Является ли наше декартово пространство плоским?

[warlock66613]

evgeniy в сообщении #906894 писал(а):

Сходимость последовательности надо понимать в обобщенном смысле и предел в смысле обобщенных функций.

Неслабое уточнение. Так значит надо сначала всё-таки определиться, какие величины у нас становятся обощёнными функциями, какие - нет, и убедиться, что такое введение обобщённых функций в теорию оставляет инварианты инвариантами, т. е. геометрия остаётся геометрией. А уже потом можно будет говорить о пределе в смысле обобщённых функций.

[evgeniy]

С меня достаточно физики процесса. С приближением к обобщенным функциям, получается решение задачи. Т.е. с новой аппроксимацией |z|, как двойным интегралом от приближения к обобщенной функции. В этом двойном интеграле необходимо ввести линейную функцию от первого интеграла, иначе не получится |z|. При этом получается непрерывный тензор кривизны. А дальнейшее рассуждение, что можно использовать обобщенные функции, это уже экзотика к основному материалу, которую можно исключить. Причем приближение к обобщенной функции (которое тоже можно рассматривать как обобщенную функцию) имеет своим пределом дельта функцию, если хотите в обобщенном смысле.

[Someone]

evgeniy в сообщении #907004 писал(а):

С приближением к обобщенным функциям, получается решение задачи. Т.е. с новой аппроксимацией |z|, как двойным интегралом от приближения к обобщенной функции. В этом двойном интеграле необходимо ввести линейную функцию от первого интеграла, иначе не получится |z|. При этом получается непрерывный тензор кривизны.

Предъявите подробные вычисления. Вы уже на нашем форуме столько бредятины понаписали, что я Вам не верю.

[evgeniy]

Как Вы не почтительно отзываетесь о моих выкладках. С таким же успехом я могу отзываться о Ваших вычислениях.
Интеграл от нормального распределения равен
$F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^x \exp[-z^2/(2\sigma^2)]dz$
но величина F(x) изменяется в пределах [0,1]. Поэтому нужно ввести функцию
G(x)=2F(x)-1 которая изменяется на отрезке [-1,1]. Интеграл от этой функции
$\int_{-\infty}^x G(x) dx$
является сглаженной функцией |x|.
Дальше надо использовать Ваши формулы, но получится асимптотика при $x \to \infty$, вернее x вне переходного слоя. В переходном слое формулы получить сложно, если Вы как автор идеи попробуете, то возможно получится. Переходный слой это слой толщиной $[-3\sigma,3\sigma]$.

[Someone]

Этого недостаточно. Вы обещали непрерывный тензор кривизны.

evgeniy в сообщении #907004 писал(а):

При этом получается непрерывный тензор кривизны.

Будьте любезны вычислить его и показать, что он будет непрерывным. Не забудьте, что непрерывность означает также и наличие конечного значения в каждой точке.

Вообще, я не понимаю происходящего. Было сформулировано утверждение, что в некоей конструкции тензор кривизны в некотором месте не определён. Причём здесь обобщённые функции вообще и дельта-функция в частности? Обобщённые функции — не функции (точнее, функции, но совсем на другом пространстве), и никаких конкретных значений в точках пространства-времени не имеют. Да, обобщённые функции в некотором смысле являются обобщением "обычных" функций. Да, дельта-функцию можно представить как предел (в некотором смысле, отличающемся от предела в "обычном" смысле) последовательности "обычных" функций. Но в смысле "обычного" предела последовательности функций эти "дельта-образные" последовательности ничего хорошего не дают.

(evgeniy)

evgeniy в сообщении #907907 писал(а):

Как Вы не почтительно отзываетесь о моих выкладках.

Я их много видел.

evgeniy в сообщении #907907 писал(а):

С таким же успехом я могу отзываться о Ваших вычислениях.

Мне начхать.

[evgeniy]

Имеем функцию $f(z)=\int_{-\infty}^z G(x) dx$ являющуюся сглаженной функцией |z|. Причем у этой функции все производные конечны, так как $\sigma$ конечна. При этом метрический интервал имеет вид $ds^2=(1+\frac{f(z)g}{c^2})c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$. Считаем тензор кривизны, старшая производная для тензора кривизны, это вторая производная от метрического тензора, которая является конечной и непрерывной. Получаем конечное, непрерывное значение тензора кривизны для толстого гравитирующего плоскостного объема.
Выкладки просты, как и метрический тензор. Странно, что у вас возникли вопросы по этим выкладкам.
Интересно, что произойдет при условии $\sigma \to 0$. Тогда формально используя предельный переход, получим дельта функцию. Но как мне задали вопрос, является ли этот тензор кривизны инвариантным?
Имеем $\frac{d^2 f(z)}{dz^2}\to \delta(z)$. Является ли правая часть этой величины такой же частью тензора кривизны, как и левая. Пожалуй нет. Значит тензор кривизны с дельта функцией не существует.
Дельта функция имеет размерность 1/см. Но как она участвует в преобразовании тензора. Она инвариантна с коэффициентом Ламе $h_{zz}\delta(z)$, так может быть она инвариантна, и тензор кривизны с ней инвариантен и является тензором с дельта функцией.

[Someone]

evgeniy в сообщении #907973 писал(а):

Получаем конечное, непрерывное значение тензора кривизны для толстого гравитирующего плоскостного объема.

Эк, удивили! Это и без Вас известно. Да и не нужна там такая страшная функция, многочлена не очень большой степени хватит.

Однако, Вы писали

evgeniy в сообщении #907004 писал(а):

С приближением к обобщенным функциям, получается решение задачи. Т.е. с новой аппроксимацией |z|, как двойным интегралом от приближения к обобщенной функции. В этом двойном интеграле необходимо ввести линейную функцию от первого интеграла, иначе не получится |z|. При этом получается непрерывный тензор кривизны.

Так давайте, демонстрируйте приближение к обобщённым функциям и непрерывный тензор кривизны в пределе. Задача-то сформулирована для бесконечно тонкого слоя, а не для Великой китайской стены.

[evgeniy]

Someone в сообщении #908000 писал(а):

Получаем конечное, непрерывное значение тензора кривизны для толстого гравитирующего плоскостного объема. Эк, удивили! Это и без Вас известно. Да и не нужна там такая страшная функция, многочлена не очень большой степени хватит.

Многочлен не определит приближение к функции |z|. Только приближение к обобщенным функциям определит приближение к величине |z|. Постройте такое приближение с помощью многочлена не очень большой степени.

Someone в сообщении #908000 писал(а):

evgeniy в сообщении #907004
писал(а):
С приближением к обобщенным функциям, получается решение задачи. Т.е. с новой аппроксимацией |z|, как двойным интегралом от приближения к обобщенной функции. В этом двойном интеграле необходимо ввести линейную функцию от первого интеграла, иначе не получится |z|. При этом получается непрерывный тензор кривизны. Так давайте, демонстрируйте приближение к обобщённым функциям и непрерывный тензор кривизны в пределе. Задача-то сформулирована для бесконечно тонкого слоя, а не для Великой китайской стены.

Я нигде не говорил, что предел приближенной функции будет непрерывным. Я говорил "С приближением к обобщенным функциям, получается решение задачи. ". И далее говорил, что приближение к обобщенным функциям определит непрерывный тензор кривизны. Не надо мне приписывать, то, что я не говорил.

[Someone]

evgeniy в сообщении #908005 писал(а):

Я нигде не говорил, что предел приближенной функции будет непрерывным. Я говорил "С приближением к обобщенным функциям, получается решение задачи. ". И далее говорил, что приближение к обобщенным функциям определит непрерывный тензор кривизны. Не надо мне приписывать, то, что я не говорил.

А тогда нафиг Вы влезли в тему? Кто тут без Вас не знал, что для толстого слоя можно всё сделать непрерывным? Кто Вас про этот толстый слой спрашивал?

[evgeniy]

Возникла проблема не существования тензора кривизны в точке z=0. Вы сославшись на какую-то особую причину отказались это исправить. Я же предложил профиль, который позволяет ввести тонкий слой с непрерывным тензором кривизны. Вместо благодарности, я получаю от вас не понимание. Вы говорите, что это тривиальная задача, и в качестве решения предлагаете откровенную глупость. Постройте с помощью многочлена приближение к функции |z|. Можно построить решение задачи с помощью другого приближения к дельта функции, но с помощью многочлена построить приближение к функции |z| нельзя.

[warlock66613]

Someone в сообщении #907964 писал(а):

Было сформулировано утверждение, что в некоей конструкции тензор кривизны в некотором месте не определён. Причём здесь обобщённые функции вообще и дельта-функция в частности?

Ну так при том, что в смысле обобщённых функций он может быть в этом месте замечательно определён. Обобщённые функции - привычный физикам инструмент, и было бы здорово, если бы его можно применить и здесь.

[Munin]

warlock66613 в сообщении #908114 писал(а):

Обобщённые функции - привычный физикам инструмент, и было бы здорово, если бы его можно применить и здесь.

Его и можно, если закрыть рукой геометрическую интерпретацию величин гравитационных полей, и воспринимать их чисто как полевые переменные (потенциалы, напряжённости).

[warlock66613]

Munin в сообщении #908122 писал(а):

Его и можно, если закрыть рукой геометрическую интерпретацию величин гравитационных полей, и воспринимать их чисто как полевые переменные (потенциалы, напряжённости).

Если при этом ещё и не будет нарушена калибровочная инвариантность, то имхо это будет означать, что возражения Oleg Zubelevich преодолимы.

[Someone]

evgeniy в сообщении #908020 писал(а):

Возникла проблема не существования тензора кривизны в точке z=0. Вы сославшись на какую-то особую причину отказались это исправить. Я же предложил профиль, который позволяет ввести тонкий слой с непрерывным тензором кривизны.

Ещё раз объясняю для особо непонятливых: речь шла о бесконечно тонком слое, о поверхности, по которой негладко склеены два плоских полупространства. Слой положительной толщины никого не интересовал ввиду полной банальности. Никакой проблемы не было, исправлять ничего не требовалось.

evgeniy в сообщении #908020 писал(а):

Постройте с помощью многочлена приближение к функции |z|.

Нужно "скруглить" уголок, только и всего.

Нам нужно сгладить функцию $f(z)=\left(1+\frac{g\lvert z\rvert}{c^2}\right)^2$ до производных второго порядка, то есть, придумать такую функцию $g_h(z)$, $h>0$, чтобы функция

$$f_h(z)=\begin{cases}g_h(z)\text{ при }\lvert z\rvert\leqslant h,\\ f(z)\text{ при }\lvert z\rvert>h\end{cases}$$

и её производные порядка $\leqslant 2$ были непрерывными.
Полагаем $g_h(z)=a_0+a_2z^2+a_4z^4$. Проблема, собственно, только в точках $z=\pm h$.
Считаем производные: $f'(h)=\frac{2g}{c^2}\left(1+\frac{gh}{c^2}\right)$, $f''(h)=\frac{2g^2}{c^4}$, $g'_h(h)=2a_2h+4a_4h^3$, $g''_h=2a_2+12a_4h^2$.
Приравниваем их и получаем систему уравнений

$$\begin{cases}a_0+a_2h^2+a_4h^4=\left(1+\frac{gh}{c^2}\right)^2,\\ 2a_2h+4a_4h^3=\frac{2g}{c^2}\left(1+\frac{gh}{c^2}\right),\\ 2a_2+12a_4h^2=\frac{2g^2}{c^4}.\end{cases}$$

Система эта имеет решение

$$\begin{cases}a_0=1+\frac{3gh}{4c^2},\\ a_2=\frac g{c^2}\left(\frac g{c^2}+\frac 3{2h}\right),\\ a_4=-\frac g{4c^2h^3}.\end{cases}$$

Тогда

$$f_h(z)=\begin{cases}\left(1+\frac{3gh}{4c^2}\right)+\frac g{c^2}\left(\frac g{c^2}+\frac 3{2h}\right)z^2-\frac g{4c^2h^3}z^4\text{ при }\lvert z\rvert\leqslant h,\\ \left(1+\frac{g\lvert z\rvert}{c^2}\right)^2\text{ при }\lvert z\rvert>h.\end{cases}$$

Или Вам непременно нужно эту штуку для модуля сделать? Ради бога, сами проделайте вычисления. Для модуля тоже чётного многочлена четвёртой степени хватит, чтобы получить непрерывные вторые производные; только когда Вы этот сглаженный модуль подставите в метрику, получится многочлен восьмой степени вместо четвёртой.

warlock66613 в сообщении #908114 писал(а):

Ну так при том, что в смысле обобщённых функций он может быть в этом месте замечательно определён.

В каком "в этом"? Обобщённые функции — это линейные функционалы на пространстве основных функций. В точках пространства-времени они никаких значений не имеют. Другое дело, что некоторым из этих функционалов можно сопоставить обычные функции. Но не всем. Вот о значениях этих функций можно говорить.

warlock66613 в сообщении #908114 писал(а):

Обобщённые функции - привычный физикам инструмент, и было бы здорово, если бы его можно применить и здесь.

Да я запрещаю, что-ли? Только ведь дельта-функция $\delta(z)$ никакого численного значения при $z=0$ не имеет. Так что задачу доопределения тензора кривизны при $z=0$ она не решает.

[Munin]

warlock66613 в сообщении #908135 писал(а):

Если при этом ещё и не будет нарушена калибровочная инвариантность, то имхо это будет означать, что возражения Oleg Zubelevich преодолимы.

Вот имхо тоже, но этот диалог как-то не был доведён до логического конца.

-- 15.09.2014 20:38:07 --

Someone в сообщении #908140 писал(а):

Обобщённые функции — это линейные функционалы на пространстве основных функций.

Ну, метрика-связность-кривизна тоже всего лишь функционалы...