Начала теории множеств

[Феликс Шмидель]

Просто, но как теперь доказать, что пара из двух множеств - множество?
Определим другую теорию.

В теории есть 2 первоначальных понятия:

1. $x$ - class
2. $x \in y$.

Аксиомы:

1. Если классы $A$ и $B$ имеют одни и те же элементы, то они равны.

2. Класс $\{x: \alpha(x)\}$ существует для любого выражения свойства $\alpha(x)$.

Множества это классы, которые определяются следующим образом:

1) пустой класс является множеством
2) Если $A$ - множество, то класс $\{x: x \subseteq A\}$ является множеством.
3) Пусть $A_1=\{x: x \subseteq A\}$, $A_2=\{x: x \subseteq A_1\}$, $A_3=\{x: x \subseteq A_2\}$, ...
Объединение всех классов $A, A_1, A_2, A_3, ...$ является множеством.
4) Если $A$ - множество, то любой подкласс класса $A$ - множество.

Множества удовлетворяют некоторому выражению свойства $set(x)$, которое мы определим в дальнейшем.


Определение
-------------------

Множеством называется объект $x$, удовлетворяющий свойству $set(x)$.


Продолжим список аксиом.

3. Любое множество является элементом.
.

[Xaositect]

Ну множеств получается меньше, чем в ZFC (дальше $V_{\omega^2}$ мы не вылезем), но в принципе можно сказать, что там ничего особо полезного и нет.

[Феликс Шмидель]

Xaositect в сообщении #932636 писал(а):

Ну множеств получается меньше, чем в ZFC (дальше $V_{\omega^2}$ мы не вылезем), но в принципе можно сказать, что там ничего особо полезного и нет.

А какие аксиомы в $ZFC$ выводят за эти пределы?

[Xaositect]

В основном аксиомы преобразования (axiom schema of replacement).
Например, в ZFC можно, как у Вас в аксиоме 3, для каждого множества $x$ построить $T(x) = x\cup Px \cup PPx \cup PPPx \cup \dots$, но в ZFC после этого можно еще построить $x\cup T(x) \cup T(T(x)) \cup T(T(T(x))) \cup \dots$, а у Вас нельзя.

[Феликс Шмидель]

Я видел доказательство, что аксиома-схема замещения (replacement) вместе с аксиомой выбора эквивалентна принципу ограничения размера (то есть класс является множеством тогда и только тогда когда он не максимальный).
Вот оно:

Theorem: Every model of the common version of KM is a model of the Wikipedia version of KM and conversely.
Proof: Suppose that the common version holds and let’s verify the Limitation of Size principle. Suppose that C is a proper class. Fix a global well-order φ:ORD→V. Use φ to define an enumeration ⟨cξ∣ξ∈ORD⟩ of C. Define F:V→C by F(x)=cφ(x). Clearly F is 1-1. Next, suppose that F:V→C is 1-1. By using a global well-order to further shrink C if necessary, we can assume that F is onto. Let F−1:C→V. If C is a set, then, by Replacement, the range of F−1 is a set as well, but this is impossible.

Я его не очень понял: каким образом из схемы замещения следует, что любой немаксимальный класс является множеством?

[Xaositect]

Доказательство странное, там явно где-то какие-то функции перепутаны.

Тут не просто аксиома выбора, а аксиома глобального выбора, она немного сильнее. Из нее следует, что любой класс можно вполне упорядочить, при этом получается, что собственные классы эквивалентны классу всех ординалов.

[Феликс Шмидель]

Я так понимаю, что есть непервоначальное свойство "$x$ - ординальное число", в связи с чем можно говорить о классе $ORD$ всех элементов, которые являются ординальными числами.
Из аксиомы глобального выбора следует, что любой класс эквивалентен начальному сегменту класса $ORD$.
Если класс $A$ не эквивалентен классу $ORD$, то $A$ эквивалентен некоторому начальному сегменту $S$ класса $ORD$, который не совпадает с $ORD$.
Поскольку $S$ не совпадает с $ORD$, то в $ORD$ существует элемент $s$, следующий за $S$, который является множеством в силу определения, что все элементы - множества.
Это ординальное число $s$ видимо совпадает с $S$, из чего следует что $S$ - множество.
Значит и класс $A$ - множество, в силу аксиомы-схемы замещения.

Я правильно понимаю?

Свойство $set(x)$, которое присутствует в моей последней системе аксиом, нелегко определить.
Может быть вместо него сразу определить более общее свойство "$x$ - ординальное число"?

[Феликс Шмидель]

Мне нравится моя последняя система аксиом, но понятие $set(x)$ нужно определить таким образом, чтобы
введение новых аксиом расширяло это понятие.
Класс $A$ называется этапом построения множеств, если:

1) $A$ является вполне упорядоченным классом отношением $\subseteq$, то есть:
Для любых двух элементов $A$ один является подклассом другого.
Любой непустой подкласс $A$ имеет элемент, являющийся подклассом любого другого.

2) Пустой класс принадлежит $A$.

3) Если класс $B$ принадлежит $A$, то класс $P(B)$ принадлежит $A$.

4) Если класс $C$ принадлежит $A$ и не существует такого класса $B \in A$, что $C=P(B)$, то $C$ является объединением всех элементов $A$, которые являются его подклассами.

Множеством называется любой подкласс любого элемента любого этапа построения множеств.

Как-то так.

-- Вт ноя 18, 2014 22:52:46 --

Может быть лучше вместо "этапа построения множеств" говорить о "бесконечной конструкции множеств".

[Someone]

Феликс Шмидель в сообщении #933083 писал(а):

Может быть лучше вместо "этапа построения множеств" говорить о "бесконечной конструкции множеств".

Феликс Шмидель, а Вы читали статью Шенфилда в "Справочной книге по математической логике"? Это часть II, которая называется "Теория множеств". Там как раз обсуждается процесс построения множеств и обоснование аксиом теории множеств на основе этого процесса.

У меня, вообще говоря, такое впечатление, что Вы непонятно зачем пытаетесь выдумать собственную теорию множеств.

[Феликс Шмидель]

Иду читать, спасибо

[Феликс Шмидель]

Это описание стандартных аксиом $ZFC$ c их интуитивным обоснованием при помощи пошагового построения множеств, начиная с пустого множества.
С самого начала, автор говорит о том, что все переменные объекты являются множествами.
C другой стороны, он пишет:

Цитата:

Элементы множеств могут быть объектами любой природы. ... Объекты, не являющиеся множествами, но используемые в качестве элементов множеств, называются праэлементами.

Но в теории множеств, которую он описывает нет никаких праэлементов, и они не допускаются.

После перечисления аксиом, автор пишет:

Цитата:

Теперь видно, почему праэлементы не являются необходимыми. Все объекты, которые мы хотели бы изучать являются множествами или по крайней мере могут быть отождествлены с множествами. На самом деле лишь небольшое дополнительное усилие требуется для переформулировки нашей аксиоматической системы с тем, чтобы она допускала праэлементы, и это иногда бывает полезным.

Когда автор говорит о классах, он отмечает сложности, возникающие от того, что все переменные являются множествами.
После этого, он отмечает, что можно ввести специальные переменные для классов и пишет:

Цитата:

Этот путь даёт более простое и непоседственное решение проблем, обсуждавшихся выше.
Однако существует и недостаток: дополнительная символика приносит и дополнительные хлопоты при проведении доказательств непротиворечивости.

В целом статья освещает многие важные вопросы.
Она написана простым и понятным языком, вследствие чего очень доступна.

[planetvulkan]

Весь наш мир и всё, что мы в нём озвучиваем,
является только одной точкой опоры, которой не достаточно, для поисков такого решения.
Вы согласны?

[Феликс Шмидель]

planetvulkan в сообщении #933364 писал(а):

Весь наш мир и всё, что мы в нём озвучиваем,
является только одной точкой опоры, которой не достаточно, для поисков такого решения.
Вы согласны?

Какого решения? Решения чего?

[planetvulkan]

Решения, о создании уравнения мироздании.

[Deggial]

planetvulkan, предупреждение за бессодержательные сообщения.