2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В раздел Пургаторий будут перемещены спорные темы (преимущественно псевдонаучного характера), относительно которых администрация приняла решение о нецелесообразности продолжения дискуссии.
Причинами такого решения могут быть, в частности: безграмотность, бессодержательность или псевдонаучный характер темы, нарушение автором принципов ведения дискуссии, принятых на форуме.
Права на добавление сообщений имеют только Модераторы и Заслуженные участники форума.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9  След.
 
 Re: В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?
Сообщение19.09.2014, 18:13 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
Не понимаю вопроса. Парадокс Рассела — это существование противоречия. В аксиоматической теории не получится сформулировать противоречивое утверждение (ну а если получится, нафиг такую теорию).

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?
Сообщение19.09.2014, 18:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4987
Nemiroff в сообщении #909565 писал(а):
В аксиоматической теории не получится сформулировать противоречивое утверждение (ну а если получится, нафиг такую теорию).

Я так и считал. Просто не понимаю: какой тогда смысл при обсуждении парадокса Рассела ссылаться на аксиоматические теории множеств (которым этот парадокс даже неведом).

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?
Сообщение19.09.2014, 18:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Ну тут смотря какую формулировку считать парадоксом Рассела, если «не существует множества всех множеств, не включающих в качестве элемента себя самого» то это теорема, которая формулируется очевидным образом:
$\forall x \exists y ( y \notin y \wedge y \notin x)$

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?
Сообщение19.09.2014, 19:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4987
kp9r4d,
понял, спасибо. Но это утверждение, которое не выглядит парадоксальным (по крайней мере, на мой взгляд).
А парадоксальность возникает при попытке описать множество как совокупность объектов с заданным свойством. Что, по-моему, "непереводимо" на язык формальных теорий.

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?
Сообщение19.09.2014, 19:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12421
К слову, пересечение бесконечного числа открытых отрезков может дать отрезок замкнутый. Давайте и это объявим парадоксом?

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?
Сообщение19.09.2014, 20:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4987
Утундрий в сообщении #909617 писал(а):
К слову, пересечение бесконечного числа открытых отрезков может дать отрезок замкнутый. Давайте и это объявим парадоксом?

Может. Иногда. Но что здесь парадоксального?

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?
Сообщение19.09.2014, 20:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12421
Mihr в сообщении #909623 писал(а):
что здесь парадоксального?

Вот именно!

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?
Сообщение19.09.2014, 21:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
Mihr в сообщении #909540 писал(а):
Аналогично, буквальные формулировки Кантора не так уж важны, если мы рассуждаем о канторовской теории множеств в её сегодняшнем понимании.
А сегодняшнее понимание теории множеств — это в основном ZFC и GB. А "наивная теория множеств" понимается так же, как и во времена Кантора. В ней нет парадокса Рассела, поскольку нет аксиомы, обеспечивающей существование противоречивых объектов типа множества всех множеств или множества Рассела. Сам парадокс появился тогда, когда в попытке аксиоматизации теории множеств была сформулирована неограниченная аксиома свёртывания, которой в канторовской теории, естественно, не было.
Mihr в сообщении #909564 писал(а):
я спрашивал: как формулируется парадокс Рассела в этой теории
Собственно, парадокс — это ситуация, когда доказуемы одновременно некоторое утверждение и его отрицание, или, иначе говоря, доказуемо противоречие $A\wedge\neg A$. Никто не мешает наформулировать сколько угодно таких противоречивых утверждений, только пока что ни одного из них доказать не удалось. Конкретно парадокс Рассела, видимо, можно сформулировать так: $\exists x((x\in x)\wedge(\neg(x\in x)))$.

Nemiroff в сообщении #909565 писал(а):
Не понимаю вопроса. Парадокс Рассела — это существование противоречия. В аксиоматической теории не получится сформулировать противоречивое утверждение (ну а если получится, нафиг такую теорию).
Ну зачем уж так сурово. Формулировать-то можно сколько угодно; плохо будет, если противоречивое утверждение доказать удастся.

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?
Сообщение19.09.2014, 21:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Someone в сообщении #909503 писал(а):
У него есть, например, фраза "Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое $M$ определённых хорошо различимых предметов $m$ нашего созерцания или нашего мышления", но это не определение, а некое пояснение, из которого ничего обязательного не следует.


Мне кажется, что из этого словесного определения уже автоматически следует, что совокупность всех множеств и подобные объекты множествами не являются; не проходят тест "определённых хорошо различимых" ровно в силу "парадокса Рассела".

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?
Сообщение19.09.2014, 21:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
Mihr в сообщении #909540 писал(а):
В целом ряде современных учебников я видел описание множества как собрания элементов любой природы (не обязательно математических). Именно описание, а не определение: "множество" - понятие неопределяемое (если отвлечься сейчас от формальных теорий).
Более того, формальная теория множеств может иметь интерпретации, в которых объекты не похожи на множества, а отношение, обозначаемое символом "$\in$" — на отношение принадлежности элемента множеству. Например, усечённый вариант ZFC — теория наследственно конечных множеств — имеет интерпретацию а арифметике Пеано. В этой интерпретации роль множеств играют натуральные числа.

Mihr в сообщении #909540 писал(а):
Я до сегодняшнего дня считал, что парадокс Рассела существует лишь в "наивной" теории множеств.
Нет. В наивной теории множеств его нет, он появился в результате неудачной попытки Фреге формализовать эту теорию. Как раз им была сформулировала неограниченная аксиома свёртывания, которая сделала множество всех множеств существующим, что и породило несколько известных парадоксов, включая парадокс Рассела.

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?
Сообщение19.09.2014, 21:50 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
Someone в сообщении #909646 писал(а):
Формулировать-то можно сколько угодно; плохо будет, если противоречивое утверждение доказать удастся.
Угу, я неправильно сказал.
Someone в сообщении #909646 писал(а):
Конкретно парадокс Рассела, видимо, можно сформулировать так: $\exists x((x\in x)\wedge(\neg(x\in x)))$.
Или, кажись, так $\exists A \forall x (\neg (x \in x) \iff x \in A) $

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?
Сообщение19.09.2014, 21:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
Nemiroff в сообщении #909660 писал(а):
Или, кажись, так $\exists A \forall x (\neg (x \in x) \iff x \in A) $
В ZFC да. А в GB это истинное утверждение, только $A$ — не множество, а класс.

Добавление. Наврал. В GB переменная $x$ пробегает все классы, и для классов, не являющихся множествами, получается противоречие: определение требует, чтобы элементами $A$ были классы, которые ничьими элементами быть не могут. Поэтому в GB класс $A$ тоже не существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?
Сообщение19.09.2014, 21:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4987
Someone,
спасибо за ответы. Кое-что стало понятнее. Но кое-что - увы! - наоборот :roll:
Цитата:
В ней нет парадокса Рассела, поскольку нет аксиомы, обеспечивающей существование противоречивых объектов типа множества всех множеств или множества Рассела.

А разве в ней есть вообще какие-либо аксиомы?
Цитата:
парадокс — это ситуация, когда доказуемы одновременно некоторое утверждение и его отрицание, или, иначе говоря, доказуемо противоречие $A\wedge\neg A$

А я считал, что эта ситуация так и называется: "противоречие". И является "индикатором" несовместности системы аксиом данной формальной теории. Что касается понятия "парадокс" - это кажущееся, а не реальное противоречие. Которое можно устранить, уточнив используемые понятия (формализовав теорию).

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?
Сообщение19.09.2014, 22:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
Mihr в сообщении #909665 писал(а):
А разве в ней есть вообще какие-либо аксиомы?
Нету. А разве это противоречит сказанному мной?
Mihr в сообщении #909665 писал(а):
Что касается понятия "парадокс" - это кажущееся, а не реальное противоречие.
Нет, настоящее.
Mihr в сообщении #909665 писал(а):
Которое можно устранить, уточнив используемые понятия (формализовав теорию).
Если бы оно было кажущимся, то его и устранять не надо было бы. Просто требовалось бы разъяснение, почему противоречия нет.
Слово "парадокс" имеет не одно значение. Например, "парадокс близнецов" в СТО как раз из этой области кажущихся противоречий, которые исчезают, если разобраться в вопросе. А парадокс Рассела сам по себе не исчезнет, для его устранения пришлось отбросить неограниченную аксиому свёртывания и заменить её аксиомой выделения. Причём, аксиомы выделения математиком не хватило, и появилась более сильная аксиома подстановки.

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?
Сообщение20.09.2014, 08:44 


19/02/13
39
Уфа
Читаю тему и не перестаю удивляться.В книгах по теории множеств пишется,что наивная теория множеств противоречива и про попытки Фреге формализовать теорию нет ни слова.
Someone в сообщении #909646 писал(а):
А "наивная теория множеств" понимается так же, как и во времена Кантора. В ней нет парадокса Рассела, поскольку нет аксиомы, обеспечивающей существование противоречивых объектов типа множества всех множеств или множества Рассела.

А почему мы не можем задать множеств всех множеств в теории множеств Кантора?Что мешает возможности задать множество,где любое множество принадлежит этому множеству?

(Оффтоп)

И еще 2 вопроса не по теме:1 почему наивную теорию множеств перестали использовать,если она непротиворечива?И 2-ое
Someone в сообщении #909667 писал(а):
Mihr в сообщении #909665 писал(а):
А разве в ней есть вообще какие-либо аксиомы?
Нету.
А может ли вообще существовать теория без аксиом,ведь в объектах,которые мы задаем,уже лежат свойства,которые мы принимаем без докозательств. Ведь в доказательствах надо от чего-либо отталкиваться.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 132 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group