Откуда берется формула центра масс?

[Munin]

Degen1103
Смотря как решать задачу: в рамках классической механики и гравитации, или в ОТО. В ОТО никакого ЦМ нет.

[svv]

lunya
Я бы начал ответ на Ваш вопрос с того, что центр масс — это точка, выделенная самой природой. Ученые дали ей название благодаря тому, что она «от природы» имеет особые свойства. Отодвинем в сторону уравнения, возьмем в руки палку или камень. Если подбросить камень, сильно раскрутив его, можно заметить, что он вращается вокруг некоторой определенной точки, положение которой фиксировано относительно камня. То же с палкой. Можно назвать эту точку «центр естественного вращения», если не нравится «центр масс».
Более того, если попытаться уравновесить палку, положив её на палец, это удастся тогда, когда центр естественного вращения палки займёт положение точно над опорой. Так что центр естественного вращения — это ещё и «центр равновесия».
Ну, а имея уравнения механики, можно найти, от чего и как зависит положение этой точки — что и приводит к известной формуле.

[Munin]

svv в сообщении #971375 писал(а):

Если подбросить камень, сильно раскрутив его, можно заметить, что он вращается вокруг некоторой определенной точки, положение которой фиксировано относительно камня.

Это чисто свойство нашего зрения. На самом деле, камень движется не так.

[svv]

Имелось в виду «в то время, как эта точка движется по параболе».

[Munin]

Ну, понятное дело. Но парабола ничем особо так не выделена среди других линий, по которым движутся другие точки камня.

[svv]

Выделена тем, что по таким линиям движутся все точки камня, если его не раскрутить. А если раскрутить, то находится одна точка, которая всё равно движется по такой линии, как бы камень ни вращался.
Я, кстати, специально написал «сильно», чтобы на первый план вышло вращательное движение. (Не прыгать же с Пизанской башни вместе с вращающимся камнем.)

[Munin]

svv в сообщении #971413 писал(а):

Выделена тем, что по таким линиям движутся все точки камня, если его не раскрутить.

Ну да. Таким образом, мы спускаемся ко следующему вопросу: а чем "не раскрутить" выделено среди "раскрутить"?

svv в сообщении #971413 писал(а):

Я, кстати, специально написал «сильно»

чтобы уйти от строгих формулировок.

Вот только когда вы объясняете чего-то рукомашеством, это катит в лучшем случае за первое приближение к объяснению. И в этой теме сызначально был задан несколько другой уровень.

[svv]

Munin в сообщении #971422 писал(а):

чтобы уйти от строгих формулировок.

Я пробую ещё один подход (вопрос-то у ТС остался). Строгие формулировки в нем неуместны.

Читайте:

lunya в сообщении #624337 писал(а):

Так мне как-раз и интересно с педогогической точки зрения... Не с потолка же взяли закон F=ma... До того, как написать эту формулу были какие-то предпосылки в виде опытов, не правда? И в случае с идеей центра масс - тоже! Мы, конечно-же открыв учебник и прочитав сначала его определение, а потом замечательные следствия - увидим как это классно! Но представте "первобытного" человека самостоятельно познающего мир. Какая основная идея или наблюдение должно было привести его к этому понятию?

На подчеркнутое (мной) я и отвечал.

[Munin]

svv в сообщении #971450 писал(а):

вопрос-то у ТС остался

Я думаю, при отсутствии обратной связи от ТС гаданиями, чего ТС нужно, можно заниматься бесконечно.

[svv]

Всегда есть надежда.
lunya недавно говорила, что заглядывает в тему. Вот я и надеюсь, что она прочитает и скажет: «О! Вот этих слов мне и не хватало».

[lunya]

svv в сообщении #971465 писал(а):

Всегда есть надежда.
lunya недавно говорила, что заглядывает в тему. Вот я и надеюсь, что она прочитает и скажет: «О! Вот этих слов мне и не хватало».

svv в сообщении #971375 писал(а):

lunyaЕсли подбросить камень, сильно раскрутив его, можно заметить, что он вращается вокруг некоторой определенной точки, положение которой фиксировано относительно камня. То же с палкой. Можно назвать эту точку «центр естественного вращения», если не нравится «центр масс».

Спасибо за ответ.

Для меня не совсем было очевидно введение этого понятия в физику в качестве определения. Законы динамики формулируются для матерьяльных точек (не для тел). Вовсе неочивидно с самого начала, что при данном законе движения, должна существовать точка, которой можно заменить все тело с сохранением для нее основного закона движения.

Здесь могу полностью согласиться, скорее всего подобные физические опыты как раз и приводят к предположению, что все-же такая точка возможно существует. Но по ходу рассуждений далее приходится ввести одно понятие - определить силу действующу на тело - как сумму (интеграл) сил приложеных к его материальным точкам (то есть фактически сумировать силы приложенные к разным точкам).

[svv]

Я согласен с Вами, что даже существование такой точки, не говоря о формуле для неё, вовсе не очевидно из уравнений движения материальных точек.

Пожалуйста, проследите за мыслью.
Вот мы достаточно долго занимались движением отдельных материальных точек, хорошо изучили законы Ньютона, находим их удобными, привычными и понятными. Теперь в мои руки попадает система, состоящая из, скажем, трех материальных точек. Я честно выписываю уравнения движения:
$m_1 \mathbf r_1''=\mathbf F_1+\mathbf F_{12}+\mathbf F_{13}$
$m_2 \mathbf r_2''=\mathbf F_2+\mathbf F_{21}+\mathbf F_{23}$
$m_3 \mathbf r_3''=\mathbf F_3+\mathbf F_{31}+\mathbf F_{32}$
Здесь $\mathbf F_1$ — это сумма внешних сил, действующих на $1$-ю материальную точку, а, например, $\mathbf F_{12}$ — это внутренняя сила, действующая на $1$-ю точку со стороны $2$-й. Такие обозначения.

Смотрю я на эти три (или сто, если точек сто) уравнения и думаю: как-то слишком сложно. Точки мои образуют тесно связанную систему. Они как-то взаимодействуют друг с другом, но про детали внутреннего взаимодействия мне знать не хочется. Меня больше интересует, как зависит движение системы от внешних сил. И вообще, я хочу изучать движение системы на уровне системы, а не отдельных точек. Знание движения каждой точки кажется слишком детализированным описанием. Если моя система — это камень, мне хватило бы одного вектора, задающего положение камня, конечно, при условии точного указания того, что этот вектор описывает. Иными словами, саму эту систему я хочу считать одной материальной точкой. Но как строго выполнить переход?

После трехдневной медитации меня осеняет: так как по третьему закону Ньютона $\mathbf F_{12}+\mathbf F_{21}=0$, то по крайней мере от внутренних сил я могу избавиться, сложив все уравнения. При этом я пока не знаю, что делать с левой частью. Но внутренние силы все сокращаются:
$m_1 \mathbf r_1''+m_2 \mathbf r_2''+m_3 \mathbf r_3''=\mathbf F_1+\mathbf F_2+\mathbf F_3$
А чего, собственно, я хочу? В идеале хотелось бы получить уравнение движения системы того же типа, что и второй закон Ньютона, $m\mathbf r''=\mathbf F$. После суммирования мы получили в правой части сумму внешних сил, действующих на каждую точку. Кажется, её и следует считать $\mathbf F$. Ведь если мне неважно, на какую точку действует каждая сила, я просто говорю, что каждая из них приложена к системе, без детализации, и нахожу равнодействующую сил, приложенных к системе. Итак, $\mathbf F=\sum\limits_i \mathbf F_i$.
А какую массу приписать всей системе? Из разных более-менее убедительных соображений $m=\sum\limits_i m_i$.
Выносим $m$ за скобку, чтобы получилось как во втором законе Ньютона, и получаем:
$m\left(\frac{\sum\limits_i m_i \mathbf r_i}{m}\right)''=\mathbf F$.

Иными словами, уравнения Вам ответили:
Мы согласны считать силой, действующей на систему, сумму внешних сил, действующих на каждую частицу.
Мы согласны считать массой системы сумму масс.
Но в таком случае, если Вы хотите получить уравнение, аналогичное второму закону Ньютона, Вам надо будет радиус-вектором системы считать $\mathbf r=\frac{\sum\limits_i m_i \mathbf r_i}{\sum\limits_i m_i}$

[lunya]

svv в сообщении #972300 писал(а):

Я согласен с Вами, что даже существование такой точки, не говоря о формуле для неё, вовсе не очевидно из уравнений движения материальных точек.

Иными словами, уравнения Вам ответили:
Мы согласны считать силой, действующей на систему, сумму внешних сил, действующих на каждую частицу.
Мы согласны считать массой системы сумму масс.
Но в таком случае, если Вы хотите получить уравнение, аналогичное второму закону Ньютона, Вам надо будет радиус-вектором системы считать $\mathbf r=\frac{\sum\limits_i m_i \mathbf r_i}{\sum\limits_i m_i}$

Спасибо, подобное объяснение ранее впервые сама нашла у Фейнмана.

svv в сообщении #972300 писал(а):

Мы согласны считать силой, действующей на систему, сумму внешних сил, действующих на каждую частицу.
Мы согласны считать массой системы сумму масс.

И хотелось убедится, что эти два определения не являются интуитивными, а появляются логически.

Следует признать, вы точно уловили суть вопроса.

[vlapay]

lunya в сообщении #972335 писал(а):

И хотелось убедится, что эти два определения не являются интуитивными, а появляются логически.

Следует признать, вы точно уловили суть вопроса.

Это не логические определения, а экспериментальные. То, что силы и массы складываются линейно - экспериментальный факт и не более. Могло быть и по другому. Люди так устроены, что хотят, что бы всё было попроще, то есть, линейно. Если что-то складывается линейно, то его можно положить в основу теории, если что-то складывается не линейно, то, желательно, разложить результат на линейную сумму по степеням параметра. Так построена вся физика, да и математика тоже.

[svv]

lunya
Сивухин, Общий курс физики, том 1, параграф «Аддитивность и закон сохранения массы».