Многие помнят апорию Зенона о быстроногом Ахиллесе, который никак не догонит черепаху. Некоторые понимают, что этим хотел выразить мудрец. Но я тут недавно узнал, что оказывается, черепаха была просто очень шустрая. И, если поменять их местами, то черепаха обязательно догонит Ахиллеса, дайте ей только достаточно времени. Не верите? А я вам сейчас продемонстрирую. Тут в теме Задача от Дж.Литлвуда. "Парадокс бесконечности" обсуждалась задача Литлвуда. Я напомню ее условия. Шары, занумерованные числами 1,2,... кладутся в безразмерный ящик следующим образом. За одну минуту до полудня кладутся шары от 1 до 10, и шар 1 вынимается обратно. За 1/2 минуты до полудня кладутся шары от 11 до 20, и шар 2 вынимаетсяобратно. За 1/3 минуты до полудня кладутся шары от 21 до 30, и шар 3 вынимается обратно. И т.д. Сколько шаров останется в ящике в полдень? Ответ: ни одного, ящик пустой. В задаче не указана ни форма ящика, ни кто опускает и вынимает шары. Это не существенные детали. Вот давайте и заполним эти детали, не нарушая условия задачи. Ящик у нас будет длинный, вдоль него и будут бежать наши бегуны. Попутно Ахиллес будет класть шары в ящик, а черепаха следом их вытаскивать. Ахиллес бежит быстрее, следовательно, и шаров он кладет больше, чем черепаха вытаскивает. Всем ясно, что количество шаров в ящике можно соотнести с расстоянием между Ахиллесом и черепахой. Вначале ящик пустой, оба начинают бег с одной точки. Затем с каждым интервалом в ящике все больше шаров, расстояние между бегунами растет. А в полдень? Ящик пуст, потому что черепаха в конце концов доберется до любого шара. А это значит, что расстояние между черепахой и Ахиллесом ноль, они снова в одной точке, черепаха догнала Ахиллеса. И всего лишь за час (правда час этот равен вечности). Должно быть понятно, что я не изменил условие задачи. И тот, кто настаивал на том, что ящик будет пуст, вынуждены будут согласиться, что хилому Ахиллесу ни за что не убежать от быстроногой черепахи. А кто не соглашался, тот укрепится в своем мнении. ИМХО Литлвуд ошибся. Он хотел показать нам что-то вроде мысленного эксперимента: как выглядит мир, в котором разрешены (возможны) операции с бесконечностями. До некоторой степени мы в таком мире и живем: проводя карандашем по бумаге, мы рисуем отрезок, в котором бесконечное число точек. Но как их представить по отдельности, объекты без размеров. Вот Литлвуд для наглядности представляет их в виде шаров, а бесконечность во времени – в виде такого вот часа. И он хочет продемонстрировать наглядно парадоксы ТМ. Типа: берем в левую руку бесконечное число красных шариков, а в правую бесконечное число синих шариков. Хотим, чтобы напротив каждого красного шарика был синий. Раз и разложили. Не осталось в руках шариков. Снова собрали. Хотим, чтобы синий стоял напротив каждого десятого красного. Раз и готово. И снова все шарики в деле, в руках ничего. Нет для бесконечных множеств такого понятия, как количество. Чтобы было покрасивше, Литлвуд формулирует эти парадоксы в виде задачи. Знатоки ТМ угадывают эти парадоксы с трех нот и дружно твердят, что все верно, не замечая того, что он сфальшивил на четвертой ноте. А ошибка вот в чем. Хотя нет понятия количества, понятия «больше», «меньше», «равно» сохраняются, ибо они не связаны с количеством, а связаны с отношением между элементами множеств. А раз мы можем манипулировать бесконечным числом объектов, то и строить на них отношения тоже должны быть в состоянии. Ну хотя бы как в примерах выше с шариками. Пока отношения не заданы, множества как бы одинаковы, равномощны. А задали отношение, так сразу становятся равны (первый пример) или одно больше другого (второй пример). Тоже парадокс, разные отношения для тех же самых множеств. А что поделаешь? Литлвуд в условии задает отношение неравенства положенных и вынутых шаров: один к десяти. Он его фиксирует, привязывая к определенному моменту времени. Как и во втором примере. Все, отношение задано, одно множество больше второго. Напротив каждого синего есть красный, но не каждый красный напротив синего. Затем говорится, что все вынутые шарики располагаются подряд с самого начала и от этого множества станут равными. Ни фига. Можно передвинуть шарик в начало и закрыть дырку, но появится новая, на том месте, откуда шарик убрали. Хоть бесконечное число шариков передвинь, дырки останутся, потому что заданы отношением сначала. Кто с этим не согласен, у того и получаются черепахи-спринтеры и вмиг испаряющееся бесконечное число шаров. Черепаха, бегущая быстрее Ахиллеса – это уже не парадокс, а невозможная ерунда. Наверное, выбор ответа на эту задачу зависит от того, с какой стороны в этот выдуманный мир приходишь. Если со стороны теории множеств, то собрал шарики, разложил их по-другому. Были множества неравны, стали равны, ну и что. Парадоксы ТМ. А если со стороны реального мира, то действует принцип наблюдателя, как в физике. Пока ты ничего не знаешь о множествах, ты можешь разложить его как угодно, все возможно. Но если уже раз разложил, понаблюдал его и увидел, что множества не равны, то все, далее это не изменится. И если кто-то собрал шарики и разложил их по новому, и множества стали равны, то он жулик и спрятал часть в рукаве. А за это канделябрами бьют. Возьмем решето Эратосфена. От бесконечного множества бесконечное число раз отнимаем по бесконечному множеству. И в остатке все равно получаем бесконечное множество простых чисел. А тут бесконечное число раз добавляем в ящик шарики и в итоге ноль, пусто? Как уложить эти две вещи рядом в голову, чтобы она не взорвалась? В обсуждении упоминался предельный переход. По контексту я догадываюсь, что это такое. Пусть от бесконечного множества бесконечно отнимаем бесконечное подмножество так, чтобы после каждого конечного шага оставалось бесконечное множество. Вроде бы по индукции и в итоге должно остаться бесконечное множество. Но если на каждом шаге в удаляемое подмножество входит первый элемент из оставшихся, то каждый элемент будет когда-нибудь удален и в итоге получаем пустое множество. Это логично. В задаче тоже в конце концов каждый шарик из ящика вынимается. По-видимому, тоже есть предельный переход. Но у меня сложилось впечатление, что он применен не там, где нужно, очень уж нелогичен результат применения. Еще несколько замечаний о языке в этом мире с бесконечностями. Я уже упоминал, что понятия «количество» нет, по крайней мере в том же объеме, что в реальном мире. Поэтому спрашивать «сколько?» – неточность. Нужно спрашивать «есть или нет шары в ящике?». А вот понятия «больше», «меньше» и «равно» останутся в прежнем значении. А меня хотят убедить, что если в ящик положили больше, чем из него вынули, то ящик пустой. Не получится. Я из этого делаю вывод, что выражения «вынули каждый шар» и «ящик пуст» в этом мире уже не имеют той прямой логической связи, которая наблюдается в реальном мире.
|