2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В раздел Пургаторий будут перемещены спорные темы (преимущественно псевдонаучного характера), относительно которых администрация приняла решение о нецелесообразности продолжения дискуссии.
Причинами такого решения могут быть, в частности: безграмотность, бессодержательность или псевдонаучный характер темы, нарушение автором принципов ведения дискуссии, принятых на форуме.
Права на добавление сообщений имеют только Модераторы и Заслуженные участники форума.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8, 9  След.
 
 Re: В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?
Сообщение20.09.2014, 20:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4992
epros в сообщении #909917 писал(а):
Свойство, которое невозможно выразить формулой, однозначно определить словами также вряд ли удастся.

Ну, во-первых, я не говорил "невозможно выразить формулой". Я говорил "проще и удобнее выразить словами", что не то же самое.
Во-вторых, я ведь привёл пример: множество простых чисел. Его удобнее описать словами, чем формулами.
arseniiv в сообщении #909919 писал(а):
Во всех этих «примерах» вы смешиваете реальность и её модели. Это ужасно.

Ну, ужасно, так ужасно. Что поделаешь...
Вообще-то, я отдаю себе отчёт в том, что математика имеет дело с реальностью не напрямую, а через модели.
Но тогда тем более загадочно, почему множества (математические модели) нельзя сопоставлять объектам реального мира (не математическим объектам). Модели ведь для того и вводят, чтобы как-то сопоставлять их с реальностью.
Цитата:
Не в любой теории любое, но словами большего тоже не добиться.

В каком смысле "большего"? Я говорил о том, что словесные (бесформульные) описания порой случаются более удобными для восприятия.
Цитата:
Именно алгоритм строить совершенно не обязательно

Пусть так. Но есть ли здесь более простое описание, чем словесное?
Цитата:
совершенно резонно появляется вопрос, а может ли использование какого-то понятия привести к противоречию.

А разве использование понятий "множество всех множеств" или "множество всех нормальных множеств" не ведёт к противоречию? (Под "нормальными" понимаются множества, которые не содержат сами себя в качестве своего элемента).
Цитата:
Насчёт первого варианта, мне казалось, у философов для таких понятий есть своё название, и даже они от таких понятий, вроде, не бегали.

Вероятно, так. Впрочем, я и не призывал никого бегать от понятий...

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?
Сообщение20.09.2014, 20:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Daft в сообщении #909932 писал(а):
В Зориче тоже написано,что множества могут содержать любые элементы :mrgreen:
Это вопрос философский. А в ZFC множества могут содержать только множества.
Тема тут: topic87782.html

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?
Сообщение20.09.2014, 20:21 


19/02/13
39
Уфа
Xaositect в сообщении #909936 писал(а):
Daft в сообщении #909932 писал(а):
В Зориче тоже написано,что множества могут содержать любые элементы :mrgreen:
Это вопрос философский. А в ZFC множества могут содержать только множества.
Тема тут: topic87782.html

Спасибо :D .Да,в Зориче оговорено,что это в наивной теории множеств,да и в ZFC существуют только множества.

(Оффтоп)

Вообще,за такую необыкновенность я и люблю теорию множеств.У нет рамок которые бы влияли на ее построение(таких как согласованность с реальностью),в отличии от других теорий.Наверное,ее поэтому и забросили.

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?
Сообщение20.09.2014, 20:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4992
Xaositect в сообщении #909929 писал(а):
$\mathrm{PRIMES} = \{x\in\mathbb{N} | x\neq 1\, \&\, \forall p\in\mathbb{N}\, \forall q\in \mathbb{N}\, (x = pq \rightarrow p = 1 \vee q = 1)\}$

Понятно. Тем не менее, мне представляется, что утверждение "у числа $x$ ровно два делителя" удобнее для восприятия. Хотя, конечно, моё мнение субъективно...

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?
Сообщение20.09.2014, 20:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Mihr в сообщении #909943 писал(а):
Понятно. Тем не менее, мне представляется, что утверждение "у числа $x$ ровно два делителя" удобнее для восприятия. Хотя, конечно, моё мнение субъективно...
Ну можно по-разному перевести: $\mathrm{PRIMES} = \{x\in\mathbb{N} |  \{a\in\mathbb{N} | \exists b\in\mathbb{N}\, ab = x \} = \{ 1, x \}\, \&\, x\neq 1\}$

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?
Сообщение20.09.2014, 20:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10834
Mihr в сообщении #909935 писал(а):
Я говорил "проще и удобнее выразить словами", что не то же самое.
Удобство субъективно и определяется тренированностью каждого. А формулы вообще-то нужны не для чьего-то удобства, а для однозначности формулировок, которой часто не хватает словесным оборотам.

Mihr в сообщении #909935 писал(а):
Во-вторых, я ведь привёл пример: множество простых чисел. Его удобнее описать словами, чем формулами.
Xaositect записал формулу, которая довольно проста и по-моему гораздо удобнее Ваших словесных описаний. Хотя, разумеется, это вопрос привычки.

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?
Сообщение20.09.2014, 20:41 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
В любом случае, можно добавить немного определений и написать уже такую формулу, в понятности которой знающий язык первого порядка (а это и так prerequisite) будет убеждён уж наверняка. :lol:

(Оффтоп)

Daft в сообщении #909932 писал(а):
А множества отличаются в плане структуры от совокупности только тем,что каждые элементы множества отличаются друг от друга.
Кстати, попытайтесь это выразить. Очевидное $\forall x\in s\;\forall y\in s\;x\ne y$ будет неверным, ну а исправленное $\forall x\in s\;\forall y\in s\;x\ne y\to x\ne y$ будет верно просто из-за верности $A\to A$ для любой формулы $A$.

(Ещё иногда пишут «каждый элемент входит в множество только один раз» — это тоже безосновательно и бессмысленно: количество вхождений какого-то элемента в множество просто не определено, и его можно определить на основе $\in$ совершенно по-разному (несмотря на то, что характеристические функции $\mathbf1_A(x) = x\in A\mathrel? 1 : 0$ действительно удобны).)

Daft в сообщении #909927 писал(а):
Я что-то не понимаю или вы говорите,что элементами множества могут быть только математические объекты?
Именно. Для меня это утверждение практически просто тавтология — математика может оперировать только тем, чем может. :mrgreen: И в это «то» никак не входят упомянутые Mihr электростатические поля (если считать, что они есть на самом деле, каковая фраза естественными науками и математикой не используется). Или же они входят как часть соответствующей физической теории, но тогда и вопроса не стоит.

-- Сб сен 20, 2014 23:47:34 --

Mihr в сообщении #909935 писал(а):
Вообще-то, я отдаю себе отчёт в том, что математика имеет дело с реальностью не напрямую, а через модели.
Но тогда тем более загадочно, почему множества (математические модели) нельзя сопоставлять объектам реального мира (не математическим объектам). Модели ведь для того и вводят, чтобы как-то сопоставлять их с реальностью.
В обратную сторону, «наружу», модель сопоставлять ничего точно не должна. :roll: К тому же, всё это никак не добавляет возможность множествам иметь элементами стулья — как всё было, так и остаётся.

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?
Сообщение20.09.2014, 20:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4992
Xaositect в сообщении #909945 писал(а):
$\mathrm{PRIMES} = \{x\in\mathbb{N} |  \{a\in\mathbb{N} | \exists b\in\mathbb{N}\, ab = x \} = \{ 1, x \}\, \&\, x\neq 1\}$

Тоже понятно: "$a$ — делитель $x$, при этом множество всех таких $a$ (множество делителей $x$) исчерпывается числами 1 и $x$, при этом $x$ отлично от 1". Только, боюсь, это ещё менее наглядно...

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?
Сообщение20.09.2014, 20:55 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Mihr в сообщении #909935 писал(а):
В каком смысле "большего"? Я говорил о том, что словесные (бесформульные) описания порой случаются более удобными для восприятия.
Ну, это вопрос не математики. Большего — в том смысле, что если словесное описание никак не переводится в формулу, это первый признак того, что оно, возможно, и не описание вовсе. «Формульность» же определима точно и довольно просто проверяема, так что отличить формулу от не-формулы намного проще, чем со словами.

Mihr в сообщении #909935 писал(а):
А разве использование понятий "множество всех множеств" или "множество всех нормальных множеств" не ведёт к противоречию? (Под "нормальными" понимаются множества, которые не содержат сами себя в качестве своего элемента).
Очевидно, не ведёт, так же как и «число, одновременно нечётное и чётное» — не существует таких множеств и чисел, вот противоречия никак и не получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?
Сообщение20.09.2014, 20:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Daft в сообщении #909940 писал(а):
Вообще,за такую необыкновенность я и люблю теорию множеств.У нет рамок которые бы влияли на ее построение(таких как согласованность с реальностью),в отличии от других теорий.Наверное,ее поэтому и забросили.
Ну зачем же забросили. Просто слишком много уже сделано, для того, чтобы разбираться в том, что там происходит сейчас, надо быть специалистом. Вот были не так давно результаты про то, что с некоторой точки зрения, как-то связанной с большими кардиналами и с существованием моделей ZFC в ZFC, подобных универсуму конструктивных множеств, наиболее естественно считать, что $2^{\aleph_0} = \aleph_2$, но я начинаю не понимать эти статьи на середине первой страницы.

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?
Сообщение20.09.2014, 21:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10834
Mihr в сообщении #909954 писал(а):
Только, боюсь, это ещё менее наглядно...
Ещё вариант: $\forall a,b ~ ab=x \to a=1 \vee b=1$

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?
Сообщение20.09.2014, 21:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4992
arseniiv в сообщении #909955 писал(а):
Очевидно, не ведёт, так же как и «число, одновременно нечётное и чётное» — не существует таких множеств и чисел, вот противоречия никак и не получится.

Прошу прощения, но не ставите ли Вы сейчас телегу впереди лошади? Чтобы сделать вывод о том, что таких объектов не существует, вначале нужно, допустив временно их существование, получить противоречие (док-во от противного). Или всегда заранее ясно, что такой-то объект не существует? По-моему, это совсем не так.

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?
Сообщение20.09.2014, 21:03 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Mihr в сообщении #909954 писал(а):
Только, боюсь, это ещё менее наглядно...
Если попросить не множество, а формулу «$x$ — простое», тогда на языке арифметики это можно записать покороче:$$\exists a\exists b\;ab=x\mathbin\& a<b\mathbin\& a=1.$$(Если нет нуля, можно вместо $<$ сделать и $\ne$.)

UPD: Эта формула неправильна!! Она верна для всех чисел больше единицы. При исправлении получится то же, что у epros или что-то легко приводимое к такому виду.

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?
Сообщение20.09.2014, 21:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4992
epros в сообщении #909960 писал(а):
Ещё вариант: $\forall a,b ~ ab=x \to a=1 \vee b=1$

Извините, не понял. Чем это отличается от первого варианта?

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?
Сообщение20.09.2014, 21:07 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Mihr в сообщении #909961 писал(а):
Прошу прощения, но не ставите ли Вы сейчас телегу впереди лошади? Чтобы сделать вывод о том, что таких объектов не существует, вначале нужно, допустив временно их существование, получить противоречие (док-во от противного).
Не обязательно. А если даже и получать противоречие, то оно будет не из-за использования какой-то подформулы $\phi$ где-то в формулах вывода, а из-за гипотезы (вида в точности $\exists x\;\phi$, но это не важно. Важно, что используется гипотеза) в выводе.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 132 ]  На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8, 9  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group