Откуда берется формула центра масс?

[unistudent]

Ответ для Munin
Однородное силовое поле... скажем, что это поле, которое характеризуется постоянным вектором $\vec{g}$, таким что сила действующая на точечную массу $m$ в этом поле выражается формулой $\vec{F}=m\vec{g}$. Направление вектора $\vec{g}$ назовем направлением поля.
Под линией, вдоль которой уравновешивается система точечных масс в таком поле, я подразумевал следущее. Рассмотрим систему точечных масс $m_1, m_2,...,m_k$, распределенных в пространстве, и виртуальную плоскость $\pi$, перпедикулярную заданному направлению поля. Считаем, что в начальный момент точки покоились. Через $p_1, p_2,...,p_n$ обозначим ортогональные проекции точечных масс на эту плоскость. Представим, что на плоскость $\pi$ действуют силы $\vec{F_i}=m_i\vec{g}, i=1,2,...,k и сила $\vec{F}= M\vec{g}$, приложенные в точках $p_1, p_2,...,p_n$ и точке $p \in \pi$ соответственно. Точку $p$ назовем центральной, если плоскость при этом перемещается параллелльно себе. Линию, которая проходит через центральную точку в направлении силового поля, назовем центральной линией.
Согласен, сложно, но по условию задачи мы ничего не знаем про центр масс. К тому же никто в этом топике так и не рассмотрел центр масс как геометрическую точку, которая определяется пересечением прямых линий. Я согласен с ТС, определение $m\dot{\vec{v}}_c=\sum \vec{F}_i$ не является первичным, хотя и имеет право быть таковым. Расскажите, пожалуйста, в чем специальность такого подхода?

[Munin]

unistudent в сообщении #959123 писал(а):

Однородное силовое поле... скажем, что это поле, которое характеризуется постоянным вектором $\vec{g}$

И обобщить это на ту же сферу уже становится проблематично :-)

В остальном - можно, конечно. Но это получается не центр масс, а центр тяжести :-)

unistudent в сообщении #959123 писал(а):

Я согласен с ТС, определение $m\dot{\vec{v}}_c=\sum \vec{F}_i$ не является первичным

Есть разная первичность: историческая и логическая, для начала.

[unistudent]

Munin в сообщении #959139 писал(а):

Есть разная первичность: историческая и логическая, для начала.

О, да, и как правило они совпадают, но спорить об этом нет смысла, ибо неисповедимы пути Господни:)

[Утундрий]

Я тут подумал-подумал и вот чего решил. Вряд ли удастся перенести центр инерции с прямой на кольцо, и вот по какой причине. Любая конечная совокупность точек на прямой неразбросана. То бишь, на прямой всегда достаточно места дабы считать сию совокупность компактной. На кольце же ситуация противополодная - даже конечный набор точек может быть равномерно разбросан по всему имеющемуся пространству. Таковой ситуации на прямой можно достичь только бесконечным набором точек. Скажем, с равным шагом заполняющих всю прямую. Но в такой ситуации невозможность введения какого либо центра очевидна. Если же вы всё-таки непереносимо желаете ввести на компактном многообразии аналог ц.и., то следует позаботиться о налагании некоторых условий неразбросанности. Вотъ.

[Munin]

unistudent в сообщении #959146 писал(а):

О, да, и как правило они совпадают

Как правило, ровно наоборот. Ну и в данном случае, они тоже не совпадают ничуть.

[Geen]

Утундрий в сообщении #959147 писал(а):

то следует позаботиться о налагании некоторых условий неразбросанности.

Мне кажется, возможно основная проблема, всё же, в законах Ньютона

[Утундрий]

Geen в сообщении #959171 писал(а):

возможно основная проблема, всё же, в законах Ньютона

Рассмотрим систему точек с координатами $x_i=i$, где $i \in \mathbb{Z}$. Никакого центра у неё нет. Вопрос, при чём здесь Ньютон?

[Geen]

Утундрий в сообщении #959183 писал(а):

Рассмотрим систему точек с координатами $x_i=i$, где $i \in \mathbb{Z}$. Никакого центра у неё нет.

Возможно предлагаю неудачный пример, но возьмём систему точек с рациональными координатами на отрезке [0,1]...

[Oleg Zubelevich]

как вариант. Пусть $(X,d)$ -- компактное метрическое пространство. В стандартном случае в качестве $X$ можно взять шар, содержащий все массы. Центром масс системы точек $x_1,\ldots,x_n\in X$ c массами $m_1,\ldots, m_n$ называетсямножество на котором функция $f(x)=\sum_km_k(d(x_k,x))^2$ достигает минимума на $X$.

[unistudent]

Oleg Zubelevich в сообщении #959199 писал(а):

как вариант. Пусть $(X,d)$ -- компактное метрическое пространство. В стандартном случае в качестве $X$ можно взять шар, содержащий все массы. Центром масс системы точек $x_1,\ldots,x_n\in X$ c массами $m_1,\ldots, m_n$ называетсямножество на котором функция $f(x)=\sum_km_k(d(x_k,x))^2$ достигает минимума на $X$.

Почему бы не добавить, что в случае эвклидова пространства это суть формальное определение центра инерции.

-- 09.01.2015, 19:55 --

Munin в сообщении #959139 писал(а):

unistudent в сообщении #959123 писал(а):

Однородное силовое поле... скажем, что это поле, которое характеризуется постоянным вектором $\vec{g}$

..Но это получается не центр масс, а центр тяжести

Допустим, тело свободно вращается в так определенном поле сил. Вокруг какой точки оно вращается, вокруг центра тяжести, или же вокруг центра масс? Судя по всему, вокруг центра тяжести. Можно привести примеры из классическай механики, когда центр масс не совпадает с центром тяжести?

[Утундрий]

unistudent в сообщении #959222 писал(а):

Можно привести примеры из классическай механики, когда центр масс не совпадает с центром тяжести?

Неоднородное поле тяжести.

[unistudent]

Утундрий в сообщении #959237 писал(а):

unistudent в сообщении #959222 писал(а):

Можно привести примеры из классическай механики, когда центр масс не совпадает с центром тяжести?

Неоднородное поле тяжести.

Вот, значит всё-таки мое определение годится.

[Geen]

Oleg Zubelevich в сообщении #959199 писал(а):

В стандартном случае в качестве $X$ можно взять шар, содержащий все массы.

А как быть в случае цилиндра?

[unistudent]

Geen в сообщении #959240 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #959199 писал(а):

В стандартном случае в качестве $X$ можно взять шар, содержащий все массы.

А как быть в случае цилиндра?

Я предвкушаю ответ "Цилиндр не является компактным пространством" :)

[Geen]

unistudent в сообщении #959244 писал(а):

Geen в сообщении #959240 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #959199 писал(а):

В стандартном случае в качестве $X$ можно взять шар, содержащий все массы.

А как быть в случае цилиндра?

Я предвкушаю ответ "Цилиндр не является компактным пространством" :)

Очевидно не является. И думаю, это всем очевидно и очевидно, что очевидно ;)