Одно мнение о математике. Что такое настоящая математика?

[timber]

Известно много разных определений предмета математики.

В советское время классическим было такое определение:

Математика - наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

Бурбаки заявлял, что:

Математика представляется как учение об отношениях между объектами, о которых ничего не известно, кроме описывающих их некоторых свойств, — именно тех, которые в качестве аксиом положены в основание теории. Математика есть набор абстрактных форм — математических структур.

Есть еще и такое:

Настоящий математик работает не с числами, а понятиями.

Говорят, опираясь на последнее утверждение, в школьном образовании неоднократно были попытки отучить детей бездумно манипулировать символами.

Насколько эффективна и возможна методика обучения, начиная с высокого уровня абстракции без каких либо хороших предварительных знаний предмета, без всяких там деталей?

Зачем детей учат (кроме того как научить логически мыслить) решать, например, алгебраические уравнения, порой усложняя задачи до уровня олимпиад? Это разве может непосредственно пригодиться или есть какая-то связь, опять таки, допустим, в изучении алгебраических структур обычных $G$ или групп Ли?

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Вопросы преподавания»
Причина переноса: пока тут пусть полежит.

timber, раздел Математика Общие вопросы сделан для специальных сложных и долгих математических задач

[provincialka]

timber в сообщении #963048 писал(а):

учат [...] решать, например, алгебраические уравнения, порой усложняя задачи до уровня олимпиад

Ну, не всех же! Олимпиадные задачи полезны тем, что требуют нестандартного, самостоятельно придуманного подхода. Ну, в идеале...

Другое дело -- усложненные стандартные задачи (по типу сборника Сканави). Вот это уж ни к чему.

[Kras]

В большинстве случаев стандартные задачи вообще ни к чему.

[timber]

Понятно. Олимпиадные таким образом учат самостоятельно мыслить, может быть не шаблонно.

Т.е. способности решения алгебраических уравнений бесполезны для понимания каких-то высших разделов современной математики?

[provincialka]

timber в сообщении #963057 писал(а):

Это разве может непосредственно пригодиться или есть какая-то связь, опять таки, допустим, в изучении алгебраических структур обычных $G$ или групп Ли? Ну или каких-то других высших разделов современной математики?

Эк, куда вас занесло. Вот решаем мы диффур линейный, получаем характеристическое уравнение. Или исследуем функцию, производную к нулю приравниваем: как же без уравнений?

А структуры в высшей алгебре являются обобщениями привычных структур (например, абстрактное поле -- поля рациональных или вещественных чисел, или конечного поля сравнений). Не изучив хорошенько примеры трудно изучать абстрактные понятия.

Конкретно до групп Ли, конечно, далеко, но ведь путь-то надо пройти.

[timber]

provincialka в сообщении #963062 писал(а):

Эк, куда вас занесло. Вот решаем мы диффур линейный, получаем характеристическое уравнение. Или исследуем функцию, производную к нулю приравниваем: как же без уравнений?

А структуры в высшей алгебре являются обобщениями привычных структур (например, абстрактное поле -- поля рациональных или вещественных чисел, или конечного поля сравнений). Не изучив хорошенько примеры трудно изучать абстрактные понятия.

Хотелось бы разобраться с пониманием предмета. Можно поставить знак равенства Понять $=$ Решить?

[Kras]

Цитата:

решаем мы диффур

ужас какой

Цитата:

исследуем функцию, производную к нулю приравниваем

это ещё хуже

Без уравнений нельзя никак, но в таком формате лучше вообще ничего не изучать.

[Pphantom]

Kras в сообщении #963073 писал(а):

Без уравнений нельзя никак, но в таком формате лучше вообще ничего не изучать.

Тогда надо бы сначал понять, зачем надо что-то изучать. В случае, если речь идет о профессиональной подготовке математиков (причем не прикладников) Вы, наверное, правы, однако это ничтожно малая доля изучающих математику людей.

[Kras]

Цитата:

Хотелось бы разобраться с пониманием предмета

Обычно детям чтобы понять суть излагаемого материала надо что-то решать. Или в крайнем случае доказывать. Обычные книжки для детей содержат кучу бесполезных слов. Вот например Никольский-Решетников, Алгебра, 7 класс
Два одночлена считают равными, если один из них получен из другого заменой произведения множителей, каждый из которых есть одна и та же буква, соответствующей степенью этой буквы
Если перед одночленом поставить знак плюс, то получится одночлен, равный исходному
Если перед одночленом поставить знак минус, то получится одночлен, равный исходному, умноженному на число $(-1)$
И из такой гадости тупорылой, невменяемой совершенно, состоит почти весь учебник. Теоретического значения эти факты не имеют. На практике тоже никак не помогают.

Составители учебников - вообще не люди.

[timber]

Kras в сообщении #963089 писал(а):

Цитата:

Хотелось бы разобраться с пониманием предмета

Обычно детям чтобы понять суть излагаемого материала надо что-то решать. Или в крайнем случае доказывать. Обычные книжки для детей содержат кучу бесполезных слов. Вот например Никольский-Решетников, Алгебра, 7 класс
Два одночлена считают равными, если один из них получен из другого заменой произведения множителей, каждый из которых есть одна и та же буква, соответствующей степенью этой буквы
Если перед одночленом поставить знак плюс, то получится одночлен, равный исходному
Если перед одночленом поставить знак минус, то получится одночлен, равный исходному, умноженному на число $(-1)$
И из такой гадости тупорылой, невменяемой совершенно, состоит почти весь учебник. Теоретического значения эти факты не имеют. На практике тоже никак не помогают.

Составители учебников - вообще не люди.

Почему же сразу так?

Может быть это как раз дано для того, чтобы потом легко, например понять такое:

Если функция $f$определена на спектре матрицы $A$, то значение $f(A)$ не зависит от выбора сопрягающей матрицы $T$. Существует и единствен многочлен $p(x)$ $\in$ $F[x] $ такой, что его степень меньше степени минимального аннулирующего многочлена $g(x)$ и $p(A)= f(A)$ .

Какая разница в каком виде будет запись - буквами, словами или цифрами или обозначениями? Главное - уметь понимать написанное.

-- 16.01.2015, 15:15 --

[provincialka]

Я, кажется, уже цитировала одну книжку по статистике, как бы сейчас сказали "для чайников". Там вводилось понятие среднего (выборочного, т.е. среднего арифметического). И приводились две "теоремы".

Теорема 1. Если к каждому значению в выборке прибавить одно и то же число, то и среднее увеличится на ту же величину.
Теорема 2. Если из каждого значения в выборке отнять одно и то же число ...

Дальше у читающего-математика вырывается смешок.
Для меня эта книжка была очень поучительной. Я поняла, как страшно далека я от народа.

[ratay]

provincialka: тема, конечно, для преподавателей, я бы и не участвовал, но спасибо вашему сообщению: я понял, что теоремы бывают разные. Есть теорема Ферма, а есть теоремы для статистиков-чайников.

[provincialka]

ratay
Да тема вообще ни о чем. По-моему, у ТС возникло какое-то смутное недовольство содержанием существующей образовательной программы. Но в чем оно конкретно состоит, он пока не знает. Да и про методику преподавания представления имеет весьма смутные.

[мат-ламер]

timber в сообщении #963069 писал(а):

Хотелось бы разобраться с пониманием предмета. Можно поставить знак равенства Понять $=$ Решить?

Как мне кажется, понять - значит разобраться, откуда ноги растут. Т.е. прочувствовать мотивировки определений. Можно понимать, но не знать. Можно знать, но не понимать. Если не умеешь решать, то значит и не знаешь. Если умеешь решать, ещё ничего не значит. Но уметь решать надо обязательно.