В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?

[g______d]

Nemiroff в сообщении #909397 писал(а):

Называть аксиому бесконечности "существованием натуральных чисел" — фу.

По именам их не помню (теперь, конечно, посмотрел), но мне казалось, что она была этому эквивалентна.

upgrade в сообщении #909391 писал(а):

так я написал как устранить, для парадокса брадобрея исключаем или дополняем множество условием относительно самого брадобрея:

Так нельзя вообще никак, даже безотносительно к проблемам существования универсального множества. Вы определяете брадобрея, используюя в определении самого брадобрея. Т. е. у вас выражение вида "брадобреем назовём бла бла бла брадобрея бла бла бла". Чтобы это было определением брадобрея, в правой части не должно быть самого брадобрея. А так это не определение, а уравнение, и нужно доказывать существование решения.

Всё равно что "Пусть, по определению, $x$ обозначает $x+1$".

-- Пт, 19 сен 2014 00:53:44 --

upgrade в сообщении #909379 писал(а):

например, множество всех четных чисел кроме числа 4 - это обычное множество.

Это нормально. Было множество натуральных чисел (существование следует из аксиомы), из него по предикату чётности выделили чётные числа, потом выкинули 4 по предикату "$x\neq 4$".

Сравните с

upgrade в сообщении #909379 писал(а):

множество всех множеств не содержащих себя в качестве элемента, кроме самого этого множества в качестве элемента - его свойства не важны, важно что его просто нет в качестве элемента.
или

Фраза начинается с "множество всех множеств", из которого вы пытаетесь что-то выделить по свойству. Но существование множества всех множеств ниоткуда не следует, поэтому выделять неоткуда.

[upgrade]

g______d в сообщении #909404 писал(а):

Вы определяете брадобрея, используя в определении самого брадобрея

а почему нельзя, что запрещает? что запрещает исключать из элементов множества описание множества в качестве элемента, или дополнять множество описанием этого множества в качестве элемента?

[g______d]

upgrade в сообщении #909410 писал(а):

а почему нельзя, что запрещает

То же, что запрещает определения вида $x=x+1$.

[upgrade]

g______d в сообщении #909404 писал(а):

Это нормально. Было множество натуральных чисел

ок,
"множество всех четных чисел кроме четных чисел"
чем не множество?

[g______d]

upgrade в сообщении #909413 писал(а):

чем не множество?

Множество. Пустое.

[Nemiroff]

upgrade в сообщении #909413 писал(а):

"множество всех четных чисел кроме четных чисел"
чем не множество?

Множество.
Короче, вот так можно: $\forall A \exists B \forall x \ (x \in B \leftrightarrow x \in A \land \varphi(x))$
Вот так нельзя: $\exists B \forall x \ (x \in B \leftrightarrow \varphi(x))$

[upgrade]

g______d в сообщении #909412 писал(а):

То же, что запрещает определения вида $x=x+1$.

в этой части я не готов спорить, т.к. ваше возражение сильное и надо как-то сообразить, как оно соотносится с определением брадобрея через самого себя. может и не соотносится никак.

-- 19.09.2014, 11:07 --

g______d в сообщении #909414 писал(а):

Множество. Пустое.

"множество всех нечетных и всех четных чисел кроме четных чисел"
"брадобрей бреет всех кроме брадобрея"
"брадобрей бреет всех кто не бреется кроме брадобрея"
...

-- 19.09.2014, 11:09 --

"брадобрей бреет всех кто не бреет себя сам" просто не содержит описания одного из элементов, из-за этого недостатка описания нельзя сказать входит брадобрей бреющий (не бреющий) себя в множество или не входит. такой "серый" элемент.

[Mihr]

Sonic86 в сообщении #909387 писал(а):

нормальное свойство, вполне понятное.

Видимо, слово "понимать" для Вас и для меня означает нечто различное
Иногда говорят: "Понять - значит привыкнуть". Отчасти это, вероятно, так. Для Вас подобная формулировка, мне думается, привычна - значит "понятна".
Ну, а я всё-таки не понимаю, каково "общее свойство", например, объектов из моего примера (множество S).

[Someone]

Mihr в сообщении #909420 писал(а):

Ну, а я всё-таки не понимаю, каково "общее свойство", например, объектов из моего примера (множество S).

Mihr в сообщении #909377 писал(а):

Давайте, однако, попробуем взять за "универсальное множество" совокупность всех понятий, имеющих какое-нибудь определение (чёткое описание). И выделим в нём следующее подмножество элементов:
1. Единичная матрица третьего порядка.
2. Кот Шредингера.
3. Оператор "набла".
4. Теория вероятностей.
5. Неодносвязность.
6. Социальное психология.
7. Вор-рецидивист.
Назовём эту совокупность понятий (или элементов - как угодно) множеством S (ибо ну очень странное множество).
Вопрос: каково "довольно понятное" общее свойство элементов этого множества?

Тут есть некая закавыка. Прежде всего, нужно доказать, что то, что Вы "соорудили", действительно даёт модель теории множеств (какой-нибудь). Потому что только в этом случае мы имеем право говорить о множествах. Вы готовы предъявить доказательство? То есть, точно описать язык теории, совокупности объектов и отношений, и проверить выполнение каждой из аксиом?

Если говорить о теории ZFC, то все её объекты являются множествами, то есть, ничего, кроме множеств, в ней нет. В частности, в ней нет ни одного из перечисленных Вами семи "объектов".

Aritaborian в сообщении #909325 писал(а):

arseniiv в сообщении #909322 писал(а):

всегда есть довольно понятное «общее свойство» элементов.

Простите, не понял. Пусть $A=\{1, \sqrt 2, e^\pi\}$. Что общего у элементов этого множества, кроме того, что все они — действительные числа?

Ну, как Вам сказать… В ZFC и в GB можно построить модель поля действительных чисел. Тогда $1$, $\sqrt{2}$ и $e^{\pi}$ можно рассматривать как имена неких множеств, изображающих в этой модели соответствующие действительные числа. Эти имена, естественно, надо записать по правилам языка теории множеств. Тогда искомое "общее свойство" можно записать как $(x=1)\wedge(x=\sqrt{2})\wedge(x=e^{\pi})$.

Вообще, полезно помнить, что каждое множество можно интерпретировать как свойство, а каждое свойство можно интерпретировать как класс. Под "свойством" понимается формула языка теории множеств, содержащая одну свободную переменную.

[Mihr]

Someone,
насколько я понимаю, парадокс Рассела - это парадокс, относящийся к Канторовской ("наивной") теории множеств. Где "множеством" называется любая чётко описанная совокупность объектов (элементов этого множества). Так что у меня нет нужды доказывать, что выбранная мною коллекция понятий - это множество.
А в теории ZFC (и других аксиоматических теориях) парадокс Рассела невозможно даже сформулировать. Или я не прав? Если прав, то отсылка к ZFC становится совершенно излишней. Вы не находите?
И вот ещё:

Someone в сообщении #909450 писал(а):

Тогда искомое "общее свойство" можно записать как $(x=1)\wedge(x=\sqrt{2})\wedge(x=e^{\pi})$.

Может быть, так:
$(x=1)\vee(x=\sqrt{2})\vee(x=e^{\pi})$ ?

[Someone]

Mihr в сообщении #909464 писал(а):

Может быть, так:
$(x=1)\vee(x=\sqrt{2})\vee(x=e^{\pi})$ ?

Да, конечно так. Не тот код скопировал, а на результат даже не посмотрел.

[Someone]

Mihr в сообщении #909464 писал(а):

насколько я понимаю, парадокс Рассела - это парадокс, относящийся к Канторовской ("наивной") теории множеств. Где "множеством" называется любая чётко описанная совокупность объектов (элементов этого множества).

Нет, это не так. Канторовская теория множеств не является аксиоматизированной. В таком же положении находится и большая часть современных математических теорий. Общая практика в таких теориях состоит в том, что если предположение существования определяемого объекта приводит к противоречию, то объект не существует. На это у математиков есть полное право, поскольку отсутствует аксиома, предписывающая такому объекту существовать.
Кроме того, я читал Кантора. Я не видел у него утверждения, что в множество можно соединять что угодно без всяких ограничений. Напротив, он рассматривает обычно достаточно конкретные множества, элементы которых имеют исключительно математическое происхождение. Например, множество всех множеств определяется нисколько не хуже, чем множество всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента. Если бы Вы были правы, то Кантор получил бы противоречие, поскольку у него есть теорема, что для каждого множества существует множество большей мощности. Ему же и в голову не приходит определять множество всех множеств, поскольку оно не может существовать ввиду упомянутой теоремы.
У него есть, например, фраза "Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое $M$ определённых хорошо различимых предметов $m$ нашего созерцания или нашего мышления", но это не определение, а некое пояснение, из которого ничего обязательного не следует.

[Mihr]

Someone в сообщении #909503 писал(а):

У него есть, например, фраза "Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое $M$ определённых хорошо различимых предметов $m$ нашего созерцания или нашего мышления", но это не определение, а некое пояснение, из которого ничего обязательного не следует.

Да, эта фраза часто цитируется, но не является определением. Согласен. Более того, в канторовской теории множеств определения множества вообще не существует (поправьте меня, если я ошибаюсь). Но дело здесь, в общем-то, и не в том, из чего строил множества сам Кантор. Это неважно. В учебниках матанализа Вы не встретите обозначений Ньютона для производных и интегралов. Хотя именно Ньютон - создатель дифференциального и интегрального исчислений. Аналогично, буквальные формулировки Кантора не так уж важны, если мы рассуждаем о канторовской теории множеств в её сегодняшнем понимании.
В целом ряде современных учебников я видел описание множества как собрания элементов любой природы (не обязательно математических). Именно описание, а не определение: "множество" - понятие неопределяемое (если отвлечься сейчас от формальных теорий).
О формальных теориях множеств спорить не стану - специально не изучал. Если Вы изучали теорию ZFC, скажите, пожалуйста, как в этой теории формулируется парадокс Рассела (или его аналог, если таковой есть). Действительно любопытно. Попробую понять.
Я до сегодняшнего дня считал, что парадокс Рассела существует лишь в "наивной" теории множеств.

[kp9r4d]

Теорема о том, что не существует множества всех множеств в $ZFC$ формулируется, очевидно, так.
$\forall x \exists y (y \notin x)$

[Mihr]

kp9r4d,
спасибо. Но я спрашивал: как формулируется парадокс Рассела в этой теории. Я полагал, что ни в теории ZFC, ни в какой-либо другой аксиоматической теории множеств парадокс Рассела не может быть даже сформулирован. И потому не может рассматриваться за пределами "наивной" (канторовской) теории множеств. Хотел выяснить, прав ли я в этом.