Странные мысли о размерностях физических величин

[Prikol]

Hyper_Tor в сообщении #944059 писал(а):

Уважаемый Prikol обосновал невозможность измерения секунд в квадрате тем, что время одномерно, я лишь указал на то, что это никем не доказано, одномерное время- это действительно лишь модель и абстракция.

Лучше сказать, что одномерность времени - это реальность, в которой легко может удостовериться каждый. А вот двумерность времени - это действительно модель, которую пока никто не сумел подтвердить.

[Hyper_Tor]

Лучше сказать, что время - это абстракция.

[Prikol]

У вас хоть что-нибудь не абстрактное осталось? Если да, то что?

[warlock66613]

Кажется разумным начать со следующей интерпретации. Истинные законы природы все безразмерны. Единицы измерения и размерности появляются исключительно благодаря введению размерных констант. То есть все размерные константы имеют на самом деле абсолютное безразмерное значение. Тогда то, что радианы и беллы считаются безразмерными, а, скажем, метры не считаются, есть исключительно условный произвол. Можно сделать радиан размерным, введя новую фундаментальную константу $o_b = 2 \pi\text{ рад}$. Её абсолютное безразмерное значение есть просто $2 \pi$. Абсолютное значение метра нам неизвестно, но главное, что оно есть.

В этой интерпретации вопросы обретают более конкретные и удобные формулировки.

Чем так отличаются радианы и децибеллы от метров и секунд? Ответ был дан выше.

Чем определяется удобство введения именно таких, а не иных констант? Здесь ответ, в общем, интуитивно ясен: история с СИ и СГС, примеры из астрономии, шкалы отношений и величин, теория размерностей - всё это идёт в ответ.

Почему можно (и можно ли) возводить рубли и метры в квадрат? Можно, потому что это просто числа.

Почему смотрится странно и обычно указывает на ошибку появление в формуле (например) тригонометрической функции от размерной величины? Здесь тоже ответ, явно, должен быть связан с теорией размерностей, но его конкретное содержание для меня пока туманно.

Могут ли быть размерными координаты в ОТО? Могут, однозначно.

Ситуация с градусами Цельсия также, я уверен, получает достойное объяснение. Правда я ещё не выяснил, какое.

В общем, мне кажется, эта интерпретация заслуживает внимания.

[provincialka]

warlock66613
Звучит красиво, но вызывает недоверие. Хотя, конечно, в некоторых областях "естественные" единицы измерения появились. Радиан там, или скорость света. Из гравитационной константы можно кое-что вытянуть.

Или, например, история со шкалой Кельвина. После ее создания все Цельсии-Фаренгейты-Реомюры - это только устаревшие модели, произвольно устанавливающие начало, в то время, как есть уже абсолютный ноль. Но вот "естественного" градуса пока нет. Или есть?

[Prikol]

warlock66613 в сообщении #944069 писал(а):

Кажется разумным начать со следующей интерпретации. Истинные законы природы все безразмерны.

Если бы это было так, то имели бы право на существование увеличеные и уменьшеные, скажем раза в три или в пять с полтиной, копии привычных нам частиц, молекул и т.д. И тогда их можно было бы иногда наблюдать в ускорителях после столкновений обычных частиц. Ан нет!

Но сами по себе безразмерные единицы измерения - это банальность.
Длина - длина волны водорода или рубидия.
Время - период резонансной линиии водорода или рубидия.
Градус - температура плавления любого металла в вакууме.
Ток - перенос заряда одного электрона в единицу времени.
Масса - масса электрона.

Что еще вам обезразмерить?

[amon]

warlock66613 в сообщении #944069 писал(а):

Истинные законы природы все безразмерны.

Вы охаянного Munin'ым Сенну все-таки почитайте. Если не найдете - могу поделиться. Книжка, конечно, местами тривиальная, и поэтому занудная, но мне в свое время помогла. Вот например такая тривиальная мысль оттуда (в моем пересказе). В 1666 году проверяем мы свежепридуманный второй закон Ньютона. При этом длину измеряем в локтях, силу - растяжением эталонной пружины, а массу - пивной кружкой. Как Вы думаете, получим мы $F=ma$? Нет, конечно. А получим мы, что $\frac{F}{ma}=\mathrm{const}$. Причем, для другой кружки и константа будет другая, хоть и безразмерная. Это, видимо, и есть математическая формулировка Вашего утверждения о безразмерности законов природы (к делению векторов не цепляться, это легко правится).

По поводу первого утверждения о "парадоксе градуса цельсия" IMHO, тут две разные величины обозначены одной буквой. $E=kT$ с одной стороны, с другой, $T=T_c+T_0$ и вроде как парадокс-то пропал, хотя, может я чего не понял.

[warlock66613]

amon в сообщении #944096 писал(а):

Вы охаянного Munin'ым Сенну все-таки почитайте.

Да читал я его когда-то. Но это всё не то.

[amon]

А чем Вам не нравится такое утверждение "истинный закон природы - это функция (функционал, или еще что), значение которой зависит от выбранных единиц измерения (эталонов) и не зависит от объекта измерения"?

[warlock66613]

amon в сообщении #944096 писал(а):

Это, видимо, и есть математическая формулировка Вашего утверждения о безразмерности законов природы

Моё утверждение о безразмерности носит совершенно другой характер. Прежде всего следует заметить, что оно принципиально неопровержимо. Поэтому можно не опасаясь проблем его постулировать. Использую я его чтобы дать рафинированное теоретическое определение понятию "единица измерения". При этом оказывается, что это определение позволяет весьма естественным образом сформулировать обычную теорию размерностей, в том числе и всё то, что излагается в книге Сенна.

А вот с градусами цельсия получается очень, очень интересная штука! Изложу чуть позже.

-- 11.12.2014, 02:52 --

provincialka в сообщении #944073 писал(а):

Или, например, история со шкалой Кельвина. После ее создания все Цельсии-Фаренгейты-Реомюры - это только устаревшие модели, произвольно устанавливающие начало, в то время, как есть уже абсолютный ноль. Но вот "естественного" градуса пока нет. Или есть?

Нет, безразмерного нету. Но дело в том, что есть он или нет на самом деле неважно. Если его нет, можно просто постулировать его существование, так как подобный постулат принципиально неопровергаем.

[g______d]

Вроде уже была тема про размерности со ссылкой на пост Тао.

[warlock66613]

Ну и конечно, будет красиво в конце концов переформулировать всё без использования ненаблюдаемых абсолютных значений констант - но, как известно, калибровки и фоновые метрики далеко не всегда легко исключаются явным образом.

-- 11.12.2014, 03:00 --

Prikol в сообщении #944075 писал(а):

Если бы это было так, то имели бы право на существование увеличеные и уменьшеные, скажем раза в три или в пять с полтиной, копии привычных нам частиц, молекул и т.д.

Ничего подобного. Представьте, что один из фундаментальных законов зучит так: "все молекулы имеют размер 2" - и всё, нет никаких уменьшенных копий.

[g______d]

warlock66613 в сообщении #944069 писал(а):

Ситуация с градусами Цельсия также, я уверен, получает достойное объяснение. Правда я ещё не выяснил, какое.

Ни в один физический закон не входит температура по Цельсию. Везде говорится о разности температур.

warlock66613 в сообщении #944069 писал(а):

Почему смотрится странно и обычно указывает на ошибку появление в формуле (например) тригонометрической функции от размерной величины? Здесь тоже ответ, явно, должен быть связан с теорией размерностей, но его конкретное содержание для меня пока туманно.

По той же причине, по которой не бывает синуса вектора.

-- Ср, 10 дек 2014 16:03:06 --

amon в сообщении #944096 писал(а):

При этом длину измеряем в локтях, силу - растяжением эталонной пружины, а массу - пивной кружкой. Как Вы думаете, получим мы $F=ma$? Нет, конечно. А получим мы, что $\frac{F}{ma}=\mathrm{const}$. Причем, для другой кружки и константа будет другая, хоть и безразмерная.

Почему безразмерная?

[warlock66613]

g______d в сообщении #944105 писал(а):

По той же причине, по которой не бывает синуса вектора.

Синус вектора просто не определён. Синус действительного числа же определён замечательно. Где же здесь та же причина?

-- 11.12.2014, 03:05 --

g______d в сообщении #944105 писал(а):

Ни в один физический закон не входит температура по Цельсию. Везде говорится о разности температур.

Разность температур - это, внезапно, разность двух температур по Цельсию. Так что они не только входят, но ещё и входят в двойном количестве.

[g______d]

provincialka в сообщении #944073 писал(а):

Или, например, история со шкалой Кельвина. После ее создания все Цельсии-Фаренгейты-Реомюры - это только устаревшие модели, произвольно устанавливающие начало, в то время, как есть уже абсолютный ноль. Но вот "естественного" градуса пока нет. Или есть?

$kT$.

-- Ср, 10 дек 2014 16:07:04 --

warlock66613 в сообщении #944106 писал(а):

Синус вектора просто не определён. Синус действительного числа же определён замечательно. Где же здесь та же причина?

В том, что размерная величина является не действительным числом, а вектором. Ну или сечением одномерного векторного расслоения. Посмотрите у Тао.