $\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{\rho(y)}{(x-y)|x-y|}dy$ равен нулю или бесконечности по определению, что, видимо, неправда.
Я со своей стороны тоже могу предложить некую высосанную из пальца регуляризацию (отличную от главного значения), но это не добавляет понимания ни разу. У меня к Вам просьба - перестаньте пожалуйста говорить загадками, а то будет как в прошлый раз. А в этот раз, мне кажется, что-то для дискретной задачи начало проклевываться.