Догонит ли черепаха Ахиллеса?

[hurtsy]

Mihr в сообщении #970828 писал(а):

как строго перенести понятия "больше", "меньше" на бесконечные множества.

При сравнении бесконечных множеств, ещё учитывают наличие элементов, которые принадлежат только одному из множеств.

[Grigorich]

DVN в сообщении #970449 писал(а):

Многие помнят апорию Зенона о быстроногом Ахиллесе, который никак не догонит черепаху. Некоторые понимают, что этим хотел выразить мудрец.

И что же он хотел? Я, вот, полагаю, что сумел понять почему эта, с виду пустяшная "головоломка", жива столько веков. Я уверен, что Ахиллес не догонит черепаху , хотя слышал много про другой исход.

[Mihr]

Grigorich в сообщении #972046 писал(а):

Я уверен, что Ахиллес не догонит черепаху

То есть, что мне реальность? Мир умопостигаем - и точка. А если реальность не согласуется с моими идеями, то тем хуже для неё самой (для упрямой реальности). Так, что ли?

[Grigorich]

Mihr в сообщении #972060 писал(а):

То есть, что мне реальность? Мир умопостигаем - и точка. А если реальность не согласуется с моими идеями, то тем хуже для неё самой (для упрямой реальности). Так, что ли?

Не надо так относиться к реальности, она сложней, гораздо сложней Ваших представлений. Да и моих тоже.
Эта апория сохранена не глупыми предшественниками вовсе не для тренировки наших мозгов. Проблема гораздо серьёзней. Насколько гладким является наше пространство-время? Вот достойная причина сохранения более двух тысяч лет этой головоломки.
А вопрос на самом деле состоит в том, можно ли бесконечно дробить отрезок пространства? Или на каком-то этапе это уже невозможно? Я лично склоняюсь к дискретности нашего пространства-времени, и поэтому утверждаю, что Ахиллес не догонит! Перегонит - да! Иначе, условно говоря, существуют два соседних кванта пространства по траектории движения Ахиллеса, на одном ещё не догнал, на другом - уже перегнал.

[gris]

А разве дискретность пространства мешает именно догнать? Черепаха и Ахилл могут бежать вдоль Вашей квантовой решётки.

[Mihr]

Grigorich в сообщении #972074 писал(а):

А вопрос на самом деле состоит в том, можно ли бесконечно дробить отрезок пространства?

"Отрезок пространства" звучит как-то... весьма неоднозначно. Что это такое? Выделенная область в реальном пространстве? Воображаемый идеальный объект (математический отрезок), мысленно "начерченный" в пространстве? Его модель в виде тонкого стержня? Что-то ещё?

Grigorich в сообщении #972074 писал(а):

Я лично склоняюсь к дискретности нашего пространства-времени, и поэтому утверждаю, что Ахиллес не догонит! Перегонит - да!

Ну, вероятно, каждый человек к чему-то склоняется. Здесь вопрос лишь в том, каковы реальные основания для его предпочтений.

Grigorich в сообщении #972074 писал(а):

условно говоря, существуют два соседних кванта пространства по траектории движения Ахиллеса, на одном ещё не догнал, на другом - уже перегнал.

Почему именно так?

[Лукомор]

Mihr в сообщении #972099 писал(а):

Я лично склоняюсь к дискретности нашего пространства-времени, и поэтому утверждаю, что Ахиллес не догонит! Перегонит - да!

Вот это совсем непонятно...
Давайте включим фотофиниш!
Пусть скорость Ахиллеса в 10 раз больше скорости черепахи.
И пусть они уже пробежали столько, что расстояние между ними 100 "квантов" пространства.
Размерами А. и Ч. пренебрегаем, все "кванты" пространства одинаковы.
Теперь, Ахиллес пробегает эти 100 квантов, черепаха "пробегает" 10 квантов.
Ахиллес пробегает 10 квантов, черепаха "пробегает" 1 квант.
Теперь внимание!
Ахиллес пробегает этот 1 квант, а черепаха за это время сдвигается только на 1/10 кванта, т.е. с точностью до кванта,
в котором они оба и остаются дальше Ахиллес догнал Черепаху, ибо остаток пути для Ахиллеса составляет 1/9 кванта, а для черепахи 1/90 кванта.
Соревнование окончено, победила дружба!

[Grigorich]

gris в сообщении #972095 писал(а):

А разве дискретность пространства мешает именно догнать? Черепаха и Ахилл могут бежать вдоль Вашей квантовой решётки.

Представление пространства в виде некоей стабильной решётки имхо весьма неудачная модель. Но даже при такой идеализации, вероятность одномигового попадания обеих математических точек на один узел решетки крайне низка. А если хоть чуть-чуть отойти от этой математики, то вообще нереально.

-- 01.02.2015, 10:55 --

Mihr в сообщении #972099 писал(а):

"Отрезок пространства" звучит как-то... весьма неоднозначно.

Это не важно. Важно то, что Вы прекрасно поняли о чём речь, и в чём суть проблемы.

Mihr в сообщении #972099 писал(а):

Почему именно так?

Лукомор в сообщении #972107 писал(а):

Размерами А. и Ч. пренебрегаем, все "кванты" пространства одинаковы.

В принципе я уже ответил выше. Добавлю лишь в условностях чуть. Если представить себя в абсолютном пространстве, то наблюдали бы наше реальное физическое пространство как периодическое появление в нём "точек А и Ч". Не уверен что синхронно и синфазно, но всегда в разных местах и никогда одномигово и в одном месте.. Повторюсь, это условное представление и критику по использованным терминам не приму.

[Лукомор]

Grigorich в сообщении #972139 писал(а):

Но даже при такой идеализации, вероятность одномигового попадания обеих математических точек на один узел решетки крайне низка

То-есть, вероятность того, что Ахиллес наступит на черепаху пренебрежимо мала?

-- Вс фев 01, 2015 10:58:56 --

Grigorich в сообщении #972139 писал(а):

Но даже при такой идеализации, вероятность одномигового попадания обеих математических точек на один узел решетки крайне низка.

Вообще не вопрос.
Пусть они бегут не строго друг за другом, а по параллельным "дорожкам" стадиона.
Обязательно наступит момент, когда они окажутся на равном удалении от начала дорожек.

[Grigorich]

Лукомор в сообщении #972157 писал(а):

Пусть они бегут не строго друг за другом, а по параллельным "дорожкам" стадиона.
Обязательно наступит момент, когда они окажутся на равном удалении от начала дорожек.

Не наступит! Как Вы представляете "момент"? Вы уверены, к примеру, что этот момент обязательно придётся на миг актуализации и Ч и А? Как можно оценивать скважность проявления мигов? Ну не 100% во всяком..

[Mihr]

Grigorich в сообщении #972139 писал(а):

Вы прекрасно поняли о чём речь, и в чём суть проблемы.

Не-а. Я даже не знаю, что Вы считаете проблемой. И, тем паче, как конкретно Вы себе представляете "квантованное пространство".

Grigorich в сообщении #972139 писал(а):

Если представить себя в абсолютном пространстве...

И что такое "абсолютное пространство" в Вашем понимании, мне остаётся только гадать.

Grigorich в сообщении #972139 писал(а):

критику по использованным терминам не приму

Да пожалуйста. Но если Вы оперируете терминами, смысл которых не можете объяснить, то и обсуждать, как будто, нечего...

[Grigorich]

Mihr в сообщении #972177 писал(а):

Не-а. Я даже не знаю, что Вы считаете проблемой.

В таком случае это и есть проблема. Ваша.

Mihr в сообщении #972177 писал(а):

И, тем паче, как конкретно Вы себе представляете "квантованное пространство".

Конкретно - никак. Перестаньте искать халяву. Напрягитесь и "представьте оное" самостоятельно.
Я не презентую какую-либо стройную теорию, а исключительно лишь иллюстрирую возможную альтернативу представлениям пространства как нечто гладкому и непрерывному. Именно об этом и апория Зенона.

Mihr в сообщении #972177 писал(а):

Но если Вы оперируете терминами, смысл которых не можете объяснить, то и обсуждать, как будто, нечего...

Обсуждать стоит лишь саму апорию. Если кто-либо предложит иное её разрешение, или "приземлит" мои иллюстрации буду считать своё появление здесь удачным

[Mihr]

Grigorich в сообщении #972288 писал(а):

В таком случае это и есть проблема. Ваша.

Не преувеличивайте. Не так уж для меня важно понимать Ваши образы...

Grigorich в сообщении #972288 писал(а):

Перестаньте искать халяву.

Не искал.

Grigorich в сообщении #972288 писал(а):

Обсуждать стоит лишь саму апорию.

Да, но обсуждение имеет смысл лишь тогда, когда используемая терминология понятна каждому. А в данном случае я не уверен, понимаете ли Вы сами, о чём говорите. (Например, что такое Ваше "абсолютное пространство", думаю, Вы и сами плохо представляете. Но это, разумеется, лишь моё мнение.)

[Grigorich]

Mihr в сообщении #972362 писал(а):

Не так уж для меня важно понимать Ваши образы

Если только мои - то безусловно!

Mihr в сообщении #972362 писал(а):

Например, что такое Ваше "абсолютное пространство", думаю, Вы и сами плохо представляете.

Не стану Вас переубеждать, поскольку не ставил себе цель ввести определение такового.
...А вообще последние тексты- пустой перебрёх, увы.

[Лукомор]

Grigorich в сообщении #972288 писал(а):

Обсуждать стоит лишь саму апорию. Если кто-либо предложит иное её разрешение...

"А чего сразу Лукомор?!"
(с) Лукомор
_________________
Ладно, так и быть, открою Вам страшный секрет.
Задача Зенона про Ахиллеса и черепаху представляет собой всего лишь частный случай более общей задачи Лукомора про Ахиллеса и черепаху...
Поскольку ссылки на другие сайты здесь не очень приветствуются, изложу кратенько ее формулировку и решение здесь.
____________
Задача Лукомора:
Ахиллес и черепаха, скорости которых c момента старта и до момента финиша постоянны, и относятся, как $k=V_A/V_T$, в момент старта находятся на расстоянии $D_0$ друг от друга, причем черепаха впереди.
Через некоторое время $t_0$ после старта, которое выбирает Наблюдатель (Арбитр, Рефери), он же фиксирует расстояние $l_0=V_A\cdot t_0$, которое за это время пройдет Ахиллес, соответственно черепаха проползет за это время расстояние $l_0/k$.
Далее, Наблюдатель фиксирует положение Ахиллеса и черепахи в те моменты, когда Ахиллес пройдет расстояние в $k$ раз меньшее, чем на предыдущем этапе.
Вопрос: Догонит ли Ахиллес черепаху?!
_____________
Решение: Длина всего пути, пройденного Ахиллесом есть сумма геометрической прогрессии с первым членом $l_0=V_A\cdot t_0$ и знаменателем $q=1/k$.
$l_A=l_0/(1-q)=k\cdot l_0/(k-1)$
Длина всего пути, пройденного черепахой в $k$ раз меньше:
$l_T=l_0/(k-1)$.
Время, прошедшее от старта до финиша:
$t=t_0/(1-q)=k\cdot t_0/(k-1)$
Расстояние между черепахой и Ахиллесом после завершения состязания:
$D_t=D_0+l_T-l_A=D_0+l_0/(k-1)-k\cdot l_0/(k-1)=D_0-l_0$
Если $D_t<0$ Ахиллес обгонит черепаху, если $D_t>0$ Ахиллес не догонит черепаху.
В частном случае, при $l_0=D_0$, получается задача Зенона, и, поскольку здесь $D_t=0$, Ахиллес догонит черепаху, но не перегонит ее.
________________
Примечание: Поскольку $l_0$ выбирает Наблюдатель, исход состязания полностью зависит от его выбора.
Пару числовых примеров:
1.
$k=10\, D_0=100\, l_0=99$
Ахиллес пробегает всего
$l_A=k\cdot l_0/(k-1)=110$ метров
Черепаха
$l_T=l_0/(k-1)=11$ метров.
Ахиллес отстал на
$D_t=D_0-l_0=1$ метр за
$t=k\cdot t_0/(k-1)=11$ секунд.
2.
$k=10\, D_0=100\, l_0=108$
Ахиллес пробегает всего
$l_A=k\cdot l_0/(k-1)=120$ метров
Черепаха
$l_T=l_0/(k-1)=12$ метров.
черепаха отстала на
$D_t=D_0-l_0=- 8$ метров за
$t=k\cdot t_0/(k-1)=12$ секунд.
3.(Задача Зенона).
$k=10\, D_0=100\, l_0=100$
Ахиллес пробегает всего
$l_A=k\cdot l_0/(k-1)=111,(1)$ метров
Черепаха
$l_T=l_0/(k-1)=11,(1)$ метров.
Ахиллес догнал черепаху, т.к.
$D_t=D_0-l_0=0$ за
$t=k\cdot t_0/(k-1)=11,(1)$ секунд.
Победила дружба!