Заряженная жидкость на линейке.

[Mopnex]

Предлагаю подумать над такой задачей. В одномерном пространстве имеется ограниченная с обоих концов линейка. На эту линейку высыпают очень большое количество маленьких, одноименно заряженных шариков. Надо определить распределение плотности этих шариков на линейке. Допустимы любые допущения и упрощения - можно трактовать это как заряженную жидкость, можно как шарики, как угодно. Но интересно получить хоть какой-нибудь результат.

[Аурелиано Буэндиа]

Mopnex писал(а):

В одномерном пространстве имеется ограниченная с обоих концов линейка

Есть идея, её можно обсудить. Предположим сущесвует состояние равновесия. Очевидно, что в состоянии равновесия шарики должны расположиться так, чтобы потенциальная энергия была минимальной. Если мы решаем задачу в $R^3$, но со связями $x_2=x_3=0$ и $x_1=x \in [-a,a]$, то потенциальный функционал имеет вид

$$ u[\rho]=\int_{-a}^a\int_{-a}^a \frac{\rho(x)\rho(y)}{|x-y|}dxdy, \hspace{7mm} \int_{-a}^a\rho(x)dx=1, $$

где $\rho(x)$ -- плотность шариков. Осталось найти минимум функционала при $\rho(x)>0$, а это уже математическая задача =)

[Зиновий]

Mopnex писал(а):

Предлагаю подумать над такой задачей. В одномерном пространстве имеется ограниченная с обоих концов линейка. На эту линейку высыпают очень большое количество маленьких, одноименно заряженных шариков. Надо определить распределение плотности этих шариков на линейке. Допустимы любые допущения и упрощения - можно трактовать это как заряженную жидкость, можно как шарики, как угодно. Но интересно получить хоть какой-нибудь результат.

На мой взгляд, задача, в такой постановке, имеет только одно решение.
Если считать, что "шарики" несжимаемае (одномерные отрезки), то они расположатся в плотную линию, а остальные просто не уместятся.
Никакие электрические силы не смогут их сместить.

[Аурелиано Буэндиа]

Зиновий писал(а):

Никакие электрические силы не смогут их сместить.

А чем докажите?

[Зиновий]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Зиновий писал(а):

Никакие электрические силы не смогут их сместить.

А чем докажите?

А Вы напрягитесь и догадаетесь.
Задачка для юных школьников.
Такие задачки "на сообразительность" решаются во время "переменки" между уроками...
Если "сдадитесь", разъясню.

[Аурелиано Буэндиа]

Зиновий писал(а):

Задачка для юных школьников.
Такие задачки "на сообразительность" решаются во время "переменки" между уроками...
Если "сдадитесь", разъясню.

Мне не надо напрягаться. Я её решил раньше Вас и привел начало решения. Ну так что доказательства будут или Вы как всегда решили ограничиться болтовней?

[Зиновий]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Зиновий писал(а):

Задачка для юных школьников.
Такие задачки "на сообразительность" решаются во время "переменки" между уроками...
Если "сдадитесь", разъясню.

Мне не надо напрягаться. Я её решил раньше Вас и привел начало решения. Ну так что доказательства будут или Вы как всегда решили ограничиться болтовней?

1. Вы ее не решили, как всегда, заменив решение "общей болтовней", со ссылкой на "математику", с которой вы не всилах справиться.
2. Лично Вам, я ничего не должен.
Научитесь нормальному обращению с людьми...
Если автор темы спросит, я дам ему разъяснения.

[cepesh]

В данном случае учить нормальному общению надо вас, Зиновий. За хамство вы будете наказаны баном.

[Зиновий]

cepesh писал(а):

В данном случае учить нормальному общению надо вас, Зиновий. За хамство вы будете наказаны баном.

Сожалею, что позволил себе шутливый ответ, вызвавший резкую реакцию Аурелиано.
Впредь, обязуюсь обходиться без шуток.

Аурелиано Буэндиа писал(а):

А чем докажите?

Доказательство.
Всилу одномерности пространства (условие задачи), нет составляющей электрического поля нормальной к линейке , которая могла бы препятствовать размещению зарядов на линейке.
Следовательно, несмотря на бесконечную напряженность электрического поля вдоль линейки, учитывая несжимаемость зарядов, на линейке уложится количество зарядов равное отношению длины линейки к длине заряда.
Условие задачи нефизично, но решение есть.

[незваный гость]

Интересное кино получается. С одной стороны, вроде бы понятно, что можно линейку зарядить, и как-то там заряды распределяться.

С другой стороны, рассмотрим такую линейку. В любой точке $t$ напряженность электрического поля должна быть равна $0$, иначе заряд начнет перетекать. Логично?!? Имеем $\int\limits_{-a}^{t} \frac{\rho(x)}{(x-t)^2}{\rm d}x = \int\limits_{t}^{a} \frac{\rho(x)}{(x-t)^2}{\rm d}x$. В этой истории нас интересует малая окрестность $t$. Если в ней существует $\rho'(t)$ (а почему бы и нет?), она должна быть равна $0$ -- иначе разность интегралов окажется бесконечной (а вне окрестности все конечно и все хорошо). Итого -- плотность заряда всюду постоянна. Что как-то неправдоподобно.

Я думаю, что в этой задаче нельзя абстрагироваться от толщины и ширины линейки. Линейку необходимо рассматривать как 3D тело (прут? цилиндр? кирпич наконец. В последнем случае становится сразу ясно, что имеется по крайней мере двумерное распределение заряда). Потом можно пытаться перейти к пределу, но нет гарантии, что мы не получим какую-нибудь сингулярность... Или что результат не окажется зависящим от метода перехода к пределу.

[Зиновий]

незванный гость писал(а):

:evil:
Интересное кино получается. С одной стороны, вроде бы понятно, что можно линейку зарядить, и как-то там заряды распределяться.

С другой стороны, рассмотрим такую линейку. В любой точке $t$ напряженность электрического поля должна быть равна $0$, иначе заряд начнет перетекать. Логично?!? Имеем $\int\limits_{-a}^{t} \frac{\rho(x)}{(x-t)^2}{\rm d}x = \int\limits_{t}^{a} \frac{\rho(x)}{(x-t)^2}{\rm d}x$. В этой истории нас интересует малая окрестность $t$. Если в ней существует $\rho'(t)$ (а почему бы и нет?), она должна быть равна $0$ -- иначе разность интегралов окажется бесконечной (а вне окрестности все конечно и все хорошо). Итого -- плотность заряда всюду постоянна. Что как-то неправдоподобно.

Эта задача, изначально, по условию нефизична, потому, может быть решена только логически - неформально.
"Одномерность", заданная условием задачи, делает бесконечной напряженность электрического поля вдоль линейки, сразу же, после помещения на линейку первого же электрического заряда (теорема Остроградского-Гаусса).
С этого момента, какие-либо формальные расчеты просто исключены.

[незваный гость]

Зиновий писал(а):

может быть решена только логически - неформально

(цвета мои)
"""Вообще-то это Хэмингуэй, но ход Ваших мыслей мне нравится."""

[Аурелиано Буэндиа]

незванный гость писал(а):

но ход Ваших мыслей мне нравится

Значит Вы пришли к такому же заключению что и Зиновий?

[незваный гость]

Не понял. Я изложил своезаключение выше. Или Вы не знаете анекдота про Вовочку?

[Someone]

Зиновий писал(а):

"Одномерность", заданная условием задачи, делает бесконечной напряженность электрического поля вдоль линейки, сразу же, после помещения на линейку первого же электрического заряда (теорема Остроградского-Гаусса).

"Теорема Остроградского - Гаусса" для одномерного пространства - это формула Ньютона - Лейбница. Из неё следует, что напряжённось электрического поля, создаваемого зарядом, постоянна на каждой из двух полупрямых, на которые этот заряд разбивает прямую.