2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Начала теории множеств
Сообщение17.11.2014, 19:04 


31/03/06
1384
Просто, но как теперь доказать, что пара из двух множеств - множество?
Определим другую теорию.

В теории есть 2 первоначальных понятия:

1. $x$ - class
2. $x \in y$.

Аксиомы:

1. Если классы $A$ и $B$ имеют одни и те же элементы, то они равны.

2. Класс $\{x: \alpha(x)\}$ существует для любого выражения свойства $\alpha(x)$.

Множества это классы, которые определяются следующим образом:

1) пустой класс является множеством
2) Если $A$ - множество, то класс $\{x: x \subseteq A\}$ является множеством.
3) Пусть $A_1=\{x: x \subseteq A\}$, $A_2=\{x: x \subseteq A_1\}$, $A_3=\{x: x \subseteq A_2\}$, ...
Объединение всех классов $A, A_1, A_2, A_3, ...$ является множеством.
4) Если $A$ - множество, то любой подкласс класса $A$ - множество.

Множества удовлетворяют некоторому выражению свойства $set(x)$, которое мы определим в дальнейшем.


Определение
-------------------

Множеством называется объект $x$, удовлетворяющий свойству $set(x)$.


Продолжим список аксиом.

3. Любое множество является элементом.
.

 Профиль  
                  
 
 Re: Начала теории множеств
Сообщение17.11.2014, 23:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Ну множеств получается меньше, чем в ZFC (дальше $V_{\omega^2}$ мы не вылезем), но в принципе можно сказать, что там ничего особо полезного и нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Начала теории множеств
Сообщение18.11.2014, 09:48 


31/03/06
1384
Xaositect в сообщении #932636 писал(а):
Ну множеств получается меньше, чем в ZFC (дальше $V_{\omega^2}$ мы не вылезем), но в принципе можно сказать, что там ничего особо полезного и нет.

А какие аксиомы в $ZFC$ выводят за эти пределы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Начала теории множеств
Сообщение18.11.2014, 11:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
В основном аксиомы преобразования (axiom schema of replacement).
Например, в ZFC можно, как у Вас в аксиоме 3, для каждого множества $x$ построить $T(x) = x\cup Px \cup PPx \cup PPPx \cup \dots$, но в ZFC после этого можно еще построить $x\cup T(x) \cup T(T(x)) \cup T(T(T(x))) \cup \dots$, а у Вас нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Начала теории множеств
Сообщение18.11.2014, 14:28 


31/03/06
1384
Я видел доказательство, что аксиома-схема замещения (replacement) вместе с аксиомой выбора эквивалентна принципу ограничения размера (то есть класс является множеством тогда и только тогда когда он не максимальный).
Вот оно:

Theorem: Every model of the common version of KM is a model of the Wikipedia version of KM and conversely.
Proof: Suppose that the common version holds and let’s verify the Limitation of Size principle. Suppose that C is a proper class. Fix a global well-order φ:ORD→V. Use φ to define an enumeration ⟨cξ∣ξ∈ORD⟩ of C. Define F:V→C by F(x)=cφ(x). Clearly F is 1-1. Next, suppose that F:V→C is 1-1. By using a global well-order to further shrink C if necessary, we can assume that F is onto. Let F−1:C→V. If C is a set, then, by Replacement, the range of F−1 is a set as well, but this is impossible.

Я его не очень понял: каким образом из схемы замещения следует, что любой немаксимальный класс является множеством?

 Профиль  
                  
 
 Re: Начала теории множеств
Сообщение18.11.2014, 15:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Доказательство странное, там явно где-то какие-то функции перепутаны.

Тут не просто аксиома выбора, а аксиома глобального выбора, она немного сильнее. Из нее следует, что любой класс можно вполне упорядочить, при этом получается, что собственные классы эквивалентны классу всех ординалов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Начала теории множеств
Сообщение18.11.2014, 17:30 


31/03/06
1384
Я так понимаю, что есть непервоначальное свойство "$x$ - ординальное число", в связи с чем можно говорить о классе $ORD$ всех элементов, которые являются ординальными числами.
Из аксиомы глобального выбора следует, что любой класс эквивалентен начальному сегменту класса $ORD$.
Если класс $A$ не эквивалентен классу $ORD$, то $A$ эквивалентен некоторому начальному сегменту $S$ класса $ORD$, который не совпадает с $ORD$.
Поскольку $S$ не совпадает с $ORD$, то в $ORD$ существует элемент $s$, следующий за $S$, который является множеством в силу определения, что все элементы - множества.
Это ординальное число $s$ видимо совпадает с $S$, из чего следует что $S$ - множество.
Значит и класс $A$ - множество, в силу аксиомы-схемы замещения.

Я правильно понимаю?

Свойство $set(x)$, которое присутствует в моей последней системе аксиом, нелегко определить.
Может быть вместо него сразу определить более общее свойство "$x$ - ординальное число"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Начала теории множеств
Сообщение18.11.2014, 22:38 


31/03/06
1384
Мне нравится моя последняя система аксиом, но понятие $set(x)$ нужно определить таким образом, чтобы
введение новых аксиом расширяло это понятие.
Класс $A$ называется этапом построения множеств, если:

1) $A$ является вполне упорядоченным классом отношением $\subseteq$, то есть:
Для любых двух элементов $A$ один является подклассом другого.
Любой непустой подкласс $A$ имеет элемент, являющийся подклассом любого другого.

2) Пустой класс принадлежит $A$.

3) Если класс $B$ принадлежит $A$, то класс $P(B)$ принадлежит $A$.

4) Если класс $C$ принадлежит $A$ и не существует такого класса $B \in A$, что $C=P(B)$, то $C$ является объединением всех элементов $A$, которые являются его подклассами.

Множеством называется любой подкласс любого элемента любого этапа построения множеств.

Как-то так.

-- Вт ноя 18, 2014 22:52:46 --

Может быть лучше вместо "этапа построения множеств" говорить о "бесконечной конструкции множеств".

 Профиль  
                  
 
 Re: Начала теории множеств
Сообщение18.11.2014, 23:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Феликс Шмидель в сообщении #933083 писал(а):
Может быть лучше вместо "этапа построения множеств" говорить о "бесконечной конструкции множеств".
Феликс Шмидель, а Вы читали статью Шенфилда в "Справочной книге по математической логике"? Это часть II, которая называется "Теория множеств". Там как раз обсуждается процесс построения множеств и обоснование аксиом теории множеств на основе этого процесса.

У меня, вообще говоря, такое впечатление, что Вы непонятно зачем пытаетесь выдумать собственную теорию множеств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Начала теории множеств
Сообщение19.11.2014, 00:11 


31/03/06
1384
Иду читать, спасибо :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Начала теории множеств
Сообщение19.11.2014, 15:25 


31/03/06
1384
Это описание стандартных аксиом $ZFC$ c их интуитивным обоснованием при помощи пошагового построения множеств, начиная с пустого множества.
С самого начала, автор говорит о том, что все переменные объекты являются множествами.
C другой стороны, он пишет:

Цитата:
Элементы множеств могут быть объектами любой природы. ... Объекты, не являющиеся множествами, но используемые в качестве элементов множеств, называются праэлементами.


Но в теории множеств, которую он описывает нет никаких праэлементов, и они не допускаются.

После перечисления аксиом, автор пишет:

Цитата:
Теперь видно, почему праэлементы не являются необходимыми. Все объекты, которые мы хотели бы изучать являются множествами или по крайней мере могут быть отождествлены с множествами. На самом деле лишь небольшое дополнительное усилие требуется для переформулировки нашей аксиоматической системы с тем, чтобы она допускала праэлементы, и это иногда бывает полезным.


Когда автор говорит о классах, он отмечает сложности, возникающие от того, что все переменные являются множествами.
После этого, он отмечает, что можно ввести специальные переменные для классов и пишет:

Цитата:
Этот путь даёт более простое и непоседственное решение проблем, обсуждавшихся выше.
Однако существует и недостаток: дополнительная символика приносит и дополнительные хлопоты при проведении доказательств непротиворечивости.


В целом статья освещает многие важные вопросы.
Она написана простым и понятным языком, вследствие чего очень доступна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Начала теории множеств
Сообщение19.11.2014, 15:30 


19/11/14
7
Весь наш мир и всё, что мы в нём озвучиваем,
является только одной точкой опоры, которой не достаточно, для поисков такого решения.
Вы согласны?

 Профиль  
                  
 
 Re: Начала теории множеств
Сообщение19.11.2014, 15:46 


31/03/06
1384
planetvulkan в сообщении #933364 писал(а):
Весь наш мир и всё, что мы в нём озвучиваем,
является только одной точкой опоры, которой не достаточно, для поисков такого решения.
Вы согласны?


Какого решения? Решения чего?

 Профиль  
                  
 
 Re: Начала теории множеств
Сообщение19.11.2014, 15:52 


19/11/14
7
Решения, о создании уравнения мироздании.

 Профиль  
                  
 
 Re: Начала теории множеств
Сообщение19.11.2014, 16:00 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 !  planetvulkan, предупреждение за бессодержательные сообщения.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 79 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group