Догонит ли черепаха Ахиллеса?

[Mihr]

Grigorich,
философы не только этим занимались. Они частенько вели длиннющие схоластические споры. Как правило, совершенно бессодержательные.
Можно, конечно, полагать, будто всё, удостоившееся внимания философов, исключительно полезно. Но есть ли реальные основания так считать?

[Grigorich]

Mihr в сообщении #974012 писал(а):

философы не только этим занимались. Они частенько вели длиннющие схоластические споры. Как правило, совершенно бессодержательные.

И кто же эти зловредные философы? Если скажу, что это именно и Вы в том числе???
Разве Вы не классифицируете постоянно материю, не сопоставляете , не оцениваете? А главное - не оцениваете свои вышеперечисленные действия в некоторых случаях совершенно бессодержательными? Вам не доводилось вести длиннющих споров, которые позже оказывались бессодержательными? Ах, вы не пишите философских трактатов, но и тот же Зенон, и не только он, кажется не писал. В то же время немало "предметных" учёных замеченных в трактатонаписании не потому, что иссякли в предмете, а потому, что замечают общенаучный (философский) смысл законов и постулатов предметной науки. Тот же экономист Ф.Энгельс.

Mihr в сообщении #974012 писал(а):

Можно, конечно, полагать, будто всё, удостоившееся внимания философов, исключительно полезно. Но есть ли реальные основания так считать?

Не можно. Ровно как и не философов
Но хочется обратить внимания на "халявы" которыми мы пользуемся. Мы их называем здравым смыслом, сформированным нами самостоятельно. Так ли уж самостоятельно, не плод ли это тех "бессодержательных споров" древних философов дошедших странными путями до нас?

[Deggial]

Тема исчерпала себя и ушла в оффтоп.
Закрыто.

Открыто про просьбе ТС.

[DVN]

hurtsy в сообщении #971134 писал(а):

Mihr в сообщении #970828 писал(а):

как строго перенести понятия "больше", "меньше" на бесконечные множества.

При сравнении бесконечных множеств, ещё учитывают наличие элементов, которые принадлежат только одному из множеств.

Вы правы, я этого не учел. При сравнении множеств все просто и наглядно, если известно, что множество является подмножеством, что одно множество включает другое и т. п. Трудности возникают, если об элементах множеств ничего не известно. В этом случае можно судить о равночисленности конечных множеств, если удастся построить взаимооднозначное отображение. И при этом уже можно не учитывать, что чему принадлежит, где подмножество и т. п. Все равно будет правильно. При этом оказалось удобно «считать», соотносить элементы сравниваемых множеств с множеством натуральных чисел.
То, что для бесконечных множеств построение взаимооднозначного отображения недостаточно для сравнения, показал еще Галилей.
1. Не каждое натуральное число есть квадрат, значит, натуральных чисел больше, чем квадратов.
2. Каждое натуральное число можно возвести в квадрат, значит, их количество одинаково.
Из этого противоречия Галилей сделал вывод, что для бесконечных множеств их сравнение лишено смысла. Хотя, если по примеру Литлвуда пронумеровать шары натуральным рядом, сложить их в ящик и затем вытащить все квадраты, то ящик не окажется пустым. Ведь шар под номером 2 не будет вытащен.
И несмотря на это, на сегодняшний день правильны считается второй ответ. В чем тут дело? Видимо, в результатах, полученных этим путем. Была построена стройная непротиворечивая система аксиом. Универсум фон Неймана, кардинальные числа, континуум и пр. Равномощность на бесконечных множествах, как и равносчетность на конечных определяется возможностью построения взаимооднозначного отображения множеств. А множество\подмножество не учитываются. Бесконечное множество может быть равномощно своему подмножеству. Парадокс. И источник ошибок.
Взять обсуждаемую задачу. К ней одновременно применяются понятие равномощности в вышеприведенном смысле и сравниваются множества на выводах о принадлежности элементов множествам. Если явно не указывается на различия множеств положенных и вынутых шаров, то эти множества считаются равными(равномощными), и ящик пуст. Если же явно указать, что первый шар не трогают, а всегда вынимают второй, то ящик не пуст, в нем останется первый шар. Но ведь множества вынутых и положенных шаров все равно равномощны, и если придерживаться единого подхода, то нужно утверждать что ящик тоже будет пустым.
Или для обоих случаев отталкиваться от множеств\подмножеств. То есть, нужно доказать, что множество вынутых шаров не есть подмножество от множества положенных шаров, что эти множества совпадают. Построение взаимооднозначного отображения множеств этого не доказывает. Мы же видели, что подмножество может быть равномощно включающему его множеству.
Я пытался как-то выделить «правильное» отображение множеств на основе «здравого смысла». Мне указали, что такое выделение неубедительно. Пришлось согласиться.
Попробую показать, что множество вынутых шаров есть подмножество положенных. Пусть у нас будут два комплекта шаров, будем параллельно проводить два процесса. Вынутые шары будем складывать в свои ящики. Отличие будет в том, что в одном случае мы будем вынимать шар с младшим номером, а во втором с самым старшим. В первом случае кладут шары в ящик А и перекладывают в ящик Б, во втором соответственно ящики В и Г. После «окончания» процесса (в полдень) ящики В и Г будут не пустыми, можно явно указать номера шаров, которые не будут переложены. Множество вынутых шаров – это ящик Г. Ящик В – это разность между положенными и вынутыми. Значит, множество вынутых шаров – это сумма шаров в ящиках В и Г. Множество вынутых шаров есть подмножество положенных.
Также очевидно, что множества вынутых шаров должны быть равны: процессы параллельны и абсолютно симметричны. Ящики Б и Г должны быть равны. Вопрос, как в этом случае ящик А может оказаться пустым?
Этот вопрос я адресую тем, кто в теме Задача от Дж.Литлвуда. "Парадокс бесконечности"
Утверждал, что ящик в полдень будет пустым: Попов А.В., Sonic86 , Someone, Shwedka, AD, Юстас, Профессор Снэйп и др.

[Mihr]

DVN в сообщении #974620 писал(а):

Бесконечное множество может быть равномощно своему подмножеству. Парадокс. И источник ошибок.

Имхо, никакого парадокса нет при точном употреблении понятий. Да и ошибок не возникает, если не пытаться примешивать к рассуждениям пресловутый "здравый смысл".

DVN в сообщении #974620 писал(а):

Если же явно указать, что первый шар не трогают, а всегда вынимают второй, то ящик не пуст, в нем останется первый шар. Но ведь множества вынутых и положенных шаров все равно равномощны, и если придерживаться единого подхода, то нужно утверждать что ящик тоже будет пустым.

Всё-таки, здесь Вы ошибаетесь. Из того, что бесконечные множества равномощны, вообще говоря, не следует, что их разность - пустое множество. Это Вы опять цепляетесь за "здравый смысл".

DVN в сообщении #974620 писал(а):

Пусть у нас будут два комплекта шаров, будем параллельно проводить два процесса. Вынутые шары будем складывать в свои ящики. Отличие будет в том, что в одном случае мы будем вынимать шар с младшим номером, а во втором с самым старшим. В первом случае кладут шары в ящик А и перекладывают в ящик Б, во втором соответственно ящики В и Г. После «окончания» процесса (в полдень) ящики В и Г будут не пустыми, можно явно указать номера шаров, которые не будут переложены. Множество вынутых шаров – это ящик Г. Ящик В – это разность между положенными и вынутыми. Значит, множество вынутых шаров – это сумма шаров в ящиках В и Г. Множество вынутых шаров есть подмножество положенных.

Как-то малопонятно. Вы имеете в виду, что Ахиллес кладёт шары в ящики А (1-й забег), В (2-й забег), а черепаха их перекладывает в Б (1-й забег), Г (2-й забег)? Так? И что в первом забеге черепаха всегда перекладывает шар с наименьшим номером, а во втором - с наибольшим?
Тогда переход от первого забега ко 2-му - лишь переформулировка Вашего предыдущего требования "одномоментности". Не более. А это требование, как я говорил, искусственно. Можно считать, что выдвигая его, Вы и создаёте основания для "парадокса".
На самом деле, ни Ахиллес, ни черепаха здесь не нужны. Давайте повторим Ваши рассуждения на более простом примере - "парадоксе Галилея". Вас удивляет, что множество $N$ натуральных чисел и множество $K$ их квадратов равномощны, но разность $N-K$ не есть пустое множество? Это отнюдь не парадокс. Повторю ещё раз: из того, что бесконечные множества равномощны, ещё не следует, что их разность - пустое множество.

[Aritaborian]

DVN в сообщении #974620 писал(а):

Но ведь множества вынутых и положенных шаров все равно равномощны, и если придерживаться единого подхода, о нужно утверждать что ящик тоже будет пустым.

Множества натуральных чисел и чётных натуральных чисел равномощны. Но первое минус второе даёт не пустое множество, а множество нечётных чисел, равномощное с ними. Бесконечность — хитрая штука.

[Mihr]

Добавлю такой тезис: равномощность - не одинаковость. Держите его в сознании - и подобные "парадоксы" исчезнут.
Здесь можно даже предложить аналогию из мира людей: равноправие - не одинаковость. Если формально все равноправны, это не значит, что каждый может занять место каждого (на работе). И если мужчины и женщины равноправны, это не значит, что следует заботиться о том, чтобы каждый мужчина имел возможность рожать. Равноправие - это просто равноправие, но отнюдь не тождество.
Вот и равномощность множеств - всего лишь равномощность. Но отнюдь не тождество этих множеств (в общем случае).

[Aritaborian]

Mihr, вы, кажется, перемудрили с аналогиями ;-)

[Mihr]

Aritaborian в сообщении #974741 писал(а):

Mihr, вы, кажется, перемудрили с аналогиями

Возможно. Ну, предложите свою аналогию, если есть более удачная.
Я всего лишь хотел сказать, что равномощность - более грубое свойство, чем равенство.

[provincialka]

(об аналогиях)

Aritaborian в сообщении #974741 писал(а):

Mihr, вы, кажется, перемудрили с аналогиями

Как раз, как раз. Не захочет собеседник рожать -- волей-неволей придется согласиться.

[hurtsy]

DVN в сообщении #974620 писал(а):

Вы правы, я этого не учел. При сравнении множеств все просто и наглядно, если известно, что множество является подмножеством, что одно множество включает другое и т. п.

Спасибо, что ответили. Теперь понятно что вы читали мое сообщение. Все просто и наглядно только для конечных множеств.

DVN в сообщении #974620 писал(а):

Бесконечное множество может быть равномощно своему подмножеству.

Вообще то, если я ничего не перепутал, множество является бесконечным если у него имеется равномощное самому множеству подмножество.

В принципе все это вам уже сообщили участники в своих постах. Лично мне кажется, что вы не совсем корректно переходите от задачи преследования к теоретико-множественной задаче Литлвуда. В задаче Литлвуда всего один параметр - индекс элемента. В задаче преследования два независимых параметра расстояние между бегунами и время. черепаха конечно тоже пробежит к полудню всю дистанцию, но расстояние между ними монотонно увеличивающаяся функция. С уважением,

[arseniiv]

Mihr в сообщении #974752 писал(а):

Я всего лишь хотел сказать, что равномощность - более грубое свойство, чем равенство.

Мне всегда при упоминании равенства и отношения эквивалентности (не являющегося равенством), представляется частично упорядоченное множество всевозможных отношений эквивалентности на данном множестве (или его разбиений). (${\sim_1}\preceq{\sim_2} :\Leftrightarrow \forall x\forall y\mathrel. x\sim_1 y\Rightarrow x\sim_2 y.$) На одном конце — равенство, на другом отношение эквивалентности, ничего не различающее. Сейчас не помню, является ли оно решёткой, но картинок красивых нарисовать можно всё равно…

[Mihr]

arseniiv,
спасибо. По-моему, весьма уместное замечание.

[Лукомор]

hurtsy в сообщении #974768 писал(а):

В задаче Литлвуда всего один параметр - индекс элемента. В задаче преследования два независимых параметра расстояние между бегунами и время

Однако, в задаче Литлвуда время также присутствует, по-крайней мере в той формулировке, которая была приведена в стартовом сообщении данной темы.
Мне кажется, что, даже с учетом времени, задачу Литлвуда можно свести к тому же равенству $0,(9)=1$, к которому я выше свел апорию Зенона об Ахиллесе и черепахе.
Пусть за $1$ минуту до полудня, в ящик уложены $10$ шаров.
Последний из этих $10$ шаров будет извлечен за $\frac{1}{10}$ минуты до полудня, т.е. шар №$10$ пролежит в ящике $0,9$ минуты.
В этот же момент в ящик будет уложен шар №$100$. В соответствии с условием задачи, он будет вынут за $\frac{1}{100}$ до полудня, т.е. шар №$100$ пролежит в ящике $0,09$ минуты.
Таким образом, первые десять шаров будут вынуты за $0,9$, а первые сто шаров - за $0,9+0,09=0,99$ минуты.
В общем виде: Шар с номером $10^N$ пролежит в ящике $\frac{9}{10^N}$ минут, а первые $10^N$ шаров будут вынуты за $\sum\limits_{i=1}^{N}{\frac{9}{10^i}}$ минут.
Устремив $N$ к бесконечности, получаем, что время нахождения шара в ящике стремится к нулю, а общее время необходимое для извлечения всех шариков равно $0,(9)=1$ минуте, так что до полудня как раз успеем очистить ящик от шаров.

[DVN]

hurtsy в сообщении #974768 писал(а):

В принципе все это вам уже сообщили участники в своих постах.

У меня впечатление, что все уверены в правильности ответа и подгоняют рассуждения под этот ответ. И то, что я не соглашаюсь с этим ответом, для них означает, что я не понимаю элементарных вещей, начинают объяснять, приводить аналогии. Даже не знаю, что ответить, чтобы не обидеть.

hurtsy в сообщении #974768 писал(а):

Лично мне кажется, что вы не совсем корректно переходите от задачи преследования к теоретико-множественной задаче Литлвуда. В задаче Литлвуда всего один параметр - индекс элемента. В задаче преследования два независимых параметра расстояние между бегунами и время. черепаха конечно тоже пробежит к полудню всю дистанцию, но расстояние между ними монотонно увеличивающаяся функция. С уважением,

Любой шар будет вытащен из ящика, но количество шаров в ящике монотонно увеличивающаяся функция.
Я понимаю, вам не нравится ответ в формулировке с А. и Ч., и поэтому вы ищите возможную ошибку.
Тут Aritaborian сказал: "Бесконечность — хитрая штука." Тут согласен.
Я пытаюсь донести мысль, что фразы "любой шар будет вытащен из ящика" не равносильна "ящик пуст" при бесконечном числе шаров, вторая не следует из первой. Чтобы было более наглядно, переформулировал задачу. "черепаха доберется до любой точки, до которой доберется Ахиллес" не равносильно "Черепаха догонит Ахиллеса"
Но эта мысль почему-то не доносится, все будто загипнотизированы ответом.