Начала теории множеств

[Someone]

Феликс Шмидель в сообщении #934846 писал(а):

все рассматримаемые в математике множества имеют мощность гораздо меньше чем $M$.

Откуда Вы это знаете? Для решения некоторых задач, относящихся к арифметике, оказываются полезными кардиналы, находящиеся далеко в иерархии недостижимых кардиналов. Также я читал и о том, что в дескриптивной теории множеств существование чрезвычайно больших кардиналов позволяет решить какие-то задачи, хотя дескриптивная теория множеств имеет дело в основном с подмножествами множества действительных чисел.

Феликс Шмидель в сообщении #934846 писал(а):

Вы правы, но если принять сontinuum hypothesis, то $2^{\aleph_0}=\aleph_1<\aleph_{\omega}$.

Боюсь, Вам придётся подобных гипотез принять много. Либо уж сразу [GCH].

[Феликс Шмидель]

Я переписал введение с учётом нашего обсуждения.

Введение в теорию множеств.

Теория множеств, также как математическая логика, является фундаментом, на котором основана вся современная математика.

В ней рассматриваются совокупности или коллекции объектов.

Нельзя образовывать любые совокупности из любых объектов, потому что это ведёт к противоречиям.

В связи с этим, существуют различные варианты теории множеств, которые можно разделить на две группы:

1. Теории, которые позволяют образовывать совокупности из любых объектов, но не разрешают образовывать любые совокупности.
2. Теории, которые позволяют образовывать любые совокупности объектов, но не разрешает образовывать их из любых объектов.

К первой группе теорий относится теория множеств Цермело-Френкеля ($ZFC$).
Эта теория является самой популярной и наиболее распространённой в математике теорией множеств.
Совокупности, которые она позволяет образовывать называются множествами.

В теории Цермело-Френкеля нельзя говорить о произвольных совокупностях множеств.
В некоторых областях математики, таких, например, как топология, это является неудобством.

Эта проблема решается следующим образом.
В теории Цермело-Френкеля все объекты являются множествами, и никаких других объектов нет.
В расширении этой теории вводятся дополнительные объекты, которые называются собственными классами.
Собственные классы являются совокупностями множеств, но сами не принадлежат никакой совокупности.

Недостатком этой теории является то, что каждое утверждение о классах приходится переводить в утверждение, не
содержащее классов.

Близкой теорией является теория множеств $NGB$ Неймана — Бернайса — Гёделя, которая относится ко второй группе теорий.
В ней можно более свободно говорить о классах, но нельзя связывать их выражениями "существует" и "для любого".
Эта теория равносильна с теорией множеств Цермело-Френкеля, в том смысле, что любое утверждение о множествах,
которое можно доказать в одной теории, можно доказать в другой.

Ещё одна близкая теория называется теорией множеств Морза-Келли и относится ко второй группе теорий.
В этой теории можно говорить о классах свободно и связывать их выражениями "существует" и "для любого".
Теория Морза-Келли сильнее и в то же время проще $NGB$, поскольку не накладывает ограничений на свойства,
объединяющие элементы класса.
В теории Морза-Келли все совокупности образуются из элементов, которые принадлежат универсальному классу.
Универсальный класс не является совокупностью всех объектов - такой совокупности в этой теории не существует.
В качестве универсального класса можно было бы взять достаточно большое множество объектов теории Цермело-Френкеля.
Поскольку теория Морза-Келли сильнее теории Цермело-Френкеля, то множества такой величины в последней не существует.
Но в расширении теории Цермело-Френкеля такое множество $V$ существует.
Назовём множества этого расширения классами, а элементы класса $V$ множествами.
В такой теории и классы и множества удовлетворяют стандартным аксиомам Цермело-Френкеля, о классах можно говорить
свободно, и эта теория не менее удобна, чем теория Морза-Келли.
Идея этой теории принадлежит Someone, поэтому назовём её теорией множеств Цермело-Френкеля-Someone.

Из нестандартных теорий отметим теорию множеств $NFU$, которая относится к первой группе теорий.
В ней нет таких ограничений на образование совокупностей, как в теории множеств Цермело-Френкеля.
В теории $NFU$ существует множество всех объектов и другие совокупности, которых нет в теории Цермело-Френкеля.
Эти совокупности обладают в $NFU$ нестандартными свойствами, которые не согласуются с интуицией.
Тем не менее, доказано, что теория $NFU$ непротиворечива, при условии, что непротиворечива теория Цермело-Френкеля.
Недостатком теории $NFU$ является то, что она накладывает ограничения на выражения свойств, объединяющих объекты в множества.
Прежде чем образовать множество, приходится решать, удовлетворяет ли выражение свойства этим ограничениям или нет, что может быть непросто.

Приступим к изложению теории множеств Цермело-Френкеля-Someone.

[Someone]

Феликс Шмидель в сообщении #934977 писал(а):

В такой теории и классы и множества удовлетворяют стандартным аксиомам Цермело-Френкеля, о классах можно говорить
свободно, и эта теория не менее удобна, чем теория Морза-Келли.
Идея этой теории принадлежит Someone, поэтому назовём её теорией множеств Цермело-Френкеля-Someone.

Не надо меня в соавторы включать. Я просто сообщил Вам, что в теории "ZFC + аксиома существования сильно недостижимого кардинала" совокупность $V$ множеств, которые наследственно имеют мощность меньше первого сильно недостижимого кардинала, образует модель ZFC (это давным-давно известно и без меня). И что теперь Вы можете называть такие множества "множествами", а все остальные — "классами". Если оставить в качестве "классов" только подмножества $V$ (а всё, что не является подмножеством $V$, выкинуть), то, если я правильно помню, получится модель NBG.

[Xaositect]

Someone в сообщении #935010 писал(а):

Если оставить в качестве "классов" только подмножества $V$ (а всё, что не является подмножеством $V$, выкинуть), то, если я правильно помню, получится модель NBG.

MK получится.