Является ли наше декартово пространство плоским?

[warlock66613]

Oleg Zubelevich в сообщении #908388 писал(а):

Если значения функции $f$ изменить на множестве меры нуль то обобщенная функция не изменится

Спасибо. Но из этого множества функций явно выделяется одна - та, которая непрерывна.

[Oleg Zubelevich]

warlock66613 в сообщении #908395 писал(а):

пасибо. Но из этого множества функций явно выделяется одна - та, которая непрерывна.

а если непрерывной в этом множестве вообще нет, то какую будете выделять?

[warlock66613]

Oleg Zubelevich в сообщении #908397 писал(а):

а если непрерывной в этом множестве вообще нет, то какую будете выделять?

А нужно ли оно кому, такое множество?

[Oleg Zubelevich]

warlock66613 в сообщении #908398 писал(а):

А нужно ли оно кому, такое множество?

ну вообще-то ради него этот аппарат и создавался

[Someone]

warlock66613 в сообщении #908359 писал(а):

Давайте ограничимся векторным пространством хороших функций на $\mathbb{R}^n$.

И так финитные, бесконечно дифференцируемые. Куда уж лучше-то.

evgeniy в сообщении #908344 писал(а):

мы не добьемся непрерывности на границе переходного слоя равенства справа и слева производных от тензора кривизны.

А взять полином большей степени догадаться нельзя? Не говорите только, что Вам нужно бесконечно много производных.

warlock66613 в сообщении #908369 писал(а):

Ну всё правильно. $\delta(x)$ обращается в ноль на $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ по этому определению.

Только не надо понимать это в том смысле, что $\delta(1)=0$. Потому что

Oleg Zubelevich в сообщении #908388 писал(а):

Если значения функции $f$ изменить на множестве меры нуль то обобщенная функция не изменится

Уже по меньшей мере трое сказали, что

Oleg Zubelevich в сообщении #908373 писал(а):

$\delta$ функция, как и любая другая обобщенная функция не определена в точках $\mathbb{R}^m$

warlock66613 в сообщении #908398 писал(а):

А нужно ли оно кому, такое множество?

Я напоминаю, что вообще весь сыр-бор разгорелся из-за того, что в некотором пространстве-времени тензор кривизны нулевой всюду, кроме одной (времениподобной) трёхмерной гиперплоскости, на которой этот тензор не определён, и почему-то кое-кому захотелось его там доопределить. Предположим, мы его "доопределим" с помощью дельта-функции. Какие у него значения будут на упомянутой гиперплоскости? Только не говорите, что бесконечные. Это всё равно, что никаких.

[Otta]

warlock66613 в сообщении #908398 писал(а):

А нужно ли оно кому, такое множество?

А как же дельта-функция? :)

[warlock66613]

Someone в сообщении #908400 писал(а):

Какие у него значения будут на упомянутой гиперплоскости?

Значений как у обычной функции у него не будет. Но он будет определён во всём пространстве-времени, в том числе и на этой гиперплоскости, как обобщённая функция.

-- 16.09.2014, 13:27 --

Otta в сообщении #908402 писал(а):

А как же дельта-функция? :)

С ней нет проблем: и на $(-\infty,0)$ и на $(0,\infty)$ есть нужная непрерывная функция - тождественно нулевая.

[Otta]

warlock66613 в сообщении #908404 писал(а):

Но он будет определён во всём пространстве-времени, в том числе и на этой гиперплоскости, как обобщённая функция.

Это вообще оксюморон некий: обобщенная функция определяется не на пространстве-времени, а на пространстве пробных функций над этим пространством. Впрочем, говорили уже.

[warlock66613]

Otta в сообщении #908406 писал(а):

Это вообще оксюморон некий: обобщенная функция определяется не на пространстве-времени, а на пространстве пробных функций над этим пространством.

Замечательно. У неё есть носитель, и есть область, где она обращается в ноль. Объединяя эти области, получаем то, что логично назвать "обобщённой областью определения", потому что это и будет обобщение области определения функции на случай обобщённых функций.

[Otta]

Цикл post908268.html#p908268

[Red_Herring]

warlock66613 в сообщении #908409 писал(а):

Замечательно. У неё есть носитель, и есть область, где она обращается в ноль. Объединяя эти области, получаем то, что логично назвать "обобщённой областью определения", потому что это и будет обобщение области определения функции на случай обобщённых функций

Мне кажется что это не вполне удачное определение. Например, рассмотрим на $\mathbb{R}$ обычную $\delta(x)$. Где она равна $0$? Вы скажете, что на $\mathbb{R}\setminus \{0\}$. Но я тогда скажу, что поскольку всякая $\phi\in C^\infty_0(\mathbb{R}^2)$ имеет сужение $\phi(.,0)\in C^\infty_0(\mathbb{R})$, то на самом деле наша $\delta$ определена на $\mathbb{R}^2$ (и равна $0$ вне $\{y=0\}$).

Разумеется, с "нормальной точки зрения" это будет другая обобщенная функция (а именно $\delta(x)\delta(y)$), определенная на другом пространстве пробных функций, но мне кажется, что Ваше определение игнорирует такие "мелочи" позволяя произвольно "накачивать" область определения.

[evgeniy]

Хочу предложить следующую интерпретацию определения метрического тензора с помощью обобщенных функций суммируя все разногласия. Обобщенная функция $f(x)$, которую нужно использовать для определения метрического тензора определена на носителе $\varphi(x)$ с помощью формулы $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\varphi(x)dx$. При $f(x)$ равном $\delta (x)$ эта формула выглядит $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\varphi(x-x_0)dx=\varphi(x_0)$. При этом обобщенная функция может совпадать с обычной функцией, но определяемой по этому же закону с помощью функционала. При таком определении ни о какой бесконечности обобщенной функции речь не идет.
В случае обычной функции, считаемой обобщенной, справедливо $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\varphi(x-x_0)dx=\psi(x_0)$ и по известной функции $\psi(x_0)$ можно восстановить обычную функцию $f(x)$. При этом имеем обобщенную функцию $|z|,sgn(z),\delta(z)$.

[Someone]

(evgeniy)

evgeniy, как же надоела Ваша белиберда. Может быть, уже оставите в покое эту тему?

[evgeniy]

(Оффтоп)

Someone, что Вы имеете по поводу правильной формулировки проблемы

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #908357 писал(а):

обобщенная функция это линейный функционал на векторном пространстве

-- Вт сен 16, 2014 10:39:47 --

есть понятие "носитель обобщенной функции", только не надо так уж буквально думать, что обобщенная функция является функцией точек носителя :mrgreen:

Я так понимаю, можно выделить область $D\subseteq\mathbb{R}^n,$ построить на ней векторное пространство функций, и на этом векторном пространстве определить соответствующие обобщённые функции.

Я так понимаю, это в каком-то смысле то же самое, что взять обобщённые функции на аналогичном пространстве функций на $\mathbb{R}^n,$ и выделить в них те, носитель которых $\subseteq D.$ Разница, если и есть, будет иметь меру нуль. Это так?

-- 16.09.2014 16:39:56 --

Someone в сообщении #908400 писал(а):

Я напоминаю, что вообще весь сыр-бор разгорелся из-за того, что в некотором пространстве-времени тензор кривизны нулевой всюду, кроме одной (времениподобной) трёхмерной гиперплоскости, на которой этот тензор не определён, и почему-то кое-кому захотелось его там доопределить. Предположим, мы его "доопределим" с помощью дельта-функции. Какие у него значения будут на упомянутой гиперплоскости? Только не говорите, что бесконечные. Это всё равно, что никаких.

Значения будут "дельта-функциональные". Это не всё равно, что никаких, это позволяет посчитать интегралы.