Является ли наше декартово пространство плоским?

[Munin]

Zuul
Вы бы почитали предшествующую тему, прежде чем высказываться.

[npduel]

evgeniy в сообщении #904127 писал(а):

Стоит вопрос, является ли наше пространство плоским или искривленным. Так вот, этот вопрос надо поставить корректно.

Де Кондильяк (1755):

Цитата:

...абстракции, которым приписывают реальность, являются источником пустых споров и ложных рассуждений.

См. модераториал в сообщении post930371.html#p930371.

[ratay]

Вот не стану утверждать на 100%, но почему-то я думал, что этот вопрос закрыт уже лет сто назад, в том смысле, что плоское пространство - это очень хорошее приближение, которым мы пользуемся в пределах Солнечной системы. Или нет?

[iva6717]

Вот мне кажется,что пространство было бы плоским,если бы прямой угол был чуть больше 90 градусов.Таким,чтобы корень из 5 равнялся ровно 2,24.То есть,если построить новый прямоугольный треугольник со катетами 1 и 2,то гипотенуза равнялась 2,24.

[Aritaborian]

[Munin]

iva6717 в сообщении #904975 писал(а):

Вот мне кажется,что пространство было бы плоским,если бы прямой угол был чуть больше 90 градусов.

В таких случаях общий рецепт: "когда кажется - креститься надо".

ratay в сообщении #904936 писал(а):

Вот не стану утверждать на 100%, но почему-то я думал, что этот вопрос закрыт уже лет сто назад, в том смысле, что плоское пространство - это очень хорошее приближение, которым мы пользуемся в пределах Солнечной системы. Или нет?

Вопрос совсем не в этом, и вы опять влезли, не понимая предмета обсуждения. Как вам в очередной раз не стыдно?

[evgeniy]

Munin я различаю кривизну пространства-времени и пространства. Или плоскость пространства - времени, или просто плоскость пространства. Но не мог разобраться в следующем вопросе. Теперь разобрался. Пространственная часть тензора кривизны в случае однородного пространства равна $R_{iknm}=\lambda(\delta_{in}\delta_{km}-\delta_{im}\delta_{kn})\eqno(1)$. Тензор Риччи пространства равен $P_{ik}=2\lambda \delta_{ik}$. Он зависит от плотности материи, через постоянную $\lambda$. В случае неоднородного пространства его кривизна определяется пространственной частью тензора кривизны, а плотность материи или средняя плотность материи тут не при чем. Причем как показывает пример Someone, пространство может быть частично плоским в одной области и искривленным в другой. Это зависит от значения пространственной части тензора кривизны, его равенства нулю. Аналогично и пространство-время может быть плоским в одной области, и кривым в другой.
В случае однородного пространства тензор кривизны пространства имеет вид (1) и его плоскость определяется плотностью материи.

[Someone]

evgeniy в сообщении #905416 писал(а):

Причем как показывает пример Someone, пространство может быть частично плоским в одной области и искривленным в другой.

Я этого не говорил. В моём примере пространство плоское. Пространство-время тоже плоское всюду, за исключением одной времениподобной трёхмерной поверхности, на которой тензор кривизны пространства-времени не определён, потому что метрика пространства-времени на этой поверхности не является гладкой.

[ratay]

А при чем тут 90 градусов? Ели число пи возникает достаточно естественно, и в теории комплексных чисел, и как сумма ряда, то все прочие возникли достаточно условно, по соглашению. Мы можем считать углы в градусах, можем в градах (хоть и не прижилось), можем в делениях угломера, как артиллеристы. Ничего не изменится. А прямой угол как был четвертью окружности, так и остался.

[iva6717]

ratay в сообщении #905467 писал(а):

А прямой угол как был четвертью окружности, так и остался.

Изменится длина окружности,соответственно и число пи.

[Someone]

iva6717 в сообщении #905494 писал(а):

Изменится длина окружности,соответственно и число пи.

Число $\pi$ определяется как отношение длины окружности к её диаметру в евклидовой геометрии, никаких других "чисел $\pi$ нет, и измениться оно не может. В других геометриях такое отношение может иметь другое значение, и даже быть разным для разных "окружностей"; к числу $\pi$ это никакого отношения не имеет.

[Munin]

evgeniy в сообщении #905416 писал(а):

Или плоскость пространства - времени, или просто плоскость пространства.

Говорят "плоскостность". Чтобы слово "плоскость" было только существительным.

evgeniy в сообщении #905416 писал(а):

Теперь разобрался.

Ну и замечательно.

evgeniy в сообщении #905416 писал(а):

Пространственная часть тензора кривизны в случае однородного пространства равна $R_{iknm}=\lambda(\delta_{in}\delta_{km}-\delta_{im}\delta_{kn})\eqno(1)$.

Учтите ещё один нюанс: эта пространственная часть не равна тензору Римана для пространственноподобного сечения. Они отличаются за счёт внешней кривизны этого сечения. Формулы см. в МТУ §§ 21.4, 21.5, конкретно (21.75) (латинские индексы 3-мерны, $\boldsymbol{\mathsf{K}}$ - тензор внешней кривизны)

$${}^{(4)}R^m{}_{ijk}={}^{(3)}R^m{}_{ijk}+(\boldsymbol{\mathsf{n}}\cdot\boldsymbol{\mathsf{n}})^{-1}(K_{ij}K^m_k-K_{ik}K^m_j).$$

[evgeniy]

Someone в сообщении #905460 писал(а):

evgeniy в сообщении #905416
писал(а):
Причем как показывает пример Someone, пространство может быть частично плоским в одной области и искривленным в другой.
Я этого не говорил. В моём примере пространство плоское. Пространство-время тоже плоское всюду, за исключением одной времениподобной трёхмерной поверхности, на которой тензор кривизны пространства-времени не определён, потому что метрика пространства-времени на этой поверхности не является гладкой.

Возникает вопрос, может ли тензор кривизны пространства- времени, или пространственная компонента тензора кривизны в одной области равняться нулю, а в другой области не равняется нулю. Интересно привести пример. Пример Someone, как он уточнил, утверждает, что тензор кривизны в одной области не определен. Тензор кривизны равен дельта функции, и поэтому Someone утверждает, что он не определен. Это спорный вопрос. Дело в том, что в другой системе координат этот тензор нулевой во всем пространстве, и значит он нулевой в любой системе координат. Но для дельта функции делают исключение. Например, решением уравнения Лапласа является функция $\frac{1}{r}$, причем правая часть уравнения Лапласа равна дельта функции, а не нулю.
Munin я не знаю что означает сокращение МТУ, поэтому не понял Вашу формулу, хотя она интересна. Укажите источник более подробно.

[Someone]

evgeniy в сообщении #905762 писал(а):

Пример Someone, как он уточнил, утверждает, что тензор кривизны в одной области не определен.

Я не говорил "в области". Я говорил "на трёхмерной времениподобной поверхности".

evgeniy в сообщении #905762 писал(а):

Тензор кривизны равен дельта функции, и поэтому Someone утверждает, что он не определен.

Дельта-функция — не функция, и никакого численного значения значения на интересующей нас поверхности не имеет (строго говоря, она ни в какой точке его не имеет). Поэтому тензор кривизны на этой поверхности не определён.

evgeniy в сообщении #905762 писал(а):

Дело в том, что в другой системе координат этот тензор нулевой во всем пространстве

Это бред. Предъявите систему координат и свои вычисления.

evgeniy в сообщении #905762 писал(а):

я не знаю что означает сокращение МТУ

Ч.Мизнер, К.Торн, Дж.Уилер. Гравитация. Том 2. "Мир", Москва, 1977. (Всего 3 тома.)
Это будет прекрасный источник для вашего бреда.

[evgeniy]

Someone в сообщении #905810 писал(а):

evgeniy в сообщении #905762
писал(а):
Дело в том, что в другой системе координат этот тензор нулевой во всем пространстве Это бред. Предъявите систему координат и свои вычисления.

Формула (1) из Вашего сообщения определяет плоское пространство.

Someone в сообщении #541454 писал(а):

Рассмотрим пространство-время Минковского с координатами $\tau$, $\xi$, $\eta$, $\zeta$, метрика которого имеет вид

$$ds^2=c^2d\tau^2-d\xi^2-d\eta^2-d\zeta^2.\eqno{(1)}$$

Известно, что все символы Кристоффеля для этой метрики нулевые, и псевдотензор энергии-импульса гравитационного поля тожественно равен нулю (выражение для псевдотензора взято из учебника Ландау и Лифшица, том 2). Все тела движутся по прямым с постоянными скоростями или покоятся. Никакой гравитации нет, есть только инерция. Уравнения движения свободных материальных точек можно записать в виде

$$\begin{cases}\xi=\xi_0+v_{\xi}\tau,\\ \eta=\eta_0+v_{\eta}\tau,\\ \zeta=\zeta_0+v_{\zeta}\tau.\end{cases}\eqno{(2)}$$

В сообщении post521437.html#p521437
было показано, что уравнение равноускоренного движения точки с ускорением $g>0$ (ускорение определяется в мгновенно сопутствующей точке инерциальной системе отсчёта) по прямой, параллельной оси $O\zeta$ можно привести к виду

$$\begin{cases}\zeta^2-c^2\tau^2=\frac{c^4}{g^2},\\ \xi=\xi_0,\ \eta=\eta_0\end{cases}\eqno{(3)}$$

(в отличие от указанного сообщения, здесь центр гиперболы находится в точке с координатами $\tau=0$, $\xi=\xi_0$, $\eta=\eta_0$, $\zeta=0$).