В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?

[Nemiroff]

Не понимаю вопроса. Парадокс Рассела — это существование противоречия. В аксиоматической теории не получится сформулировать противоречивое утверждение (ну а если получится, нафиг такую теорию).

[Mihr]

Nemiroff в сообщении #909565 писал(а):

В аксиоматической теории не получится сформулировать противоречивое утверждение (ну а если получится, нафиг такую теорию).

Я так и считал. Просто не понимаю: какой тогда смысл при обсуждении парадокса Рассела ссылаться на аксиоматические теории множеств (которым этот парадокс даже неведом).

[kp9r4d]

Ну тут смотря какую формулировку считать парадоксом Рассела, если «не существует множества всех множеств, не включающих в качестве элемента себя самого» то это теорема, которая формулируется очевидным образом:
$\forall x \exists y ( y \notin y \wedge y \notin x)$

[Mihr]

kp9r4d,
понял, спасибо. Но это утверждение, которое не выглядит парадоксальным (по крайней мере, на мой взгляд).
А парадоксальность возникает при попытке описать множество как совокупность объектов с заданным свойством. Что, по-моему, "непереводимо" на язык формальных теорий.

[Утундрий]

К слову, пересечение бесконечного числа открытых отрезков может дать отрезок замкнутый. Давайте и это объявим парадоксом?

[Mihr]

Утундрий в сообщении #909617 писал(а):

К слову, пересечение бесконечного числа открытых отрезков может дать отрезок замкнутый. Давайте и это объявим парадоксом?

Может. Иногда. Но что здесь парадоксального?

[Утундрий]

Mihr в сообщении #909623 писал(а):

что здесь парадоксального?

Вот именно!

[Someone]

Mihr в сообщении #909540 писал(а):

Аналогично, буквальные формулировки Кантора не так уж важны, если мы рассуждаем о канторовской теории множеств в её сегодняшнем понимании.

А сегодняшнее понимание теории множеств — это в основном ZFC и GB. А "наивная теория множеств" понимается так же, как и во времена Кантора. В ней нет парадокса Рассела, поскольку нет аксиомы, обеспечивающей существование противоречивых объектов типа множества всех множеств или множества Рассела. Сам парадокс появился тогда, когда в попытке аксиоматизации теории множеств была сформулирована неограниченная аксиома свёртывания, которой в канторовской теории, естественно, не было.

Mihr в сообщении #909564 писал(а):

я спрашивал: как формулируется парадокс Рассела в этой теории

Собственно, парадокс — это ситуация, когда доказуемы одновременно некоторое утверждение и его отрицание, или, иначе говоря, доказуемо противоречие $A\wedge\neg A$. Никто не мешает наформулировать сколько угодно таких противоречивых утверждений, только пока что ни одного из них доказать не удалось. Конкретно парадокс Рассела, видимо, можно сформулировать так: $\exists x((x\in x)\wedge(\neg(x\in x)))$.

Nemiroff в сообщении #909565 писал(а):

Не понимаю вопроса. Парадокс Рассела — это существование противоречия. В аксиоматической теории не получится сформулировать противоречивое утверждение (ну а если получится, нафиг такую теорию).

Ну зачем уж так сурово. Формулировать-то можно сколько угодно; плохо будет, если противоречивое утверждение доказать удастся.

[g______d]

Someone в сообщении #909503 писал(а):

У него есть, например, фраза "Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое $M$ определённых хорошо различимых предметов $m$ нашего созерцания или нашего мышления", но это не определение, а некое пояснение, из которого ничего обязательного не следует.

Мне кажется, что из этого словесного определения уже автоматически следует, что совокупность всех множеств и подобные объекты множествами не являются; не проходят тест "определённых хорошо различимых" ровно в силу "парадокса Рассела".

[Someone]

Mihr в сообщении #909540 писал(а):

В целом ряде современных учебников я видел описание множества как собрания элементов любой природы (не обязательно математических). Именно описание, а не определение: "множество" - понятие неопределяемое (если отвлечься сейчас от формальных теорий).

Более того, формальная теория множеств может иметь интерпретации, в которых объекты не похожи на множества, а отношение, обозначаемое символом "$\in$" — на отношение принадлежности элемента множеству. Например, усечённый вариант ZFC — теория наследственно конечных множеств — имеет интерпретацию а арифметике Пеано. В этой интерпретации роль множеств играют натуральные числа.

Mihr в сообщении #909540 писал(а):

Я до сегодняшнего дня считал, что парадокс Рассела существует лишь в "наивной" теории множеств.

Нет. В наивной теории множеств его нет, он появился в результате неудачной попытки Фреге формализовать эту теорию. Как раз им была сформулировала неограниченная аксиома свёртывания, которая сделала множество всех множеств существующим, что и породило несколько известных парадоксов, включая парадокс Рассела.

[Nemiroff]

Someone в сообщении #909646 писал(а):

Формулировать-то можно сколько угодно; плохо будет, если противоречивое утверждение доказать удастся.

Угу, я неправильно сказал.

Someone в сообщении #909646 писал(а):

Конкретно парадокс Рассела, видимо, можно сформулировать так: $\exists x((x\in x)\wedge(\neg(x\in x)))$.

Или, кажись, так $\exists A \forall x (\neg (x \in x) \iff x \in A) $

[Someone]

Nemiroff в сообщении #909660 писал(а):

Или, кажись, так $\exists A \forall x (\neg (x \in x) \iff x \in A) $

В ZFC да. А в GB это истинное утверждение, только $A$ — не множество, а класс.

Добавление. Наврал. В GB переменная $x$ пробегает все классы, и для классов, не являющихся множествами, получается противоречие: определение требует, чтобы элементами $A$ были классы, которые ничьими элементами быть не могут. Поэтому в GB класс $A$ тоже не существует.

[Mihr]

Someone,
спасибо за ответы. Кое-что стало понятнее. Но кое-что - увы! - наоборот

Цитата:

В ней нет парадокса Рассела, поскольку нет аксиомы, обеспечивающей существование противоречивых объектов типа множества всех множеств или множества Рассела.

А разве в ней есть вообще какие-либо аксиомы?

Цитата:

парадокс — это ситуация, когда доказуемы одновременно некоторое утверждение и его отрицание, или, иначе говоря, доказуемо противоречие $A\wedge\neg A$

А я считал, что эта ситуация так и называется: "противоречие". И является "индикатором" несовместности системы аксиом данной формальной теории. Что касается понятия "парадокс" - это кажущееся, а не реальное противоречие. Которое можно устранить, уточнив используемые понятия (формализовав теорию).

[Someone]

Mihr в сообщении #909665 писал(а):

А разве в ней есть вообще какие-либо аксиомы?

Нету. А разве это противоречит сказанному мной?

Mihr в сообщении #909665 писал(а):

Что касается понятия "парадокс" - это кажущееся, а не реальное противоречие.

Нет, настоящее.

Mihr в сообщении #909665 писал(а):

Которое можно устранить, уточнив используемые понятия (формализовав теорию).

Если бы оно было кажущимся, то его и устранять не надо было бы. Просто требовалось бы разъяснение, почему противоречия нет.
Слово "парадокс" имеет не одно значение. Например, "парадокс близнецов" в СТО как раз из этой области кажущихся противоречий, которые исчезают, если разобраться в вопросе. А парадокс Рассела сам по себе не исчезнет, для его устранения пришлось отбросить неограниченную аксиому свёртывания и заменить её аксиомой выделения. Причём, аксиомы выделения математиком не хватило, и появилась более сильная аксиома подстановки.

[Daft]

Читаю тему и не перестаю удивляться.В книгах по теории множеств пишется,что наивная теория множеств противоречива и про попытки Фреге формализовать теорию нет ни слова.

Someone в сообщении #909646 писал(а):

А "наивная теория множеств" понимается так же, как и во времена Кантора. В ней нет парадокса Рассела, поскольку нет аксиомы, обеспечивающей существование противоречивых объектов типа множества всех множеств или множества Рассела.

А почему мы не можем задать множеств всех множеств в теории множеств Кантора?Что мешает возможности задать множество,где любое множество принадлежит этому множеству?

(Оффтоп)

И еще 2 вопроса не по теме:1 почему наивную теорию множеств перестали использовать,если она непротиворечива?И 2-ое

Someone в сообщении #909667 писал(а):

Mihr в сообщении #909665 писал(а):

А разве в ней есть вообще какие-либо аксиомы?

Нету.

А может ли вообще существовать теория без аксиом,ведь в объектах,которые мы задаем,уже лежат свойства,которые мы принимаем без докозательств. Ведь в доказательствах надо от чего-либо отталкиваться.