Одно мнение о математике. Что такое настоящая математика?

[provincialka]

Недовольство не возникает, возникает комплексная плоскость.

Но в любом случае импликация $a=5,b=4 \to a+b=9$ верна, даже если предположение ложно.

[ratay]

Вы как-то, не говоря прямо об этом, обсуждаете программу для физмат школ. В то же время программа для обычных школ излишне усложнена. Я до сих пор не понимаю, на кой черт будущему преподавателю начальных классов основы дифференциального и интегрального исчисления.
Кроме того, если знание физики, химии и т.д. (на качественном уровне, без лишних формул), помогает человеку лучше понять мир, в котором он живет, и он хотя бы не пойдет на поиски ясновидящих-мошенниц с хрустальными шарами, то знание бесконечно малых этому никак не способствует.

[Лукомор]

provincialka в сообщении #963516 писал(а):

Недовольство не возникает, возникает комплексная плоскость.

Но в любом случае импликация $a=5,b=4 \to a+b=9$ верна, даже если предположение ложно.

Позволю себе процитировать Владимира Игоревича Арнольда из его доклада "Нужна ли в школе математика?":

Цитата:

Впрочем, и в американский школьный тест десятилетиями входила задача: найти площадь прямоугольного треугольника с гипотенузой 10 дюймов и опущенной на нее высотой, длиной 6 дюймов. Да минет нас чаша сия.

Хотя формально площадь равна 30 кв.дюймам, некоторое недовольство в процитированном отрывке все же прослеживается...

[Munin]

provincialka в сообщении #963438 писал(а):

Подозреваю, что среди "верующих в творца" математиков тоже достаточно много тех, кто "не использует эту гипотезу" в своих научных изысканиях.

Профессор Снэйп в сообщении #641777 писал(а):

У одного известного математика (увы, не помню, у кого именно), который был также известен как верующий человек, однажды спросили: "А что, веруешь ли ты в единого Бога?" "Да", - ответил он, и затем, немного подумав, добавил, - "с точностью до изоморфизма".

Лукомор в сообщении #963511 писал(а):

То есть, если $\sin(\varphi)=5$, а $\cos(\varphi)=4$, то без задней мысли $\sin(\varphi)+\cos(\varphi)=9$, и наплевать на область допустимых значений функции?
Или, всё таки, "смутное недовольство возникает"?

Возникает, конечно. Основное тригонометрическое тождество нарушено. Если $\sin(\varphi)=5,$ то $\cos(\varphi)=\pm 2i\sqrt{6},$ и никакие ОДЗ здесь ни при чём (ОДЗ и синуса и косинуса включают в себя всю действительную прямую).

-- 17.01.2015 12:08:44 --

Лукомор в сообщении #963531 писал(а):

Позволю себе процитировать Владимира Игоревича Арнольда из его доклада "Нужна ли в школе математика?":

Цитата:

Впрочем, и в американский школьный тест десятилетиями входила задача: найти площадь прямоугольного треугольника с гипотенузой 10 дюймов и опущенной на нее высотой, длиной 6 дюймов. Да минет нас чаша сия.

Хотя формально площадь равна 30 кв.дюймам, некоторое недовольство в процитированном отрывке все же прослеживается...

Нет, вот это как раз задача отличная. Только в том смысле, что как раз надо отсеивать (ставить "неуд") подряд всех тех, кто ничтоже сумняшеся пишет ответ 30 кв. дюймов. А правильным ответом считать только "условия задачи некорректны".

[g______d]

Munin в сообщении #963544 писал(а):

А правильным ответом считать только "условия задачи некорректны".

В таком виде некорректны. Но в целом можно понимать условие и так: предположим, что задан треугольник с данными параметрами. Чему равна его площадь?

Тогда ответом будет "чему угодно". Ответ 30, в принципе, тоже подойдёт, но он ничем не хуже 40.

provincialka в сообщении #963516 писал(а):

Но в любом случае импликация $a=5,b=4 \to a+b=9$ верна, даже если предположение ложно.

Опять же, ответ 9 неполный, потому что из ложного предположения следует всё, что угодно.

[Лукомор]

Munin в сообщении #963544 писал(а):

Только в том смысле, что как раз надо отсеивать (ставить "неуд") подряд всех тех, кто ничтоже сумняшеся пишет ответ 30 кв. дюймов. А правильным ответом считать только "условия задачи некорректны".

И мы, таким образом, возвращаемся к отправной точке обсуждения:

ratay в сообщении #963371 писал(а):

задачки по арифметике, где курочка снесла 5 яичек, а петушок 4, и надо узнать, сколько же они снесли вместе

и заключаем, что как раз надо ставить "неуд" подряд всем тем, кто ничтоже сумяшеся пишет ответ 9, а правильным ответом считать только: "условия задачи некорректны"...

-- Сб янв 17, 2015 12:53:28 --

Munin в сообщении #963544 писал(а):

Возникает, конечно. Основное тригонометрическое тождество нарушено.

Есть мнение, что в любом случае импликация $a=\sin(\varphi)=5,b=\cos(\varphi)=4\to a+b=9$ верна, даже если основное тригонометрическое тождество нарушено...

-- Сб янв 17, 2015 13:14:42 --

g______d в сообщении #963557 писал(а):

Но в целом можно понимать условие и так: предположим, что задан треугольник с данными параметрами. Чему равна его площадь?
Тогда ответом будет "чему угодно".

Извиняюсь, не понял этого пассажа мысли...
Если задан произвольный (не прямоугольный) треугольник, с параметрами $c=10,h_c=6$, то его площадь будет таки равна 30,
Впрочем, возможен и прямоугольный треугольник, только известная сторона будет уже не гипотенузой, а катетом (тогда высота, опущеная на эту известную сторону совпадет со вторым катетом), и площадь опять будет равна 30.

[Kras]

Цитата:

надо ставить "неуд" подряд всем тем, кто ничтоже сумяшеся пишет ответ 9

Понимаете, курочка и петушок не являются объектами изучения математики...

[Munin]

g______d в сообщении #963557 писал(а):

В таком виде некорректны. Но в целом можно понимать условие и так: предположим, что задан треугольник с данными параметрами. Чему равна его площадь?

Ну, это не для всяких школьников :-) И только в том смысле, который озвучили вы. То есть, от школьника хорошо бы иметь здесь развёрнутый и обоснованный ответ.

Лукомор в сообщении #963559 писал(а):

Извиняюсь, не понял этого пассажа мысли...

А он очень существенный.

[arseniiv]

Kras в сообщении #963573 писал(а):

Понимаете, курочка и петушок не являются объектами изучения математики...

Подписываюсь. Математика, если уж её рассматривать как инструмент, обслуживающий модели, может иметь дело не обязательно с моделями, как-то применимыми к реальности — так что ничего плохого в нестандартных петушках нет. А вот если дописать $\sin^2\varphi+\cos^2\varphi\ne1$, это создаст противоречия в любой такой модели (неважно, насколько приложимой к реальности), пользующейся действительным анализом; отличия налицо.

[provincialka]

Какой-то вязкий диалог. И по-моему, ни о чем.
Давно известно, что любая задача содержит умолчания, например:

-- земные это курочки и петушки, или какие-нибудь юпитерианские?
-- в прямом смысле использованы слова "курочка", "петушок", или это клички (скажем, двух перепелок)?
-- прямоугольный треугольник лежит в евклидовой плоскости, или в псевдоевклидовой?
-- синусы и косинусы рассчитываются в мирное время, или в военное

И т.д., и т.п.

[Nemiroff]

Лукомор в сообщении #963511 писал(а):

То есть, если $\sin(\varphi)=5$, а $\cos(\varphi)=4$, то без задней мысли $\sin(\varphi)+\cos(\varphi)=9$, и наплевать на область допустимых значений функции?

Да.

-- Сб янв 17, 2015 18:14:30 --

Лукомор в сообщении #963531 писал(а):

Хотя формально площадь равна 30 кв.дюймам

Нет.

[Yuri Gendelman]

Я читал другой вариант истории про прямоугольный треугольник:

Задача теста была:
найти площадь прямоугольного треугольника с гипотенузой 10 дюймов и высотой 6 дюймов.
Правильным считался ответ 30.

И все было нормально, пока не попался школьник из советских эмигрантов, который написал ответ 24. Когда ему засчитали ошибку, он подал аппеляцию. И уже после этого задачу сняли.

[Лукомор]

Nemiroff в сообщении #963636 писал(а):

Нет.

Тут уже Вы себе противоречите, уважаемый...
Как же нет, если $S={c{h_c}}/2$ для любого треугольника (на плоскости).
По условию:$c=10, h_c=6$, вот, без задней мысли, подставляем в формулу, получаем $S={c{h_c}}/2={10\cdot 6}/2=30$, и наплевать на прямой угол...

[Munin]

Yuri Gendelman
Красивый вариант!

[timber]

provincialka в сообщении #963201 писал(а):

Да тема вообще ни о чем. По-моему, у ТС возникло какое-то смутное недовольство содержанием существующей образовательной программы. Но в чем оно конкретно состоит, он пока не знает. Да и про методику преподавания представления имеет весьма смутные.

Ух ты! Сколько появилось сообщений по этой "вообще ни о чем" теме! Спасибо!

Но у меня есть ясное недовольство системой математического образования. Она не такая уж все-таки адекватная. Можно легко это показать тем, что она дает непредсказуемые результаты. То есть прошлые и текущие показатели успеха обучающихся, мало как влияют на будущие. Приведу вам реальную историю.

Вот взять меня. Я закончил 11 классов. До 9-го класса я был почти что двоечник по математике. Моей стабильной оценкой была 3, с одинаковой частотой встречались и 2 и 4. Ну о пятерках я только мечтал. Таблицу умножения я наизусть учил, но так и не выучил. Когда мы, не помню, не то в 5-м, не то в 6-м классе проходили дроби, всякие НОКи, НОДы, сокращения и т.д., я никак врубиться не мог, что там к чему. Был полный провал. Я помню, как мне неоднократно помогали делать уроки мои очень умные тетя и дядя, и помучившись вынесли диагноз, что я дурак и ничего толкового из меня не выйдет.

Была у нас в классе девочка - отличница по математике. Участвовала во всяких математических конкурсах, занималась еще музыкой. Её даже избрали однажды "королевой математики" школы. Зависть класса.

В 9-м классе я начал задумываться, а что со мной будет дальше. Идти в техникум или ПТУ мне не очень-то хотелось. Все сложилось так, что я начал заниматься с репетитором по математике. Он, совсем не школьными методами объяснял мне математику. Я понял, что мне гораздо интереснее и легче понять идеи и задачи, если в них нет сложных нагромождений конкретных цифр, а есть простые абстрактные вещи - $a, b, c, x, x^n$ и т.д. и т.п., и вышло так ...

В 10 и 11 классе я был один из лучших учеников по математике. Даже бывал на олимпиадах. В аттестате зрелости оценка по предмету "5". Вступительные экзамены в ВУЗе сдал на максимальный бал. В университете во всех семестрах по предмету был отличником. Та девочка в 10-й класс не перешла, пошла учиться в техникум. Об её дальнейших успехах я не знаю.

Эта история не единственный случай. Сколько было таких, кто в начальных и средних классах учился и разбирался на отлично в математике, в старших классах съехали, в высшей школе вообще плохо понимали о чем идет речь.

Может это совсем и нормальная система обучения? Может я утрирую? Ну вот учится ребенок, все замечательно решает, понимает и бац! И уже понять не может, например, почему $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 $, или свойства $f(x)=\log_a{x}$ и зачем это вообще все нужно.

ЗЫ
А, ну да! В итоге, я так математику и не знаю.