но ведь и Вы употребляли выражение «противоречивый объект»
Что значит "и"? Насколько я помню, Вы употребляли слова "противоречивое понятие". Понятие — это не объект. Под противоречивым объектом я имею в виду объект, утверждение о существовании которого приводит к противоречию.
Но если определение предъявляет к определяемому объекту взаимоисключающие требования - отчего же не считать его противоречивым?
Не возражаю. Если условия, указанные в определении, сами по себе противоречат друг другу, то можно назвать такое определение противоречивым.
Но в случае множества всех множеств или множества Рассела такого внутреннего противоречия нет.
Почему мы должны считать противоречивым утверждение «Существует множество все множеств», но при этом уверены в непротиворечивости утверждения «Каждое множество имеет мощность»?
По поводу первого всё ясно: противоречие возникает. А по поводу второго я у Вас спросил бы: а что такое мощность множества?
Вначале вводится достаточно прозрачное понятие равномощных множеств и устанавливается, что отношение равномощности есть отношение эквивалентности (в алгебраическом смысле). Следовательно, оно должно порождать разбиение на классы эквивалентности. Логично. Вот только разбиение чего? Множества всех множеств?
Если Вы говорите о разбиении, то должны прежде ввести класс всех множеств.
В ZFC это возможно путём консервативного расширения языка. Класс всех множеств определяется как
.
В GB (или NGB — теория множеств фон Неймана — Бернайса — Гёделя) класс
всех множеств имеется, так сказать, изначально.
Имея класс всех множеств, мы можем определить его разбиение на классы равномощных множеств и сказать, что мощность множества
есть класс множеств, равномощных множеству
.
Но, насколько я понимаю, классы (грубо говоря, более широкие совокупности, чем множества) противопоставляются множествам в формальных теориях
"Противопоставляются"??? Ничего, что каждое множество является классом? Речь идёт не о противопоставлении, а о расширении понятия множества.
А в рамках "наивной теории множеств" отличить класс от множества нельзя.
Если будет определение класса, то можно ставить вопрос об "отличении".