Является ли наше декартово пространство плоским?

[evgeniy]

Не могу разобраться в простой вещи, определение плоского пространства. С одной стороны пространство является плоским в зависимости от значения величины $\frac{8\pi k \mu}{3}-H^2$, где $\mu$ средняя плотность массы в пространстве, H постоянная Хаббла. С другой стороны, пространство называется плоским, если тензор кривизны равен нулю$ R^i_{knm}=0$, при этом символ Кристоффеля равен нулю. Но если имеется гравитационное поле, то метрический тензор не является тензором Галилея, и символ Кристоффеля не равен нулю, и следовательно пространство не плоское. Пожалуй первое свойство плоского пространства глобальное, а второе локальное. Но что думают по этому поводу спецы по ОТО.

[Oleg Zubelevich]

а бывает еще так, что символы Кристоффеля не равны нулю, а пространство всеравно плоское

-- Пт сен 05, 2014 13:12:07 --

evgeniy в сообщении #904097 писал(а):

этом символ Кристоффеля равен нулю

интересно, а который именно символ Кристоффеля должен обратиться в ноль, я слышал их там много понавыдумывали

[evgeniy]

Если пространство плоское, то можно выбрать систему координат, где везде символы Кристоффеля равны нулю, При этом тензор кривизны равен нулю. См. ЛЛ параграф 91. Но символы Кристоффеля не образуют тензора, поэтому в другой системе координат они не равны нулю. Но меня интересует другой вопрос. Если в нашем декартовом пространстве имеется гравитационное поле, то символы Кристоффеля отличны от нуля в некоторой системе координат, значит тензор кривизны может быть не равен нулю, и пространство не плоское. Гравитационное поле может например соответствовать метрике Шварцшильда, и тогда тензор кривизны не равен нулю. Но судят о плоскости пространства по величине

evgeniy в сообщении #904097 писал(а):

$\frac{8\pi k \mu}{3}-H^2$

. Т.е. судя по этой величине пространство с гравитационным полем может быть плоским. Получается противоречие. Т.е. эти два определения плоского пространства не стыкуются.

[Утундрий]

Не путайте отсутствие кривизны у всего пространства-времени и тоьько у его пространственного сечения.

[evgeniy]

Вы хотите сказать, что если вычислить пространственную часть тензора кривизны гравитационного поля, то она будет зависеть от плотности материи в пространстве. Что-то я очень сомневаюсь.

-- Пт сен 05, 2014 15:21:41 --

Мне кажется, что существуют разные решения уравнения ОТО, для среды, заданной уравнением состояния, которое и определяет определение кривизны пространства по величине

evgeniy в сообщении #904097 писал(а):

$\frac{8\pi k \mu}{3}-H^2$

и в случае присутствия материальных тел, и это разные определения для разных решений. Единое определение плоского пространства нужно предложить. Какое я не знаю.

[Утундрий]

Ну, кому нужно, тот пусть и определяет. Мне, например, оно и даром не нужно.

[evgeniy]

Стоит вопрос, является ли наше пространство плоским или искривленным. Так вот, этот вопрос надо поставить корректно.

[Munin]

evgeniy в сообщении #904118 писал(а):

Вы хотите сказать, что если вычислить пространственную часть тензора кривизны гравитационного поля, то она будет зависеть от плотности материи в пространстве. Что-то я очень сомневаюсь.

Это да. Вместо того, чтобы почитать учебник - охать и сомневаться. Это наш путь!

Продолжайте в том же духе.

(Утундрий правильно сказал, тему можно закрывать.)

[Someone]

evgeniy в сообщении #904109 писал(а):

Если в нашем декартовом пространстве имеется гравитационное поле, то символы Кристоффеля отличны от нуля в некоторой системе координат, значит тензор кривизны может быть не равен нулю, и пространство не плоское. Гравитационное поле может например соответствовать метрике Шварцшильда, и тогда тензор кривизны не равен нулю. Но судят о плоскости пространства по величине

evgeniy в сообщении #904097 писал(а):

$\frac{8\pi k \mu}{3}-H^2$

. Т.е. судя по этой величине пространство с гравитационным полем может быть плоским. Получается противоречие. Т.е. эти два определения плоского пространства не стыкуются.

Вы путаете пространство и пространство-время. Пространство-время в космологических решениях Фридмана не плоское, у него ненулевая кривизна и всё такое. Так уж случилось, что при указанном условии пространственное сечение, образованное точками, в которых космологическое время одинаковое, является плоским. Ещё раз: плоским является только указанные пространственные сечения (это то, что Вы называете "пространством"), в то время как пространство-время кривое.

А вообще, не всё так просто. Оказывается, можно придумать пространство-время, которое плоское всюду, за исключением одной плоскости, но гравитационное поле там есть. Настоящее. Подробности можно посмотреть в сообщении http://dxdy.ru/post541454.html#p541454.

[schekn]

Someone в сообщении #904134 писал(а):

А вообще, не всё так просто. Оказывается, можно придумать пространство-время, которое плоское всюду, за исключением одной плоскости, но гравитационное поле там есть. Настоящее. Подробности можно посмотреть в сообщении post541454.html#p541454
.

Мне по прежнему не нравится это решение. Всегда считал, что источник гравитации это ТЭИ, а вы его нигде не использовали, то есть построение ведется исключительно манипуляциями с геометрией. Но снова разворачивать дискуссию не буду. Пока не буду.

[evgeniy]

Someone Вы описали простой пример, ускоренное движение камня в инерциальной системе координат, связанной с Землей, и наличие гравитационного поля. В другой ускоренной системе координат движение с постоянной скоростью в отсутствии гравитационного поля, причем пространство-время описывается пространством-временем Минковского. Вопрос, эти пространства плоские или нет? Если подсчитать тензор кривизны для пространственной части в этих двух системах координат, то получим ноль, т.е. пространство плоское. Причем пространство плоское в зависимости от значения тензора кривизны. Если он равен нулю, то он равен нулю в любой системе координат. Тут какое-то противоречие, Вы пишите, что пространство-время плоское, за исключением одной плоскости. Как такое может быть? Ведь пространство время непрерывно. Поясните. Если тензор кривизны равен нулю во всем пространстве в одной системе координат, то он равен нулю во всем пространстве в любой системе координат. В то же время кривизна пространства при подсчете космологической проблемы Фридмана зависит от плотности пространства.
До свидания, до понедельника.

[Munin]

evgeniy в сообщении #904159 писал(а):

Если подсчитать тензор кривизны для пространственной части в этих двух системах координат, то получим ноль, т.е. пространство плоское.

Научитесь различать "пространство плоское" и "пространство-время плоское". Второе часто звучит как "пространство плоское" во многих учебниках.

[Someone]

schekn в сообщении #904141 писал(а):

Мне по прежнему не нравится это решение. Всегда считал, что источник гравитации это ТЭИ, а вы его нигде не использовали

Он там "спрятался" в бесконечно тонкой плоскости $z=0$, по которой склеены области $z\geqslant 0$ и $z\leqslant 0$. В принципе, его можно вычислить, но мне сейчас не хочется этим заниматься.

Бесконечно тонкий слой — это некоторая идеализация. Его можно заменить слоем конечной толщины.

[Munin]

Идея в том, что кривизна - локальная характеристика многообразия, а вот неплоскостность - в том числе и глобальная. Можно плоский лист свернуть в цилиндр, и он перестанет быть плоским. Так же и с гравитацией.

[Zuul]

evgeniy в сообщении #904097 писал(а):

Не могу разобраться в простой вещи, определение плоского пространства. С одной стороны пространство является плоским в зависимости от значения величины $\frac{8\pi k \mu}{3}-H^2$, где $\mu$ средняя плотность массы в пространстве, H постоянная Хаббла. С другой стороны, пространство называется плоским, если тензор кривизны равен нулю$ R^i_{knm}=0$, при этом символ Кристоффеля равен нулю. Но если имеется гравитационное поле, то метрический тензор не является тензором Галилея, и символ Кристоффеля не равен нулю, и следовательно пространство не плоское. Пожалуй первое свойство плоского пространства глобальное, а второе локальное. Но что думают по этому поводу спецы по ОТО.

имхо вы говорите о двух различных пространствах