Является ли наше декартово пространство плоским?

[Someone]

evgeniy в сообщении #905831 писал(а):

Формула (1) из Вашего сообщения определяет плоское пространство.

И что? Речь-то идёт совсем о другом пространстве. О пространстве, склеенном из кусков пространства Минковского, но склеенном не гладко. С негладкой метрикой

$$ds^2=\left(1+\frac{g|z|}{c^2}\right)^2c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2.\eqno{(6)}$$

[evgeniy]

Значит в точках, которые образованы из пространства Минковского нулевая кривизна пространства-времени образованного Вами пространства. Ведь кривизна пространства времени это локальная характеристика. В точке не гладкости образованного Вами пространства, пространство Минковского имеет нулевую кривизну. Вы образовали пространство время не гладким образом в одной точке z=0. Значит пределом кривизны Вашего пространства при приближении к точке z=0 справа и слева должна быть нулевая кривизна пространства времени, в силу тензорного характера тензора кривизны. Может ли быть тензор кривизны разрывным я не знаю. Но у Вас получилось, что тензор кривизны равен дельта функции в z=0. Правильно это или нет я не знаю.
А вообще я скачал рекомендованные мне книги МТУ и буду их читать, если осилю новую математику, превышающую тензорный анализ, на котором основано изложение у ЛЛ2.

[Munin]

Someone в сообщении #905810 писал(а):

Дельта-функция — не функция, и никакого численного значения значения на интересующей нас поверхности не имеет (строго говоря, она ни в какой точке его не имеет). Поэтому тензор кривизны на этой поверхности не определён.

Ну не надо так строго. Тензор кривизны вычисляется как производная от связности и метрики. Они, в свою очередь, могут быть недифференцируемы, но дифференцируемы в обобщённом смысле, и тогда можно ввести некоторую обобщённую функцию, которую и назвать тензором кривизны (с оговоркой) в данном случае. Поскольку в формулы диф. геометрии тензор кривизны входит в интегральных выражениях, то их по-прежнему можно вычислить.

Не знаю, где это могло бы быть изложено, но имхо, вполне естественное использование формализма. Интуитивно, тензор кривизны может быть "дельта-функциональным", например, в вершине конуса.

[Oleg Zubelevich]

что бы продифференцировать что-то в смысле теории обобщенных функций ,нужно иметь пространство пробных функций как минимум класса $C^1$. а как определить такое пространство в окрестности вершины конуса?

[arseniiv]

(Совсем оффтоп, можно игнорировать.)

Кстати, в каких приложениях на месте функций не уместно подставлять обобщённые функции (с соответствующим распространением «заразы» [хм, монады вспомнились. Интересно, аналогия точна или нет], конечно)?

[schekn]

Munin в сообщении #905892 писал(а):

Ну не надо так строго. Тензор кривизны вычисляется как производная от связности и метрики. Они, в свою очередь, могут быть недифференцируемы, но дифференцируемы в обобщённом смысле, и тогда можно ввести некоторую обобщённую функцию, которую и назвать тензором кривизны (с оговоркой) в данном случае. Поскольку в формулы диф. геометрии тензор кривизны входит в интегральных выражениях, то их по-прежнему можно вычислить.

Не знаю, где это могло бы быть изложено, но имхо, вполне естественное использование формализма. Интуитивно, тензор кривизны может быть "дельта-функциональным", например, в вершине конуса.

Вообще говоря математики не любят, чтобы где-то возникает модуль в решениях. Этого не любят и физики. Это значит что-то не в порядке с моделью. Дельта-функции в символах Кристоффеля, в тензоре кривизны это страшное дело. Я не уверен, что везде можно аккуратно проводить вычисления , если у нас будет присутствовать дельта-функция. Дифференциальная геометрия предполагает гладкость.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #905993 писал(а):

что бы продифференцировать что-то в смысле теории обобщенных функций ,нужно иметь пространство пробных функций как минимум класса $C^1$. а как определить такое пространство в окрестности вершины конуса?

Карту конуса на плоскость надо описывать?

-- 09.09.2014 22:24:32 --

schekn в сообщении #906014 писал(а):

Вообще говоря математики не любят, чтобы где-то возникает модуль в решениях. Этого не любят и физики.

Вы абсолютно не поняли, о чём речь, так что не мешайтесь.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #906022 писал(а):

Карту конуса на плоскость надо описывать?

Вы хотите развертку конуса нарисовать? Хорошо нарисовали. Вершина конуса лежит на границе этой развертки. А по определению дифференциала функции в точке, эта точка должна быть внутренней точкой области.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #906034 писал(а):

Вы хотите развертку конуса нарисовать? Хорошо нарисовали.

Нет, не развёртку. Проекцию на плоскость, перпендикулярную оси конуса.

[Oleg Zubelevich]

касательная плоскость в вершине конуса не определена, значит и дифференциал функции в этой точке не определен

[schekn]

Munin в сообщении #906022 писал(а):

Вы абсолютно не поняли, о чём речь, так что не мешайтесь.

(Оффтоп)

Я то понял, это Вы не понимаете. Гравитирующая плоскость дает совсем другое вакуумное неплоское решение. Без всякий дельта-функция и модулей.

[epros]

schekn в сообщении #906131 писал(а):

Гравитирующая плоскость дает совсем другое вакуумное неплоское решение. Без всякий дельта-функция и модулей.

Любопытное заявление. Я так полагал, что «гравитирующая плоскость» — это такая бесконечно тонкая поверхность, на которую окружающие предметы имеют свойство падать с обеих сторон. Т. е. с одной стороны ускорение свободного падения направлено прямо противоположно его направлению с другой стороны. Каким образом здесь можно обойтись без разрывной функции зависимости ускорения свободного падения от координаты?

[Munin]

epros в сообщении #906144 писал(а):

Любопытное заявление.

Не более любопытное, чем куча других ошибок данного персонажа.

Oleg Zubelevich в сообщении #906052 писал(а):

касательная плоскость в вершине конуса не определена, значит и дифференциал функции в этой точке не определен

Что нам мешает дифференцировать по карте? Да, дифференциал тоже будет не определён, но в смысле обобщённых функций - определён.

[schekn]

epros в сообщении #906144 писал(а):

Любопытное заявление. Я так полагал, что «гравитирующая плоскость» — это такая бесконечно тонкая поверхность, на которую окружающие предметы имеют свойство падать с обеих сторон. Т. е. с одной стороны ускорение свободного падения направлено прямо противоположно его направлению с другой стороны. Каким образом здесь можно обойтись без разрывной функции зависимости ускорения свободного падения от координаты?

Бесконечно тонких плоскостей в природе не бывает. Природа вообще не любит дельта-функций. Возьмите тонкий диск конечной толщины, наполните веществом и посмотрите , какие решения в вакууме получаются. Можете рассмотреть для простоты бесконечно большой диск конечной толщины.

-- 10.09.2014, 14:33 --

Munin в сообщении #906189 писал(а):

Не более любопытное, чем куча других ошибок данного персонажа.

Вас уже неоднократно сажали в лужу. Интересно, в каком месте МТУ вводят обобщенные функции и какое они имеют отношение к классической ОТО?

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #906189 писал(а):

Что нам мешает дифференцировать по карте?

Это означает, что Вы ввели на конусе структуру гладкого многообразия. Эта структура несогласована с гладкой структурой объемлющего впространства . Вы получили многообразие диффеоморфное плоскости. Если бы Вы не произносили слово "конус", а сразу сказали, что рассматриваете плоскость , я бы не стал цепляться.