Начала теории множеств

[Феликс Шмидель]

Xaositect в сообщении #931255 писал(а):

Еще равенство должно быть.

Равенство относится к логическим понятиям, вместе с логическими связками и выражениями "для любого" и "существует".

Xaositect в сообщении #931255 писал(а):

Должно быть: "класс всех элементов, которые не принадлежат самим себе"

А если элемент не является классом? Может быть лучше так: "класс всех элементов, которые являются классами и не принадлежат самим себе"?

[Xaositect]

Феликс Шмидель в сообщении #931302 писал(а):

Равенство относится к логическим понятиям, вместе с логическими связками и выражениями "для любого" и "существует".

Ну тогда надо бы упомянуть, что мы основаны на классической логике предикатов с равенством.

Феликс Шмидель в сообщении #931302 писал(а):

А если элемент не является классом? Может быть лучше так: "класс всех элементов, которые являются классами и не принадлежат самим себе"?

Это получается $\{x : x\text{ - класс} \operatorname{\&} x\notin x\}$. Вы же не зря ввели предикат "$x$ - класс". Но для получения противоречия это несущественно.

[Феликс Шмидель]

Xaositect в сообщении #931307 писал(а):

Ну тогда надо бы упомянуть, что мы основаны на классической логике предикатов с равенством.

Как Вы думаете, можно эту логику описать коротко и ясно? Я попытался сделать это в теме "Логика и методология математики". Некоторые вещи в моём описании мне нравятся, но в целом я совершенно этой попыткой неудовлетворён. Можно было, конечно описать логику первого порядка, но это может быть слишком формально и непонятно читателям предполагаемого уровня. Кроме этого я ставил целью ответить на вопросы: что такое аксиома, почему она не требует доказательства, что такое определение и как оно задаётся формально, как задаются первоначальные и непервоначальные понятия, что такое область определения понятия, какими ещё бывают виды доказательства, кроме логического вывода из аксиом?

[Xaositect]

Я думаю, стоит просто сказать пару слов о том, что у нас есть какие-то аксиомы, которые не касаются не множеств и классов, а описывают обычные способы логических рассуждений и понятие равенства объектов.

[Феликс Шмидель]

Xaositect в сообщении #930853 писал(а):

В NFU множество всех одноэлементных множеств $1 = \{ x : \exists z \forall y (y\in x \leftrightarrow y = z) \}$ меньше множества всех множеств по мощности (аналог теоремы Кантора).

Не могли бы Вы привести доказательство того, что множество всех синглетонов $1$ меньше универсального множества по мощности. Это не согласуется с интуицией. Как $NFU$ это объясняет?

[Xaositect]

Для любого множества $a$ мощность множества всех одноэлементных подмножеств $P_1(a) = \{ x : \exists z\in a \forall y (y\in x \leftrightarrow y = z)\}$ меньше мощности множества всех подмножеств $P(a)$. Доказывается аналогично теореме Кантора: для любой функции $f\colon P_1(a)\to P(a)$ можно рассмотреть диагональную конструкцию $D = \{x : x\in a \operatorname{\&} x\notin f(\{x\})\}$, которая не может лежать в образе $f$: если $D = f(\{x\})$, то $x\notin D \Leftrightarrow x\notin f(\{x\}) \Leftrightarrow x\in D$.

Множество всех одноэлементых множеств - это $P_1(V)$, а множество всех множеств - это $P(V)$.

Объясняется это тем, что функция $x\mapsto \{x\}$ не на любом множестве существует: ее очевидное определение нестратифицировано, поэтому мощность $P_1(a)$ не обязана совпадать с мощностью $a$. В частности, такой функции не существует, если область определения - весь универсум.

-- Вс ноя 16, 2014 14:52:49 --

Кстати, в NFU с аксиомой выбора можно еще доказать, что мощность множества всех множеств меньше мощности множества всех ур-элементов, что делает картину мощностей на самом верху еще более странной.

[Феликс Шмидель]

Спасибо!

А если ввести в $NFU$ элементы, то можно доказать, что мощность $P_1(a)$ меньше мощности $P(a)$?
В этом случае $D$ может не быть элементом и не принадлежать $P(a)$.

-- Вс ноя 16, 2014 17:00:29 --

Я уже и сам понял, что это не решение, но такие стратифицированные формулы как в определении $D$ нужно исключить.

[Феликс Шмидель]

Нужно начать с того, что немаксимальные классы являются элементами (или множествами).
А вот с максимальными классами нужно разобраться.
Ясно, что стратификация формул не годится, да и толку от неё мало.
Другое дело, что $NFU$ выражается конечной системой аксиом.
Эти аксиомы в совокупности эквивалентны стратификации формул.
Вопрос в том, нельзя ли что-нибудь из них исключить, чтобы мощность множества $P(a)$ не была меньше мощности множества $a$?

-- Вс ноя 16, 2014 19:28:41 --

Давайте перечислим эти аксиомы и подумаем, что исключаем.

1. Универсальный класс является элементом.
2. Если класс $A$ является элементом, то класс $A^c =\{x: x \not \in A\}$, является элементом.
3. Если классы $A$ и $B$ являются элементами, то их объединение является элементом.
4. Если класс $A$ является элементом, и все его элементы являются классами, то объединение всех этих классов является элементом.
5. Если классы $A$ и $B$ являются элементами, то их декартово произведение является элементом.
6. Если $V$ - универсальный класс, то класс $\{(x, x): x \in V \}$ является элементом.
7. Классы $\{((x, y), x): x, y \in V \}$ and $\{((x, y), y): x, y \in V \}$ являются элементами.
8. Если отношение $R$ является элементом, то обратное отношение $R^{-1}$ тоже.
9. Если отношения $R$ и $S$ являются элементами, то класс $\{(x, y): for \thickspace some \thickspace z, \thickspace x R z \thickspace and \thickspace z S y \}$ является элементом.
10. Если отношение $R$ является элементом, то класс ${x: for \thickspace some \thickspace y, \thickspace x R y \}$ является элементом.
11. Если отношение $R$ является элементом, то класс $\{(\{x\}, \{y\}): x R y}$ является элементом.
12. Класс $\{(x, y): x \subseteq y\}$ является элементом.

Я не перечислил некоторые аксиомы, например, синглетон и пара являются элементами, поскольку это немаксимальные классы.

[Феликс Шмидель]

С другой стороны, если все немаксимальные множества являются элементами, то ни одна из этих аксиом не является необходимой и мне неясно, для чего они нужны.
Можно добавить что-нибудь простенькое, например, аксиомы 2 и 4 из которых следуют аксиомы 1 и 3.
Кроме этого, можно добавить аксиомы:

A. Класс $P(A)$ является элементом для любого класса $A$, который является элементом
B. Если класс $A$ является элементом, и все его элементы являются классами, то пересечение всех этих классов является элементом.

[Xaositect]

Феликс Шмидель в сообщении #931913 писал(а):

Я не перечислил некоторые аксиомы, например, синглетон и пара являются элементами, поскольку это немаксимальные классы.

Как раз таки из существования синглтонов следует, что любой класс является элементом.

[Феликс Шмидель]

Xaositect в сообщении #932097 писал(а):

Как раз таки из существования синглтонов следует, что любой класс является элементом.

Примем следующую систему аксиом:

(I) Если классы $A$ и $B$ имеют одни и те же элементы, то они равны.
(II) Класс $\{x: \alpha(x)\}$ существует для любого выражения свойства $\alpha(x)$.
(III) Любой немаксимальный класс и любой класс немаксимальных классов являются элементами.

В частности, синглетон является элементом и класс всех синглетонов является элементом.
Можно из этих аксиом получить противоречие?

[Феликс Шмидель]

Я вижу, что можно тем же доказательством, которое вы дали.

Теперь рассмотрим такую систему аксиом:

(I) Если классы $A$ и $B$ имеют одни и те же элементы, то они равны.
(II) Класс $\{x: \alpha(x)\}$ существует для любого выражения свойства $\alpha(x)$.
(III) Любой немаксимальный класс является элементом.

4. Если класс $A$ является элементом, и все его элементы являются классами, то объединение всех этих классов является элементом.
5. Если класс $A$ является элементом, и все его элементы являются классами, то пересечение всех этих классов является элементом.
6. Класс $P(A)$ является элементом для любого класса $A$, который является элементом.

Если из этой системы аксиом можно получить противоречие, то его можно получить и из теории Морза-Келли.
Добавим теперь аксиомы:

7. Универсальный класс является элементом.
8. Если класс $A$ является элементом, то класс $A^c =\{x: x \not \in A\}$, является элементом.

Парадокс Кантора не работает, поскольку мощность $P(V)$ не больше мощности $V$, где $V$ - универсальный класс, так как не любой подкласс класса $V$ является элементом.

[Феликс Шмидель]

Даже если эта система аксиом не является противоречивой, она сложнее, чем теория Морза-Келли.
Я не считаю, любой класс-элемент, является множеством.
Множество это классы которые строятся начиная с пустого класса.
Рассмотрим следующую систему аксиом:

(I) Если классы $A$ и $B$ имеют одни и те же элементы, то они равны.
(II) Класс $\{x: \alpha(x)\}$ существует для любого выражения свойства $\alpha(x)$.

3. Пустой класс $\{x: x \ne x\}$ является элементом.

4. Пусть $A$ - класс, который является элементом.
Тогда класс $\{x: x \subseteq A\}$ всех подклассов класса $A$ является элементом.

5. Пусть $A_1=\{x: x \subseteq A\}$, $A_2=\{x: x \subseteq A_1\}$, $A_3=\{x: x \subseteq A_2\}$, ...
Объединение всех классов $A, A_1, A_2, A_3, ...$ является элементом.

Множества это классы, которые определяются следующим образом:

1) пустой класс является множеством
2) Если $A$ - множество, то класс $\{x: x \subseteq A\}$ является множеством.
3) Пусть $A_1=\{x: x \subseteq A\}$, $A_2=\{x: x \subseteq A_1\}$, $A_3=\{x: x \subseteq A_2\}$, ...
Объединение всех классов $A, A_1, A_2, A_3, ...$ является множеством.

Эта система аксиом проще, чем система аксиом Морза-Келли.
Вопрос: достаточна ли она для оснований математики и каких аксиом в ней не хватает?

[Xaositect]

Феликс Шмидель в сообщении #932326 писал(а):

Вопрос: достаточна ли она для оснований математики и каких аксиом в ней не хватает?

Не уловил, в чем отличие между классом-элементом и множеством.
В любом случае, получается слишком мало множеств. Например, $\{\varnothing, \{\varnothing\}, \{\{\varnothing\}\}\}$ уже не является множеством.

[Феликс Шмидель]

Тогда так:

В теории есть 3 первоначальных понятия:

1. $x$ - class
2. $x$ - множество
3. $x \in y$.

Аксиомы:

1. Если классы $A$ и $B$ имеют одни и те же элементы, то они равны.

2. Класс $\{x: \alpha(x)\}$ существует для любого выражения свойства $\alpha(x)$.

3. Любое множество является элементом.

4. Пустой класс $\{x: x \ne x\}$ является множеством.

5. Пусть $A$ - класс, который является множеством.
Тогда любой подкласс класса $A$ является множеством.

6. Пусть $A$ - класс, который является множеством.
Тогда класс $\{x: x \subseteq A\}$ всех подклассов класса $A$ является множеством.

7. Пусть $A$ - класс, который является множеством.
Пусть $A_1=\{x: x \subseteq A\}$, $A_2=\{x: x \subseteq A_1\}$, $A_3=\{x: x \subseteq A_2\}$, ...
Объединение всех классов $A, A_1, A_2, A_3, ...$ является множеством.