Начала теории множеств

[planetvulkan]

Это, о начале теорий множеств.

[Феликс Шмидель]

Я описал рамки теории множеств, в которой допускаются и праэлементы (ур-элементы) и переменные, которые не являются множествами.
Более того в рамки этой теории укладываются и $ZFC$ и $MK$ и $NFU$.
Я рассматриваю возможность исключения из $MK$ аксиомы о том, что любой немаксимальный класс является множеством, по той причине, что она несовместима с $NFU$.
В этой теории есть странности, например, то что класс всех синглетонов не эквивалентен классу всех элементов.
Но эта теория непротиворечива, поэтому имеет право на существование.
Можно принять аксиому, эквивалентную аксиоме-схеме замещения: класс множеств меньшей кардинальности, чем некоторое множество является множеством.
Заметим, что эта аксиома не является схемой, поэтому она проще, чем аксиома-схема замещения.
Если мы хотим формулировать аксиомы с множествами, мы можем определить множество, как класс, который является элементом.
Это проще, но это менее интуитивно, чем определение множества из пошагового построения.

-- Ср ноя 19, 2014 17:03:15 --

Someone в сообщении #933112 писал(а):

У меня, вообще говоря, такое впечатление, что Вы непонятно зачем пытаетесь выдумать собственную теорию множеств.

А для чего была "выдумана" теория Морза-Келли? Я думаю, она популярна, поскольку на ней основан замечательный учебник Келли "Общая топология".

[planetvulkan]

Теперь ясно, Вы меня заинтриговали.
Попробую создать новую тему, об уравнении мироздания.

[Феликс Шмидель]

У меня появилась идея, как сделать аксиому-схему замещения непротиворечащей $NFU$: принять вместо неё аксиому, что класс меньшей кардинальности, чем $P(A)$, где $A$ - множество, является множеством.

[Феликс Шмидель]

Вообщем мне понятно, что имеет смысл держаться стандарта $ZFC$ при изложении теории множеств Морза-Келли, потому что ничего лучше пока нет.

[Someone]

Феликс Шмидель в сообщении #933402 писал(а):

А для чего была "выдумана" теория Морза-Келли?

Понятия не имею.

Феликс Шмидель в сообщении #933402 писал(а):

Я думаю, она популярна

Я о ней впервые от Вас услышал.

Феликс Шмидель в сообщении #933402 писал(а):

поскольку на ней основан замечательный учебник Келли "Общая топология".

Ну что Вам сказать… Когда я в 1969 году на третьем курсе начал изучать общую топологию, я спросил у научного руководителя, достаточно ли книги Келли (она как раз в университетских киосках продавалась). Он поморщился и книгу не рекомендовал ввиду её ограниченности. С другой стороны, подходящей литературы на русском языке вообще не оказалось. Сейчас у меня есть второе издание книги Келли, вышедшее в 1981 году, с Добавлением, написанным А.В.Архангельским, чтобы частично компенсировать её пробелы. В предисловии Александр Владимирович книгу хвалит, но опять же сетует, что на русском языке достаточно полной книги по общей топологии как не было, так и нет. В особенности он сетует на отсутствие перевода книги Р.Энгелькинга (этот перевод появился в 1986 году). Второе издание книги Келли я в своё время листал, и особого впечатления она на меня не произвела; а что там какая-то своя теория множеств, я и вообще не заметил.

Феликс Шмидель в сообщении #933594 писал(а):

мне понятно, что имеет смысл держаться стандарта $ZFC$

Ну, ZFC была фактическим стандартом, ещё когда я студентом был.

[Феликс Шмидель]

Я перечитал, то что написал:

Цитата:

К первой группе теорий относится теория множеств Цермело-Френкеля.
Эта теория является самой популярной и наиболее распространённой в математике теорией множеств.
Совокупности, которые она позволяет образовывать называются множествами.

В теории Цермело-Френкеля нельзя говорить о произвольных совокупностях множеств.
В некоторых областях математики, таких, например, как топология, это является неудобством.

и подумал, что эта проблема очень легко решается не выходя за рамки $ZFC$.
Будем называть объекты теории $ZFC$ не множествами, а классами.
А множествами будем называть классы относительно небольшой кардинальности, например, не больше $\aleph_\omega$.

Чем не решение?

[Someone]

Феликс Шмидель в сообщении #933842 писал(а):

Будем называть объекты теории $ZFC$ не множествами, а классами.
А множествами будем называть классы относительно небольшой кардинальности, например, не больше $\aleph_\omega$.

Чем не решение?

$\aleph_{\omega}$ не годится. Но первый сильно недостижимый кардинал подошёл бы. ZFC, пополненная аксиомой существования сильно недостижимого кардинала, позволяет построить модель теории множеств Неймана — Бернайса — Гёделя, в которой исходным объектом является класс, а множества — это классы, которые являются элементами других классов.

В ZFC можно говорить о классах, просто расширив язык путём добавления термов вида $\{x:\varphi(x)\}$, которые интерпретируются как классы.
Но я же давал Вам ссылку на Справочную книгу по математической логике. Там об этом написано.

[Феликс Шмидель]

Someone в сообщении #933989 писал(а):

В ZFC можно говорить о классах, просто расширив язык путём добавления термов вида $\{x:\varphi(x)\}$, которые интерпретируются как классы.
Но я же давал Вам ссылку на Справочную книгу по математической логике. Там об этом написано.

Там написано и о проблемах такого подхода. Целый параграф посвящён тому, как правильно это делать и какую осторожность надо соблюдать.

Цитата:

В обращении с классами нужна определённая осторожность. Мы теперь можем использовать $\{x: \varphi(x)\}$ не доказав предварительно, что эта совокупность есть множество. Однако это не означает, что можно утверждать $\alpha(\{x: \varphi(x)\})$, если уже доказано, что $\forany y: \alpha(y)$.

Возникает вопрос, для чего нужны эти сложности, если при другом подходе с классами можно обращаться как с нормальными объектами и даже образовывать из них совокупности?

[Someone]

Феликс Шмидель в сообщении #934091 писал(а):

Там написано и о проблемах такого подхода. Целый параграф посвящён тому, как правильно это делать и какую осторожность надо соблюдать.

Разумеется, надо соблюдать осторожность. Классы не обязаны быть множествами.

Феликс Шмидель в сообщении #934091 писал(а):

Цитата:

В обращении с классами нужна определённая осторожность. Мы теперь можем использовать $\{x: \varphi(x)\}$ не доказав предварительно, что эта совокупность есть множество. Однако это не означает, что можно утверждать $\alpha(\{x: \varphi(x)\})$, если уже доказано, что $\forany y: \alpha(y)$.

Безусловно. Формула $\forall y(\alpha(y))$ в языке ZFC формулируется и доказывается только для множеств, поэтому применять её к классу без отдельного доказательства нельзя.

Феликс Шмидель в сообщении #934091 писал(а):

Возникает вопрос, для чего нужны эти сложности, если при другом подходе с классами можно обращаться как с нормальными объектами и даже образовывать из них совокупности?

Сильно сомневаюсь. Если Вы просто переименуете часть множеств в классы, то Вы должны сделать это так, чтобы все аксиомы для тех множеств, которые Вы не переименовали, остались истинными. Из этого требования и вылезает, например, сильно недостижимый кардинал (в случае ZFC). Если же Вы просто определяете

Феликс Шмидель в сообщении #933460 писал(а):

У меня появилась идея, как сделать аксиому-схему замещения непротиворечащей $NFU$: принять вместо неё аксиому, что класс меньшей кардинальности, чем $P(A)$, где $A$ - множество, является множеством.

то, боюсь, проблем не избежите.

[Феликс Шмидель]

Someone в сообщении #934141 писал(а):

Если же Вы просто определяете

Феликс Шмидель в сообщении #933460 писал(а):

У меня появилась идея, как сделать аксиому-схему замещения непротиворечащей $NFU$: принять вместо неё аксиому, что класс меньшей кардинальности, чем $P(A)$, где $A$ - множество, является множеством.

то, боюсь, проблем не избежите.

Это из другой оперы - я думал, как совместить $ZFC$ c $NFU$.

Someone в сообщении #934141 писал(а):

Сильно сомневаюсь. Если Вы просто переименуете часть множеств в классы, то Вы должны сделать это так, чтобы все аксиомы для тех множеств, которые Вы не переименовали, остались истинными. Из этого требования и вылезает, например, сильно недостижимый кардинал (в случае ZFC).

Проще всего это сделать: добавить аксиому о существовании множества, элементы которого удовлетворяют всем аксиомам $ZFC$. Затем переименовать множества, которые не являются этими элементами в классы.

[Someone]

Феликс Шмидель в сообщении #934163 писал(а):

Проще всего это сделать: добавить аксиому о существовании множества, элементы которого удовлетворяют всем аксиомам $ZFC$.

Далее нетрудно показать, что это множество имеет мощность, которая является сильно недостижимым кардиналом, и мы возвращаемся к тому, о чём я говорил: добавляем в ZFC аксиому существования сильно недостижимого кардинала. Потом ещё будет некоторая возня с определением того множества, о котором Вы говорите. Оно и будет классом всех множеств, а собственными классами будут его подмножества.

Феликс Шмидель в сообщении #934163 писал(а):

Затем переименовать множества, которые не являются этими элементами в классы.

И для удобства желательно термин "класс" применять ко всем множествам. В итоге никакого различия между множествами и классами не будет (кроме принадлежности упомянутому выше множеству): одни и те же аксиомы выполняются и для множеств, и для классов.

[Феликс Шмидель]

Давайте разберёмся, почему $ZFC$ заставляет нас выходить за пределы кардинала $\aleph_\omega$.
Я не против, если это необходимо, но, по моему это редко нужно.
Если ограничиться множествами меньшей кардинальности, чем $\aleph_\omega$, то аксиома объединения всех элементов множества не выполняется.
Если ограничиться множествами не большей кардинальности, чем $\aleph_\omega$, то не выполняется аксиома о существовании множества всех подмножеств.
Последнюю аксиому можно изменить, чтобы она выполнялась для всех множеств, кроме множеств максимальной кардинальности $\aleph_\omega$.
Это не вызовет никаких проблем, потому что мы до этой кардинальности не добираемся.
А изменить аксиому объединения всех элементов множества более проблематично.
Вместо $\aleph_\omega$ можно взять и меньший кардинал и определить множества как классы не большей кардинальности.
Такое определение множеств позволит избежать необходимости в сильно недостижимом кардинале.

[Someone]

Феликс Шмидель в сообщении #934502 писал(а):

Если ограничиться множествами меньшей кардинальности, чем $\aleph_\omega$, то аксиома объединения всех элементов множества не выполняется.
Если ограничиться множествами не большей кардинальности, чем $\aleph_\omega$, то не выполняется аксиома о существовании множества всех подмножеств.

Дело ещё в том, что мы не знаем, где на шкале алефов расположен кардинал $\mathfrak c=2^{\aleph_0}$, то есть, мощность множества действительных чисел. Неравенство $\mathfrak c>\aleph_{\omega}$ вполне возможно.

А вообще, все такие ограничения, меньшие первого сильно недостижимого кардинала, убивает аксиома подстановки (в соединении с аксиомами суммы и степени).
В первоначальном варианте теория ZF была без аксиомы подстановки, но получилась слишком слабая теория.

[Феликс Шмидель]

Someone в сообщении #934758 писал(а):

Дело ещё в том, что мы не знаем, где на шкале алефов расположен кардинал $\mathfrak c=2^{\aleph_0}$, то есть, мощность множества действительных чисел. Неравенство $\mathfrak c>\aleph_{\omega}$ вполне возможно.

Вы правы, но если принять сontinuum hypothesis, то $2^{\aleph_0}=\aleph_1<\aleph_{\omega}$.
Я не обратил внимание на определение кардиналов $\aleph$ и имел ввиду кардиналы, которые являются степенью предыдущего.

Цитата:

А вообще, все такие ограничения, меньшие первого сильно недостижимого кардинала, убивает аксиома подстановки (в соединении с аксиомами суммы и степени).
В первоначальном варианте теория ZF была без аксиомы подстановки, но получилась слишком слабая теория.

Пусть классы удовлетворяют аксиомам $ZFC$ и $M$ - достаточно мощный класс.
Определим множества следующим образом:

Класс называется множеством, если он содержится в транзитивном классе не большей мощности, чем $M$.

Определённые таким образом множества удовлетворяют всем аксиомам $ZFC$, кроме аксиомы степени, которой удовлетворяют немаксимальные множества, то есть меньшей мощности, чем $M$.

Но это не является недостатком, так как все рассматримаемые в математике множества имеют мощность гораздо меньше чем $M$.