Теорема Ферма и теорема косинусов

[yk2ru]

vasili в сообщении #802651 писал(а):

$c=UV$, $a= U_1V_1$, $b =U_2V_2$, $a + b= U^P$, $c-a =U_2^P$ и $c-b =U_2^P$.

Два раза $U_2^P$, должно быть один раз наверное.

[vasili]

Уважаемый yk2ru ! Вы правы, должно быть $c -b = U_1^P$.

[vasili]

Продолжу исследовать равенство $Z^2 =X^2 +Y^2 -2XY\cos\gamma$ принимая числа $(X, Y и Z)$ как решение уравнения ВТФ для $P =3$ варианта 2 случая, когда (Z, 3) = 3.
К сожалению, нарисовать треугольник не могу, па потому предлагаю его описание.
1. Пусть из точки А выходят два луча, образуя угол γ.
2. На одном луче отложим отрезок, из точки А до точки В, равный Y .
3. На другом луче отложим отрезок из точки, А до точки С, равный X .
4. Отрезок ВС будет равен Z .
5. Опустим из точки В на сторону X высоту $h_1$.
6. Пусть отрезок от точки А до точки пересечения высоты $h_1$ и стороны X равен $X_1$
7. Тогда $\cos\gamma = X_1/Y\engo (1)$
8. Опустим из точки C на сторону Y высоту $h_2$.
9. Пусть отрезок от точки А до точки пересечения высоты $h_2$ и стороны Y равен $Y_1$
10. Тогда $ Y_1/X= \cos\gamma \engo (2)$
11. Тогда с учетом (1) и (2) равенство будет соответственно

$Z^2 =X^2 +Y^2 -2XYX_1/Y$, отсюда

$Z^2 =X^2 +Y^2 -2XX_1\engo (3)$


$Z^2 =X^2 +Y^2 -2XYY_1/X$. отсюда

$Z^2 =X^2 +Y^2 -2YY_1\engo (4)$

12. Преобразуем (3)

$(Z-Y)(Z+Y) = X^2 -2XX_1$, а с учетом формул Абеля

$U_1^3(Z +Y) = U_1^2V_1^2 -2U_1V_1X_1$, отсюда

$X_1\equiv 0\mod U_1\engo(5)$, а так же преобразуем (3)

$(Z-X)(Z+X) = Y^2 -2XX_1$, а с учетом формул Абеля

$U_2^3(Z +X) = U_2^2V_2^2 -2U_1V_1X_1$, отсюда

$X_1\equiv 0\mod U_2^2\engo(6)$

13. Тогда с учетом (5) и (6) имеем

$X_1 = X_0U_1U_2^2$, где $X_0- натуральное число

14. Преобразуем (4)

$(Z-Y)(Z+Y) = X^2 -2YY_1$, а с учетом формул Абеля

$U_1^3(Z +Y) = U_1^2V_1^2 -2U_2V_2Y_1$, отсюда

$Y_1\equiv 0\mod U_1^2\engo(7)$, а так же преобразуем (4)

$(Z-X)(Z+X) = Y^2 -2YY_1$, а с учетом формул Абеля

$U_2^3(Z +X) = U_2^2V_2^2 -2U_2V_2Y_1$, отсюда

$Y_1\equiv 0\mod U_2\engo(8)$

14. Тогда с учетом (7) и (8) имеем

$Y_1 = Y_0U_1^2U_2$, где $Y_0 - натуральное число

15. Так как $\cos\gamma = Y_1/X = X_1/Y$, то

$XX_1 = YY_1$, отсюда с учетом формул Абеля

$U_1V_1X_0U_1U_2^2 = U_2V_2Y_0U_1^2U_2$, а после сокращения

равенства на $U_1^2U_2^2$ имеем

$V_1X_0 = V_2 Y_0$, но так как

$(V_1, V_2) = 1$, то

$X_0 = V_2$ и

$Y_0 = V_1$, тогда

$X_1 = X_0U_1U_2^2 = V_2U_2 U_1U_2 =YU_1U_2$ и

$Y_1 = Y_0U_1U_2^2 = V_1U_1 U_1U_2 =XU_1U_2$.

Пришли к противоречию, катет $X_1$ больше гипотенузs Y, а катет

$Y_1$ больше гипотенузы X. ВТФ для $P=3$, вариант 2 –го случая,

когда ( Z,3) = 3, доказана

[yk2ru]

vasili в сообщении #803760 писал(а):

отсюда с учетом формул Абеля

Где приведены формулы Абеля для случая, когда одно из переменных делится на $n$? У Постникова для такого случая формулы не приведены.

[vasili]

Для приведенного варианта 2-го случая ВТФ, когда (Z, P)=P, формулы Абеля будут

$Z =UV$, $X=U_1V_1$, $Y =U_2V_2$

$Z-Y =U_1^P$, $Z-X =U_2^P$, $X +Y =U^P/P$

или $P(X + Y) =U^P$,

$PU^P =X^{P-1} -X^{P-2}Y +\cdots -XY^{P-2} +Y^{P-1}$,

$U_1^P = Z^{P-1} +Z^{P-2}Y +\cdots + ZY^{P-2} +Y^{P-1}$,

$U_2^P = Z^{P-1} +Z^{P-2}X +\cdots + ZX^{P-2} +X^{P-1}$.

[vasili]

Опечатка
$Y_1 = Y_0U_1U_2^2 = V_1U_1 U_1U_2 =XU_1U_2$.

следует читать
$Y_1 = Y_0U_1^2U_2 = V_1U_1 U_1U_2 =XU_1U_2$.

[anderberg]

Someone в сообщении #800660 писал(а):

pushkar в сообщении #800654 писал(а):

Уравнение теоремы Ферма для степени $n=4$:
$A^4=B^4+C^4$ (2)

pushkar в сообщении #800654 писал(а):

Решая квадратное уравнение (8), получим:
$\cos\alpha=\frac{\sqrt{A^4+2(BC)^2}-A^2}{2BC}$ (9)
В соответствии с теоремой косинусов $\cos\alpha$ определяется по формуле:
$\cos\alpha=\frac{B^2+C^2-A^2}{2BC}$ (10)
Правые части формул (9), (10) не равны.

Поскольку по предположению выполняется равенство (2), то

$$\frac{\sqrt{A^4+2(BC)^2}-A^2}{2BC}=\frac{\sqrt{B^4+2B^2C^2+C^4}-A^2}{2BC}=\frac{\sqrt{(B^2+C^2)^2}-A^2}{2BC}=\frac{B^2+C^2-A^2}{2BC},$$

поэтому правые части формул (9) и (10) равны.

В уравнении (9) $\sqrt{A^4+2(BC)^2}$ иррациональное число. Поэтому косинус угла, определяемого по формуле (9), иррациональное число, а угла, определяемого по форуме (10), рациональная дробь. однако, не целое число.

[fermanyakam_ban]

и anderberg и pushkar - это клоны Козий

[shwedka]

anderberg в сообщении #809441 писал(а):

В уравнении (9) $\sqrt{A^4+2(BC)^2}$ иррациональное число

A доказать это утверждение нникакой из козьих клонов не может.

[rufan]

При любых значениях чисел $A, B, C$ косинусы углов, определяемые по формулам (9), (10), имеют разные значения.
Со времен древних греков известно, что соотношение между сторонами
косоугольных треугольников, в том числе и треугольников, значения сторон которых равны целым числам, определяется уравнением теоремы косинусов.
Поскольку уравнение теоремы Ферма не преобразуется в уравнение, равносильное уравнению теоремы косинусов, соотношение между сторонами
косоугольных треугольников, значения сторон которых равны целым числам,
не определимо уравнением теоремы Ферма.

[Deggial]

rufan, заблокирован как клон marcopolo и пр.

[serega57]

shwedka в сообщении #809465 писал(а):

A доказать это утверждение нникакой из козьих клонов не может.

Думаю и коза тоже.

[Deggial]

serega57, предупреждение за бессодержательное сообщение.

[yk2ru]

vasili в сообщении #803760 писал(а):

15. Так как $\cos\gamma = Y_1/X = X_1/Y$, то

$XX_1 = YY_1$, отсюда с учетом формул Абеля

$U_1V_1X_0U_1U_2^2 = U_2V_2Y_0U_1^2U_2$, а после сокращения

равенства на $U_1^2U_2^2$ имеем

$V_1X_0 = V_2 Y_0$, но так как

$(V_1, V_2) = 1$, то

$X_0 = V_2$ и

$Y_0 = V_1$, тогда

$X_1 = X_0U_1U_2^2 = V_2U_2 U_1U_2 =YU_1U_2$ и

$Y_1 = Y_0U_1U_2^2 = V_1U_1 U_1U_2 =XU_1U_2$.

Пришли к противоречию, катет $X_1$ больше гипотенузs Y, а катет

$Y_1$ больше гипотенузы X. ВТФ для $P=3$, вариант 2 –го случая,

когда ( Z,3) = 3, доказана

Если $X_0 = V_2$ и $Y_0 = V_1$, то $\cos\gamma = u_1u_2$, что точно больше единицы, чего не должно быть. Противоречие.

Возможно, если все верно для степени три, то и по степеням выше можно тем же путем приходить к противоречию $\cos\gamma > 1$. Что-то даже не верится, что все верно, ибо в рассуждениях тройку заменить на $n$ вроде бы не сложно.

[yk2ru]

vasili в сообщении #803760 писал(а):

12. Преобразуем (3)

$(Z-Y)(Z+Y) = X^2 -2XX_1$, а с учетом формул Абеля

$U_1^3(Z +Y) = U_1^2V_1^2 -2U_1V_1X_1$, отсюда

$X_1\equiv 0\mod U_1\engo(5)$, а так же преобразуем (3)

$(Z-X)(Z+X) = Y^2 -2XX_1$, а с учетом формул Абеля

$U_2^3(Z +X) = U_2^2V_2^2 -2U_1V_1X_1$, отсюда

$X_1\equiv 0\mod U_2^2\engo(6)$

Здесь наверное все же неверно допущение, что $X_1$ целое число. Оно может быть и рациональным. То же можно сказать и про $Y_1$.