Начала теории множеств

[Xaositect]

Феликс Шмидель в сообщении #930627 писал(а):

Я не знал этого. Мне непонятно почему нельзя взять какое-нибудь большое множество вместо универсального класса и рассматривать все совокупности в его пределах?

Можно, но неестественно.

Феликс Шмидель в сообщении #930627 писал(а):

Интересно, какие технические сложности?
Я получил вторую степень по математике и никогда не встречал рассуждений, в которых была бы нужна эта аксиома.

В основном она используется в определениях и основных свойствах ординалов, и через них уже много где.

[grizzly]

Феликс Шмидель в сообщении #930627 писал(а):

Но хотелось бы, чтобы то, что я пишу было кому-то нужно и было понятно любителям математики уровня читателей журнала "Квант".

Мне, вот, не то чтобы нужно, но просто очень интересно (а ведь многим наверняка и нужно). Зато я как раз подхожу по указанным требованиям, и на мне, надеюсь, будет удобно проверять уровень доступности изложения.

[Феликс Шмидель]

Xaositect в сообщении #930594 писал(а):

Вряд ли получится ограничить только мощность. Если мы возьмем множество из одного элемента, у которого внутри что-то парадоксальное, не сломается ли все?

В рамках теории множеств $NFU$ максимальные множества непротиворечивы, поскольку доказано, что $NFU$ непротиворечива, если непротиворечива арифметика Пеано.
Чтобы получить противоречие, нужно залезть в максимальное множество и извлечь из него какую-то часть с помощью свойства, которое не является "stratified" и не разрешается в $NFU$.
Сделать это можно только посредством аксиомы выделения из $ZFC$, но мы как раз собираемся запретить использование этой аксиомы на максимальных множествах.
Как же можно получить противоречие?

-- Пт ноя 14, 2014 00:48:10 --

grizzly в сообщении #930651 писал(а):

Мне, вот, не то чтобы нужно, но просто очень интересно (а ведь многим наверняка и нужно). Зато я как раз подхожу по указанным требованиям, и на мне, надеюсь, будет удобно проверять уровень доступности изложения.

Я этому очень рад.
Только что закончил главу о Евклидовах кольцах.
Вам это интересно?

[Xaositect]

Феликс Шмидель в сообщении #930664 писал(а):

В рамках теории множеств $NFU$ максимальные множества непротиворечивы, поскольку доказано, что $NFU$ непротиворечива, если непротиворечива арифметика Пеано.
Чтобы получить противоречие, нужно залезть в максимальное множество и извлечь из него какую-то часть с помощью свойства, которое не является "stratified" и не разрешается в $NFU$.
Сделать это можно только посредством аксиомы выделения из $ZFC$, но мы как раз собираемся запретить использование этой аксиомы на максимальных множествах.
Как же можно получить противоречие?

Так, я похоже не понял, как именно Вы предлагаете все скомбинировать. Напишите, пожалуйста, список аксиом.

[grizzly]

Феликс Шмидель в сообщении #930664 писал(а):

Только что закончил главу о Евклидовах кольцах.
Вам это интересно?

Да, но, увы, сначала пришлось подсмотреть, что это такое :) Но если нужно будет именно тестировать на доступность, я могу честно не смотреть в посторонних источниках ничего, кроме толкования терминов.
Не уверен, что на этой площадке уместен настолько индивидуальный подход, лучше я буду одним из многих :)

[Someone]

Феликс Шмидель в сообщении #930627 писал(а):

Здесь можно добавить, "если оно существует, обозначается ...".

Мне кажется, лучше просто называть эту конструкцию классом и не делать таких оговорок. Пояснить, что класс может быть элементом какого-нибудь множества только в случае, когда он является множеством (просто потому, что в ZFC нет ничего, кроме множеств, поэтому элементами множеств могут только множества; понятие класса является некоторым расширением ZFC, хотя и консервативным: добавление этого понятия не позволяет доказать никакого утверждения о множествах, которого нельзя было бы доказать без понятия класса).

Феликс Шмидель в сообщении #930627 писал(а):

Интересно, какие технические сложности?
Я получил вторую степень по математике и никогда не встречал рассуждений, в которых была бы нужна эта аксиома.

По-моему, бóльшая часть математики прекрасно обходится вообще без теории множеств. Так что упомянутые мной "технические сложности" относятся исключительно к теории множеств как таковой.

Что такое "вторая степень"? Доктор физико-математических наук? Даже в этом случае, если Вы не занимаетесь специально теорией множеств, Вы можете не подозревать о том, что происходит в этой теории.

Феликс Шмидель в сообщении #930627 писал(а):

По-моему, именно несуществование, которое противоречит ошибочной аксиоме "наивной" теории множеств о существовании.

Вы заблуждаетесь. В наивной теории множеств нет такой аксиомы, которая требовала бы существования чего-то подобного. В наивной теории множеств, обнаружив, что существование множества всех множеств приводит к противоречию, делают вывод, что такое множество не существует.

Конкретно к парадоксу Рассела привела неудачная попытка Фреге аксиоматизировать наивную теорию множеств: он ввёл неограниченную аксиому свёртывания $\exists x\forall y(y\in x\Leftrightarrow\Phi(y))$ (для любой формулы $\Phi(y)$ со свободной переменной $y$), которая и обеспечивает существование множества $A=\{y:\Phi(y)\}$. Если теперь в качестве $\Phi(y)$ взять $y\notin y$, то из этой аксиомы следует, что существует множество $A=\{y:y\notin y\}$, а тогда выводимо противоречие $(A\in A)\wedge\neg(A\in A)$. Если же множество $A$ не существует, то мы не можем подставить его в формулу $y\in y$, и противоречия не получится.

Этот вопрос обсуждался также в теме "В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?".

Феликс Шмидель в сообщении #930627 писал(а):

Я слышал о Ваших лекциях, хорошо бы ссылку.

Видимо, Вы меня с кем-то путаете. Я не писал никаких лекций по теории множеств. Мне её и студентам-то ни разу рассказывать не приходилось (за исключением простейших понятий).

[Феликс Шмидель]

Xaositect в сообщении #930670 писал(а):

Так, я похоже не понял, как именно Вы предлагаете все скомбинировать. Напишите, пожалуйста, список аксиом.

В $NFU$ два первоначальных понятия: $x$ - множество и $x \in y$, и следующие аксиомы:

1. Множества с одними и теми же элементами равны.
2. Если объект не является множеством, то у него нет элементов.
3. Если $\alpha(x)$ - выражение свойства, которое "stratified", то множество $\{x: \alpha(x)\}$ существует.
4. Аксиома выбора.

Я предлагаю добавить к этим аксиомам аксиому выделения из $ZFC$, ограничив мощность множества из которого происходит выделение:

5. Если $\alpha(x)$ - выражение свойства и $A$ - немаксимальное множество, то множество $\{x: x \in A \thickspace \& \thickspace \alpha(x)\}$ существует.

[Xaositect]

Феликс Шмидель в сообщении #930755 писал(а):

5. Если $\alpha(x)$ - выражение свойства и $A$ - немаксимальное множество, то множество $\{x: x \in A \thickspace \& \thickspace \alpha(x)\}$ существует.

Не получится. В NFU множество всех одноэлементных множеств $1 = \{ x : \exists z \forall y (y\in x \leftrightarrow y = z) \}$ меньше множества всех множеств по мощности (аналог теоремы Кантора), а значит, по Вашей аксиоме из него можно будет выделить $D = \{ x : x\in 1 \operatorname{\&} \neg \exists z (x\in z \operatorname{\&} z\in x)\}$ и тогда $\{D\} \in D \Leftrightarrow \neg\exists z (\{D\} \in z \operatorname{\&} z\in \{D\}) \Leftrightarrow \{D\}\notin D$

-- Пт ноя 14, 2014 14:47:16 --

В NFU есть понятие канторова множества - это то, которое равно по мощности множеству своих одноэлементных подмножеств. В таких множествах можно выделять с помощью нестратифицированных формул, потому что всегда можно поднять уровень любой переменной, заключив ее в одноэлементное множество

[Феликс Шмидель]

Большое спасибо, уважаемый Xaositect!
Вы помогли мне увидеть то, что я раньше не видел.

Someone в сообщении #930724 писал(а):

Что такое "вторая степень"? Доктор физико-математических наук?

Нет, доктор это третья степень. Думаю, что вторая степень на западе равносильна первой в России.

Someone в сообщении #930724 писал(а):

Видимо, Вы меня с кем-то путаете. Я не писал никаких лекций по теории множеств. Мне её и студентам-то ни разу рассказывать не приходилось (за исключением простейших понятий).

Я не имел ввиду именно теорию множеств.

Алексей К. в сообщении #854755 писал(а):

Цитата:

Отдельные сообщения от Someone с изложением essence некоторых известных теоретических понятий у меня сохранены в закладках, и тоже ждут поры счастья "всё время --- свободно и твоё!"

[Someone]

Феликс Шмидель в сообщении #930949 писал(а):

Алексей К. в сообщении #854755 писал(а):

Цитата:

Отдельные сообщения от Someone с изложением essence некоторых известных теоретических понятий у меня сохранены в закладках, и тоже ждут поры счастья "всё время --- свободно и твоё!"

А, речь идёт о сообщениях на форуме. Но я, к сожалению, не сохранял ссылок на свои сообщения с такого рода объяснениями. Из-за чего сам порой страдаю, поскольку иногда их трудно найти (нужно помнить ключевые слова, а они быстро забываются).

[Феликс Шмидель]

Я так понял из обсуждения, что моё первое сообщение следует изменить следующим образом:

Теория множеств $NFU$ относится к первой группе теорий.
В ней нет таких ограничений на образование совокупностей, как в теории множеств Цермело-Френкеля.
В теории $NFU$ существует множество всех объектов и другие совокупности, которых нет в теории Цермело-Френкеля.
Недостатком теории $NFU$ является то, что она накладывает существенные ограничения на свойства, объединяющие объекты в множества.
Кроме этого, множества в $NFU$ могут иметь непривычные свойства, что усложняет работу с ними.

Теория множеств Морза-Келли относится ко второй группе теорий.
В этой теории есть два типа совокупностей: множества и собственные классы.
Собственные классы не могут быть элементами других совокупностей.

Собственные классы находят применение в математике.
Поэтому теория множеств Морза-Келли выигрывает по сравнению с теорией множеств Цермело-Френкеля, несмотря на то, что последняя несколько проще.

[Xaositect]

Кроме Морза-Келли есть еще NBG, в ней тоже есть множества и классы. NBG консервативна над ZFC, то есть, любое утверждение о множествах, не упоминающее собственные классы, будет верным в NBG тогда и только тогда, когда оно верно в ZFC.

[Феликс Шмидель]

Xaositect в сообщении #931151 писал(а):

Кроме Морза-Келли есть еще NBG, в ней тоже есть множества и классы. NBG консервативна над ZFC, то есть, любое утверждение о множествах, не упоминающее собственные классы, будет верным в NBG тогда и только тогда, когда оно верно в ZFC.

Я переписал начало своего введения с учётом этого замечания:

Теория множеств, также как математическая логика, является фундаментом, на котором основана вся современная математика.

Существуют различные варианты теории множеств, которые можно разделить на две группы:

1. Теории, которые позволяют образовывать совокупности из любых объектов, но не разрешают образовывать любые совокупности.
2. Теории, которые позволяют образовывать любые совокупности объектов, но не разрешает образовывать их из любых объектов.

К первой группе теорий относится теория множеств Цермело-Френкеля.
Эта теория является самой популярной и наиболее распространённой в математике теорией множеств.
Совокупности, которые она позволяет образовывать называются множествами.

В теории Цермело-Френкеля нельзя говорить о произвольных совокупностях множеств.
В некоторых областях математики, таких, например, как топология, это является неудобством.

В учебнике Джона Келли "Общая топология" приведены аксиомы другой теории множеств.
Эта теория называется теорией множеств Морза-Келли и относится ко второй группе теорий.
В ней есть два типа совокупностей: множества и собственные классы.
Собственные классы не могут быть элементами других совокупностей.

Все совокупности образуются из элементов, которые принадлежат универсальному классу.
Универсальный класс не является совокупностью всех объектов - такой совокупности не существует.
В качестве универсального класса можно было бы взять достаточно большое множество объектов теории Цермело-Френкеля.
Но оставаясь в рамках этой теории нельзя было бы говорить о произвольных совокупностях множеств.

Собственные классы находят применение в математике.
Поэтому теория множеств Морза-Келли выигрывает по сравнению с теорией множеств Цермело-Френкеля, несмотря на то, что последняя несколько проще.

Из других теорий рассмотрим теории множеств $NGB$ и $NFU$.

Теория $NGB$ является предшественницей теории Морза-Келли.
В ней также есть множества и собственные классы.
Эта теория равносильна с теорией множеств Цермело-Френкеля, в том смысле, что любое утверждение о множествах, которое можно доказать в одной теории, можно доказать в другой.
Теория Морза-Келли сильнее и в то же время проще $NGB$, поскольку не накладывает ограничений на свойства, объединяющие элементы класса.

Теория множеств $NFU$ относится к первой группе теорий.
В ней нет таких ограничений на образование совокупностей, как в теории множеств Цермело-Френкеля.
В теории $NFU$ существует множество всех объектов и другие совокупности, которых нет в теории Цермело-Френкеля.
Недостатком теории $NFU$ является то, что она накладывает ограничения на выражения свойств, объединяющих объекты в множества.
Прежде чем образовать множество, приходится решать, удовлетворяет ли выражение свойства этим ограничениям или нет, что может быть непросто.

Приступим к изложению теории множеств Морза-Келли.
В этой теории есть только одно первоначальное понятие: $x \in y$, которое означает, что объект $x$ принадлежит классу $y$.
Любые математические объекты можно определить как классы, но считать любые объекты классами неестественно.
Поэтому мы добавили именующее понятие "$x$ - класс".

В нашем варианте этой теории множеств есть два первоначальное понятия типа утверждения:

1. $x$ - класс,
2. $x \in y$, где $y$ - класс.

Выражение $x \in y$ означает: объект $x$ принадлежит классу $y$.
Другими словами: $x$ является элементом класса $y$.

Интуитивное определение первоначальных понятий класса и принадлежности.

Классы образуются из объектов, которые называются элементами.

Определение
-------------------

Элементом называется объект, принадлежащий некоторому классу.


Классом называется совокупность элементов, обладающая общим свойством.

Пусть $\alpha(x)$ - какое-либо выражение свойства.
Класс всех элементов $x$, обладающих этим свойством, обозначается выражением $\{x: \alpha(x)\}$.
Другими словами, объект $x$ принадлежит классу $\{x: \alpha(x)\}$ тогда и только тогда, когда $x$ является элементом и выполняется утверждение $\alpha(x)$.

Выражение $\{x: \alpha(x)\}$ следует читать так: класс всех элементов $x$, таких, что $\alpha(x)$.

Пусть $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ - два выражения свойства.
Если этими свойствами обладают одни и те же объекты, то классы $\{x: \alpha(x)\}$ и $\{x: \beta(x)\}$ равны.

Первые две аксиомы теории множеств утверждают:

(I) Если классы $A$ и $B$ имеют одни и те же элементы, то они равны.
(II) Класс $\{x: \alpha(x)\}$ существует для любого выражения свойства $\alpha(x)$.

Не для любого выражения свойства $\alpha(x)$, класс $\{x: \alpha(x)\}$ является элементом.

Покажем, например, что класс $\{x: x \not \in x\}$ всех классов, которые не принадлежат самим себе не является элементом.
Пусть $A=\{x: x \not \in x\}$.
Класс $A$ принадлежит самому себе тогда и только тогда, $A$ является элементом и не принадлежит самому себе.
Если $A$ является элементом, то получается противоречие.
Значит $A$ не является элементом.
Что и требовалось.

Определение
------------------

Класс, который является элементом, называется множеством.

[grizzly]

У меня возникает только один неискушённый вопрос:
Можно ли формально описать класс всех объектов, обладающих свойством "являться элементом"? или же это свойство относится к первичным понятиям (п.2. первичных понятий) и его формализация не требуется? (тогда поставленный вопрос просто некорректен)

[Xaositect]

Феликс Шмидель в сообщении #931212 писал(а):

В нашем варианте этой теории множеств есть два первоначальное понятия типа утверждения:

1. $x$ - класс,
2. $x \in y$, где $y$ - класс.

Еще равенство должно быть.

-- Сб ноя 15, 2014 13:39:49 --

Феликс Шмидель в сообщении #931212 писал(а):

Покажем, например, что класс $\{x: x \not \in x\}$ всех классов, которые не принадлежат самим себе не является элементом.

Должно быть: "класс всех элементов, которые не принадлежат самим себе"

-- Сб ноя 15, 2014 13:44:26 --

grizzly в сообщении #931253 писал(а):

Можно ли формально описать класс всех объектов, обладающих свойством "являться элементом"? или же это свойство относится к первичным понятиям (п.2. первичных понятий) и его формализация не требуется? (тогда поставленный вопрос просто некорректен)

Свойство "$x$ является элементом" можно записать как $\exists y (x\in y)$. Класс всех элементов можно записать как $\{x : x = x\}$ (или $\{x : \mathrm{true}\}$).