2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ... 21  След.
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение21.02.2015, 07:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9439
Hogtown
sup в сообщении #980700 писал(а):
Тогда зарядам вообще выгодно собраться в одной точке. А в симметричном случае - на двух концах.

Да, я еще предполагал некую "гладкость" распределения, некритически перенося с непрерывного случая. Наверно стоит ввести функционал так:
$\sum_{m>n} \rho+m\rhh_n |m-n|^{-1}h^{-1}+2\sum _n \rho_n ^2 h$

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение21.02.2015, 09:56 
Аватара пользователя


08/12/08
302
Могу предложить ещё один простой подход к решению этой задачи. Можно погонять различные распределения в ручном режиме и смотреть общую картину эквипотенциалей. Критерий прост: эквипотенциали должны огибать отрезок и на достаточном удалении от отрезка не должна проявляться гантелевидность эквипотенциали. Довольно быстро вы придёте к выводу, что распределение должно быть комбинацией равномерно заряженного отрезка и двух одинаковых точечных зарядов на концах отрезка, если рассматривать симметричный случай. Можно постепенно увеличивать долю заряда на концах. При этом с интересом можно наблюдать, что гантелевидность наступает только с определённой доли заряда на концах, равной (если не путаю) половине всего заряда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение21.02.2015, 14:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9439
Hogtown
Попробую предложить достаточно сырую идею про $N$ 1-зарядов, располагающихся на отрезке длины $L$. Енергия будет $\sum _{m<n} (x_n-x_m)^{-1}$ где $x_1<x_2<\ldots <x_N$ и пусть $L^{-1}E(N)$ будет её минимум (по всем таким расположениям).

Если расположение зарядов равномерно то энергия будет $L^{-1}e(N)$, $e(N)=N^2(\ln N + O(1))$. Разумеется, это не оптимально, к концам они будут скапливаться, но насколько? Рассмотрим отрезок, добавим к нему пока что пустой отрезок длине $\delta L$ с малым $\delta>0$ и замкнём в окружность длине $(1+\delta)L$, при этом расстояние между $x_n$ и $x_m$ будем мерить по окружности. Разумеется энергия увеличится, но насколько? Не более чем на $\frac{1}{2}(\delta L)^{-1}N^2$. Теперь разрешим зарядам ползать по окружности, тогда энергия только уменьшится, и заряды расположатся равномерно и
$$
L ^{-1} E(N)\ge L^{-1}(1+\delta)^{-1} e(N) - \frac{1}{2}(\delta L)^{-1}N^2 = L^{-1}N^2 \Bigl(\ln N - C\delta^{-1}\Bigr)$$
т.е. мы получаем второе из
$$
 \ln N+C \ge E(N)/N^2 \ge (1+\delta)^{-1} \ln N -  C\delta^{-1},
$$
а первое следует из $E(N)\le e(N)$. Т.к. $C$ не зависит от $\delta$, $N$, и $\delta>0$ в нашей власти
$$
E(N)/N^2 \sim \ln N.
$$
Теперь я утверждаю, что заряды располагаются асимптотически равномерно в том смысле, что число зарядов на любом отрезке длины $\epsilon$ будет $\epsilon N +o(N)$ при любом фиксированном $\epsilon>0$ и $N\to\infty$.

Действительно, фиксируем большое $K$ и разобьем заряды на $K$ равных последовательных групп и пусть $s_k$ это длина отрезка, занимаемого $k$–той группой. Тогда $\sum_k s_k\le 1$ и $E(N)\ge \sum _k s_k^{-1} (N/K)^2 \ln (N/K)(1-o(1))$, т.е. $E(N)/N^2\ln N \ge \sum _k s_k^{-1} K^{-2}-o(1)$. Мы проигнорировали межгрупповые взаимодействия и энергия только уменьшилась. Тогда
$$
\sum_k s_k\le 1, \qquad \sum_k s_k^{-1} \ge K^2 (1-o(1))
$$
откуда следует $s_k= 1/K+o(1)$ при $N\to \infty$.

Наверно, можно получить квалифицированные оценки, заменив $o(1)$ на $O(1/\ln N)$ или что-то подобное, но именно логарифмическое, а не степенное и поэтому все численное будет сходиться к равномерному очень плохо. Можно, наверно, вычислить главный член отклонения от равномерного.

Прямо из того, что я написал следует $E(N)/N^2=\ln N + O((\ln N)^{\frac{1}{2}})$ но это, наверно, можно улучшить

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение21.02.2015, 19:09 
Заслуженный участник


22/11/10
1147
Численный эксперимент показывает, что распределение похоже на равномерное, но на концах немного "загибается". Резкого уплотнения на концах уж точно нет. Но и уверенности в равномерном распределении тоже нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение21.02.2015, 19:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9439
Hogtown
Разумеется какое то уплотнение есть и это не противоречит той равномерности которую я показал. Вопрос насколько плотнее и на какой длины участке?

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение21.02.2015, 20:19 
Заслуженный участник


22/11/10
1147
Вот этого я пока и не понял. Насколько это существенно. На 200 точках плотность возле концов в 2 раза больше, чем в центре, но довольно быстро выравнивается. Если интересно, могу прицепить файл с данными.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение21.02.2015, 20:42 
Заслуженный участник


11/05/08
31882
Мне что-то припоминается, что эта задача тут уже обсуждалась; правда, не помню где. И вроде как пришли к выводу, что распределение зарядов существенно зависит от формы иголки (той, что потом бесконечно утончается) -- что в двумерии, что в трёхмерии. И, следовательно, просто иголка как таковая нефизична ни в каком смысле, независимо от никаких квантований.

Кажется, это было где-то в связи с громоотводами или люстрами Чижевского. Хотя не исключено, что мне память и изменяет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение21.02.2015, 20:47 
Заслуженный участник


22/11/10
1147
ewert в сообщении #980962 писал(а):
И, следовательно, просто иголка как таковая нефизична ни в каком смысле

Ну, пусть и так. Но все равно это же интересно. Для конечного количества точечных зарядов задача поставлена корректно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение21.02.2015, 23:03 
Аватара пользователя


08/12/08
302
Red_Herring в сообщении #980943 писал(а):
Разумеется какое то уплотнение есть и это не противоречит той равномерности которую я показал. Вопрос насколько плотнее и на какой длины участке?
Уплотнение на бесконечно малом участке. Поэтому дискретный подход здесь не годится (при всём уважении к Якоби).

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение22.02.2015, 00:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3920
ФТИ им. Иоффе СПб
IMHO, измышления Red_Herring'a вполне тянут на краткое сообщение в Phys. Rev. (если получится оценить отклонение на краях, то точно надо публиковать). Задача с дискретными зарядами абсолютно корректна и интересна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение22.02.2015, 01:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9439
Hogtown
Если говорить о задаче про точечные заряды, то все отклонения в лучшем случае $O(1/\ln N)$ сравнительно, а то и в какой-то степени $<1$ и потому численные расчеты дадут что-то малозаметное в смысле стабилизации.

Да, конечно обсуждалась и не единожды, но то что я посмотрел было почти полностью либо ругачкой, либо размахиванием руками.


Если говорить о непрерывной задаче интерпретируя ее как предел, то тут именно специфика логарифмической расходимости. Была бы сходимость—основной вклад давали бы $x,y$ с $|x-y|\asymp 1$ и ответ бы завсел от формы области (но никак не от оболочки, которая вообще была бы не нужна); если б расходимость была степенной—основной вклад давали бы $x,y$ с $|x-y|\asymp \varepsilon$ и ответ бы завсел от формы оболочки но не области; а вот при логарифмической расходимости основной вклад дают $x,y$ с $C\varepsilon \le  |x-y|\le C^{-1}$ и ответ не зависит ни от чего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение22.02.2015, 01:25 
Заслуженный участник


23/07/08
7971
Харьков
drug39 в сообщении #980728 писал(а):
Критерий прост: эквипотенциали должны огибать отрезок и на достаточном удалении от отрезка не должна проявляться гантелевидность эквипотенциали.
Понятно.
drug39 в сообщении #980728 писал(а):
Довольно быстро вы придёте к выводу, что распределение должно быть комбинацией равномерно заряженного отрезка и двух одинаковых точечных зарядов на концах отрезка, если рассматривать симметричный случай.
А если часть зарядов на концах размазать по отрезку с распределением вроде $ax^2$ ($x=0$ — середина отрезка), это разве будет хуже с точки зрения избегания гантелевидности? Часть заряда, переместившись к середине, должна, по идее, «оттолкнуть» эквипотенциали от середины.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение22.02.2015, 02:24 
Аватара пользователя


08/12/08
302
А моё imho: простую задачу жуём который год. Уж почти все подсказки выдал. Ну, вот ещё то, что выше предлагал.
Это картинка эквипотенциалей равномерно заряженного отрезка.Изображение
Теперь добавим на концы отрезка одинаковые точечные заряды с весом $m=1/8$ их вместе от полного заряда.
Изображение
И далее $m=1/4, 1/2, 3/4, 1$.
ИзображениеИзображениеИзображениеИзображение
Как видим, при $m\leqslant 1/4$ тангенциальная составляющая совершенно не страдает. Это и есть математичеки строгая запись ответа в симметричном случае: $0<m<1/4$. Но результат этот нужно получать аналитически.
svv в сообщении #981070 писал(а):
А если часть зарядов на концах размазать по отрезку с распределением вроде $ax^2$ ($x=0$ — середина отрезка), это разве будет хуже с точки зрения избегания гантелевидности? Часть заряда, переместившись к середине, должна, по идее, «оттолкнуть» эквипотенциали от середины.
Тогда эквипотенциали пересекут отрезок. Я ж говорю, погоняйте заряды и всё увидите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение22.02.2015, 09:23 
Аватара пользователя


08/12/08
302
Ну, и несимметричный случай. $m$ - вес только левого заряда, а правого нет.
ИзображениеИзображениеИзображение
Обозначим $m_1$ - вес левого заряда, $m_2$ - вес правого заряда. Тогда решение имеет вид
$0<m_1<1/8, 0<m_2<1/8$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение22.02.2015, 11:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71624
Оценивать подобные картинки "на глаз" опасно: там могут быть детали, которые так или иначе не видны при графическом построении. Нужно аналитическое решение всё-таки.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 308 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ... 21  След.

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group