Распределение заряда на иголке.

[Red_Herring]

amon в сообщении #980533 писал(а):

Физический объект пониженной размерности - это нечто, сильно (в смысле - следующий квантовый уровень далеко по характерной энергии) заквантованное по некоторым направлениям,

Ну например электрон в атоме в очень сильном магнитном поле.

-- 20.02.2015, 10:13 --

drug39 в сообщении #980538 писал(а):

$f(x)$ не нуль.

Да я понял. Вопрос, однако, даже не об уравнении, а о том, как этот интеграл понимать. Если $\rho $ не константа даже в смысле главного значения не работает

[amon]

Red_Herring в сообщении #980539 писал(а):

Ну например электрон в атоме в очень сильном магнитном поле.

В некотором смысле -да. Да и просто электрон в сильном магнитном поле одномерен.

[drug39]

Red_Herring в сообщении #980539 писал(а):

Вопрос, однако, даже не об уравнении, а о том, как этот интеграл понимать. Если $\rho $ не константа даже в смысле главного значения не работает

Писал я про это уравнение здесь. $\rho$ получилось именно не константа, точнее константа $\rho$ только на отрезке (-1,1), а на концах отрезка особенности. Правда, нахождение решения там не очень удачное, и там же я обещался изложить решение по-проще, да так руки и не дошли.

[Red_Herring]

drug39 в сообщении #980551 писал(а):

Писал я про это уравнение здесь.

Но и там Вы не объяснили как этот интеграл понимать. Т.е. вопрос остаётся.

[amon]

Утундрий в сообщении #980537 писал(а):

Ну, мне про полиномы Якоби понравилось, например.

Носом не ткнете? А то на 17 страницах мог пропустить.

[sup]

Red_Herring в сообщении #980528 писал(а):

Неверно. Чем больше шариков размещают на отрезке, тем более равномерно они распределяются.

А есть обоснование?
Я как-то давно решал эту задачу о распределении конечного набора точечных зарядов на отрезке. У меня тоже получалось, что заряд вытесняется на края. Но это было давно и неправда.

[Утундрий]

amon

незваный гость в сообщении #104442 писал(а):

http://www.etudes.ru/ru/mov/mov020/index.php
Офигеть!

Ссылка http://www.etudes.ru/ru/etudes/szego/ всё ещё рабочая.

[amon]

Утундрий в сообщении #980571 писал(а):

Ссылка

Спасибо! Прощелкал.

[Red_Herring]

sup в сообщении #980570 писал(а):

А есть обоснование?
Я как-то давно решал эту задачу о распределении конечного набора точечных зарядов на отрезке. У меня тоже получалось, что заряд вытесняется на края. Но это было давно и неправда.

Я эту конкретную задачу не рассматривал. Но если рассмотрим вроде бы схожую задачу когда позиции зарядов фиксированы в $x_n=nh$, а сами заряды $\rho_n h$—нет, но удовлетворяют $\sum _n \rho_n h=Q$, то док-во мне кажется несложно. Хотя м.б. ближе к концам заряды анормально большие (но все равно их суммарный вклад мал)

[Xey]

Red_Herring в сообщении #980528 писал(а):

Xey в сообщении #980499 писал(а):

симметрично ли между серединой и концом можно проверить исходя из электростатики, но основной вывод понятен. Чем больше шариков размещают на отрезке, тем больший процент шаров оказывается вблизи концов отрезка.
Короче, заряд отжимается на концы.

Неверно. Чем больше шариков размещают на отрезке, тем более равномерно они распределяются.

Да нет, не более равномерно, а больший процент зарядов окажется на концах.

Второй шарик с края отталкивается крайним шаром, а с другой стороны отталкивается всеми остальными шарами. Чем больше шаров на отрезке, тем плотнее они прижимают второй шар к крайнему шару.
Аналогично и с последующими шарами.

[amon]

Xey в сообщении #980579 писал(а):

Да нет, не более равномерно, а больший процент зарядов окажется на концах.

На сколько я помню численные упражнения 20-ти летней давности, процент, т.е. относительная высота пика, будет уменьшаться, но очень медленно, а из-за плохой сходимости далеко по числу зарядов не зайти (двигались фиксированные заряды, до идеи Red_Herring'а тогда не додумались).

[drug39]

Red_Herring в сообщении #980562 писал(а):

Но и там Вы не объяснили как этот интеграл понимать. Т.е. вопрос остаётся.

Можно смотреть на него как на предел того интегрального оператора в главном смысле, который Вы понимаете, при $\alpha\rightarrow 1-{o}$. Кстати, вычислительная проверка, не смотря на всё её кощунство по отношению к гиперсингулярным интегралам, у меня вроде как результат подтверждает.

[Red_Herring]

drug39 в сообщении #980593 писал(а):

ожно смотреть на него как на предел того интегрального оператора в главном смысле, который Вы понимаете, при $\alpha\rightarrow 1-{0}$

Увы, нет: потому что $\int \rho'(y) |x-y|^{-\apha}\,dy$ этого
предела не имеет.

amon в сообщении #980585 писал(а):

до идеи b]Red_Herring[/b]'а тогда

Какая там идея? естественная дискретизация "непрерывной" задачи без шариков.

[amon]

Red_Herring в сообщении #980600 писал(а):

Какая там идея? естественная дискретизация "непрерывной" задачи без шариков.

Поэтому и обидно. Так все считалось бы гораздо проще.

[sup]

Red_Herring в сообщении #980575 писал(а):

Я эту конкретную задачу не рассматривал. Но если рассмотрим вроде бы схожую задачу когда позиции зарядов фиксированы в $x_n=nh$, а сами заряды $\rho_n h$—нет, но удовлетворяют $\sum _n \rho_n h=Q$, то док-во мне кажется несложно. Хотя м.б. ближе к концам заряды анормально большие (но все равно их суммарный вклад мал)

Тогда зарядам вообще выгодно собраться в одной точке. А в симметричном случае - на двух концах.
Мне кажется, что в середине иголки распределение зарядов примерно "равномерное" (а может и практически отсутствует). А вот на концах должно быть довольно сильное уплотнение.
Ну действительно, пусть единичные заряды распределены совершенно равномерно. Тогда в окрестности левого (для определенности) конца имеется явный перекос сил, которые должны уплотнять заряды. И чем ближе к концу, тем больший перекос. Ситуацию можно довольно заметно исправить, если на левом конце располагать заряды по закону геометрической прогрессии: расстояние между зарядами сначала $d$, потом $dq$, потом $dq^2$ итд. Заряды с правой половины будут давать некий ненулевой, но "мало меняющийся" вклад. Перекос сил остается, но существенно меньше. Если тенденция верна, то расстояния между зарядами надо делать еще больше. Что нибудь типа $dq^nl(n)$, с медленно растущей $l(n)$. Но это все крайне нестрого. Когда-то давно я, вроде бы, смог построить неплохую приближенную модель, но не помню как именно. Посему утверждать что-то наверняка не могу.