О "последнем" утверждении П. Ферма

[Алексей К.]

Вы доказывали своё изначальное утверждение в условиях взаимной простоты (x,y) и взаимной простоты (c,d).

ljubarcev писал(а):

Введем новые обозначения - $a=dx$; $b=dy$

Называть после этого пару (a,b) просто

ljubarcev писал(а):

степень которого представима суммой энных степеней двух других натуральных чисел ? (выделено мной, АК)

"двумя другими" (подразумевается "любыми") натуральными числами нельзя. Это или мухлёж, или невладение ремеслом. Это два числа, такие, что

$$\mbox{НОД}(a,b)=d>1.$$

.
Стало быть, с 3 и 4 я работать не вправе. Можно взять 6 и 8.

Но если вспомнить всё, то

$$\mbox{НОД}(a,b)=d>1,\quad\mbox{где}\quad \mbox{НОД}(c,d)=1$$

.
Т.е. $c$ тоже не любое. Взяв $(a,b)=(6,8)$, я исключаю $c=2,4,6,8,10,12,\ldots,1000$ и ещё много других чисел, всех не перечислить..

ljubarcev писал(а):

Как его можно трактовать кроме: не существует натурального числа $c$ энная степень которого представима суммой энных степеней двух других натуральных чисел ?

А вот так --- громоздко, неинтересно, но зато честно, и трактовать. TOTAL уже написал.

[ljubarcev]

TOTAL писал(а):

Трактовать необходимо так:
Не существует натурального числа $c$, которое не далится на $d$, энная степень которого представима суммой энных степеней двух других натуральных чисел, каждое из которых делится на $d$.
Замечаете отличие от БТФ?

Уважаемый TOTAL ! Ваша трактовка верна для утверждения

$$(c/d)^n\ne {x^n+y^n}$$

(1)
Из (1) в соответствии с правилfми арифметики получено верное

$$c^n\ne {a^n+b^n}$$

(2)
Нпкакого $d$, использованного Вами в трактовке в утверждении (2), нет и оно полнлстью. соответствует утверждению Ферма.
Уважаемый Алексей К ! А Ферма и не утверждал, что числа $a;b;c$ должны быть взаимно простыми, то есть $d$ может быть любым не равным 1. Если для какого -то конкретного $c$ оно не окажется взаимно простым, то есть уних будет НОД, то после сокращения на него получим новую несоератимую дробь $c_1/d_1$, для котрой будут верны те же рассуждения.
Дед.

[PAV]

Я же отмечал, что товарищ не понимает разницы между формулой и утверждением.
Он пытается использовать неверное утверждение:
"Для любого $c$ и любых $a,b$ верно неравенство $c^n\ne a^n+b^n$",
которое не следует из того, что было написано им ранее

(хотя формула $c^n\ne a^n+b^n$ выведена правильно)

[TOTAL]

ljubarcev писал(а):

TOTAL писал(а):

Трактовать необходимо так:
Не существует натурального числа $c$, которое не далится на $d$, энная степень которого представима суммой энных степеней двух других натуральных чисел, каждое из которых делится на $d$.
Замечаете отличие от БТФ?

Уважаемый TOTAL ! Ваша трактовка верна для утверждения

$$(c/d)^n\ne {x^n+y^n}$$

(1)
Из (1) в соответствии с правилfми арифметики получено верное

$$c^n\ne {a^n+b^n}$$

(2)
Нпкакого $d$, использованного Вами в трактовке в утверждении (2), нет и оно полнлстью. соответствует утверждению Ферма.
Дед.

Либо умышленно, либо по какой-то другой причине Вы делаете ошибку, на которую Вам прямо указали и за которую должно быть стыдно любому школьнику. Советую Вам не возобновлять здесь своих рассуждений о теореме Ферма до тех пор, пока не осознаете этой ошибки. Успехов.

[PAV]

ljubarcev,

объясняю еще раз. Делая свою замену $a=dx$, $b=dy$, Вы получаете не все множество пар $(a,b)$, а только такие пары чисел, которые имеют общий делитель. Для них утверждение верно. Но кроме них есть и другие пары, в которых числа взаимно простые. Их Вы не рассмотрели. Пример, на который Вам все уже утомились указывать, $5^2=3^2+4^2$, как раз этот случай и демонстрирует.

Как справедливо отметили Алексей К. и TOTAL, это банальное невладение ремеслом проведения правильных логических рассуждений. Искренне советую Вам прислушаться к этим словам.

[Алексей К.]

ljubarcev писал(а):

Уважаемый Алексей К ! А Ферма и не утверждал, что числа $a;b;c$ должны быть взаимно простыми

Причём тут теорема Ферма???
Я не занимаюсь теоремой Ферма (кроме как, возможно, при перелётах длительностью более 6 часов).
Я писал о теореме некого Любарсева:

ljubarcev писал(а):

Уважаемый bot ! Давайте отвлечёмся от теоремы Ферма и рассмотрим ниже следующую теорему.
Теорема; число $z=\sqrt[n]{x^n+y^n}$ (1) при натуральных не нулевых взаимно простых $x;y$ не может быть дробным рациональным числом .

Опять махинации!

Добавлено спустя 37 минут 42 секунды:

Музыкальная пиеса, построенная в форме ABCBA, где A,B,C --- разные темы, называется рондо. А как бы вы, уважаемые сотемники, назвали пиесу, которую мы здесь так самозабвенно исполняем? Графически придумал --- её натуральное уравнение $k(s)=A+B\sin(C s)$ ---



--- а вот словами не получается.

[ljubarcev]

Алексей К. писал(а):

Музыкальная пиеса, построенная в форме ABCBA, где A,B,C --- разные темы, называется рондо. А как бы вы, уважаемые сотемники, назвали пиесу, которую мы здесь так самозабвенно исполняем? Графически придумал --- её натуральное уравнение $k(s)=A+B\sin(C s)$ ---

--- а вот словами не получается.

Уважаемый Алексей К.! Не получается и не надо!
"Отличительная черта матеметики - возможность оперироватьобъектами, не определяя их"
М.Кац, С Улам, "Математика и логика", Издательство "МИР", Москва, 1971 г., стр.12.
Дед.

[PAV]

Алексей К. и ljubarcev,
давайте вернемся к обсуждаемому вопросу.


ljubarcev,
все-таки хотелось бы услышать Вашу реакцию на многочисленные и разнообразные объяснения Вашей ошибки

[ljubarcev]

PAV писал(а):

Алексей К. и ljubarcev,
давайте вернемся к обсуждаемому вопросу.

ljubarcev,
все-таки хотелось бы услышать Вашу реакцию на многочисленные и разнообразные объяснения Вашей ошибки

Уважаемые Господа ! Ответ на «главный», как указывал PAV, вопрос - откуда берётся и куда девать $5=\sqrt{3^2+4^2}$ и почему нет решений при остальных $n$ дан мною ещё на стр. 11 (21.11. 2007 г.) . Но этот пост все обошли стороной ( «замолчали» и «заболтали»).
В «последнем» утверждении П. Ферма речь идёт о ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ натуральных чисел при целых $n=1;2;3… $ - то есть равенствах вида $z=x+y$; $z=x^2+y^2$; $z=x^3+y^3$; и т.д.
Рассмотрим равенство $N=z^n=x^n+y^n$ в натуральных числах при $n=1$, то есть равенство вида $z=x+y$. Ясно, что оно имеет решения в натуральных числах при любом $N=z>1$, в том числе и при $N=z^n$ при любых натуральных $z;n$.
Применим известное построение Евклида, справедливое для любых отрезков. Построим «большой» квадрат со стороной $z=x+y$, являющейся суммой двух целочисленных отрезков $x$ и $y$. Точки соединения отрезков $x$ и $y$ прилежащих сторон соединим между собой. Внутри «большого» квадрата получится «малый» квадрат. Это будет именно квадрат, так как у этой фигуры по построению все стороны равны и углы прямые. Из построения видно, что площадь «большого» квадрата состоит из площади четырех прямоугольных треугольников с катетами x, y и малого квадрата со стороной $s_1$, то есть всегда имеет место равенство $(x+ y)2 = 4xy/2+s_1^2$, откуда получаем, что должно иметь место равенство $x2+y2=s_1^2$. (2). Это одно из доказательств теоремы Пифагора. В обществе пифагорейцев было 600 человек, а принимали в него каждого, представившего своё оригинальное доказательство теоремы. Где остальные 599 доказательств ?
Докажем, что в этом случае решения в целых числах есть, хотя это давно известно. Но я позволю себе привести доказательство, до которого додумался сам.
Очевидно, что равенство $z=x+y$ (1) разрешимо в натуральных числах при любом $z>1$. Естественно, оно разрешимо и при любом $z$, являющемся числом в любой целой положительной степени $k$. Рассмотрим равенство (1), когда $z=a^2$; $x=b$; $y=b$, где $a$ не чётное натуральное число. При этом числа $c;b$ будут различной чётности. Для определённости положим $c>b$. Домножим равенство (1) на не чётное число $c-b$ и получим $(c-b)a^2=c^2-b^2$. Ясно что если взять пару соседних чисел, то есть $c-b=1$, а таковые при $a$ не чётном всегда есть, получим решение уравнения $a^2=c^2-b^2$.
Пример. Возьмём квадрат минимального нечётного большего 1 числа 3 и получим $3^2=9=5+4$ и $3^2=5^2-4^2$, то есть пресловутое $z=5=\sqrt{3^2+4^2$. Обращаю Ваше внимание на то, что этот результат получается при $n=1$, и поэтому к утверждению Ферма никакого отношения не имеет !
Теперь рассмотрим утверждение П.Ферма при $n=2$, то есть представление натурального числа в виде $N=z=x^2+y^2$, где $z$ - любое натуральное число, представимое в виде суммы двух квадратов. Выполним такое же построение Евклида для этого случая, то есть положим, что длины отрезков сторон «большого» квадрата являются числами- квадратами $x=a^2$, $y=b^2$. Тогда должно быть $(a^2+b^2)^2=4a^2b^2/2+s_2^2$ и $a^4+b^4=s_2^2$.
Последнее равенство в целых числах решений не имеет. Это доказал сам П.Ферма и есть аналитические доказательства этого у Г.Эдвардса и М.М. Постникова. Следовательно, число $s_2^2$ - целое, а $s_2=\sqrt{a^4+b^4}$ является квадратичной иррациональностью.
Теперь рассмотрим утверждение Ферма при $n=3;4;5;…$ и т.д., то есть представление любого натурального числа в виде $N=z=a^3+b^3$; $N=z=a^4+b^4$; $N=z=a^5+b^5$ и т.д. Выполнив для каждого из этих случаев такие же построения Евклида, получим, что в целых числах должны существовать равенства: $a^6+b^6=s_3^2$; $a^8+b^8=s_4^2$; $a^10+b^10=s_5^2$ и т.д. Но эти равенства не имеют решений в целых числах. Это давно доказано - на это указывают и Г. Эдвардс и М.М. Постников. Так что Ферма был прав.
Дед.

[PAV]

PAV писал(а):

ljubarcev,
все-таки хотелось бы услышать Вашу реакцию на многочисленные и разнообразные объяснения Вашей ошибки

Вы не дали ответ на поставленный вопрос, который касался не каких-то там старых Ваших рассуждений, а того конкретного короткого рассуждения, которое мы тут обсуждали, где нет никаких построений Евклида, квадратов и теорем Пифагора, а есть Ваше заявление о том, что для любого натурального $c$ имеет место неравенство $c^n\ne a^n+b^n$. Хватит юлить, изворачиваться и забалтывать окружающих. Отвечайте за свои заявления.

[Алексей К.]

ljubarcev писал(а):

Уважаемые Господа ! Ответ на «главный», как указывал PAV, вопрос - откуда берётся и куда девать $5=\sqrt{3^2+4^2}$ и почему нет решений при остальных $n$ дан мною ещё на стр. 11 (21.11. 2007 г.) . Но этот пост все обошли стороной ( «замолчали» и «заболтали»).

Вообще-то "главный вопрос" у каждого участника может быть свой. И Ваш главный вопрос не все разделяют. И то, что люди в обсуждении Вашей темы решают совсем другие главные вопросы, не является нарушением не только правил форума, но и даже каких-либо совсем тонких этических норм. (Ну я, может, где-то перескочил слегка за тонкую норму, а многие держатся).

Могу Вас самоуверенно заверить, не спрашивая у других, что большинство участников не ставят целью опровергнуть очередное доказательство теоремы Ферма. Для этого достаточно его прочитать, хватает обычно первого абзаца.

Полагаю, многие в той или иной мере --- преподаватели. И тех, кто долго в этом участвует, мучает один вопрос: моих учительских способностей не хватило, чтобы убедить этого человека. Как же ещё попытаться ему это объяснить???

Эта проблема более остро стоит с детьми. Например, рассказ про отрицательные числа иногда вызывает у ребёнка истерику ("не бывает -5 яблок!!!"), и надо найти средства её купировать. И всегда хочется показать начинающему --- школьнику, студенту, что математика --- интересное дело. Так что для некоторых форум --- просто тренировочный полигон. Два зайца убиваются --- и человеку помог и решил профессиональную задачку --- "как объяснить?".

И вот Вы думаете, что люди занимаются Вашими доказательствами, а они занимаются совсем другим "главным вопросом"...

[ljubarcev]

PAV писал(а):

Я же отмечал, что товарищ не понимает разницы между формулой и утверждением.
Он пытается использовать неверное утверждение:
"Для любого $c$ и любых $a,b$ верно неравенство $c^n\ne a^n+b^n$",
которое не следует из того, что было написано им ранее

(хотя формула $c^n\ne a^n+b^n$ выведена правильно)

Уважаемый PAV ! Вы согласились, что «формула $c^n\ne {a^n+b^n}$ выведена верно». Вы утверждаете, что это верно не для всех пар $a;b$. А это и не надо. Вы при этом упускаете из виду, что на самом деле (исходное предположение) мы доказываем, что $z^n\ne {x^n+y^n)$ при натуральных взаимно простых $z;y;x$. А вот для любой пары $y;x$ утверждение верно. Так как Вы не согласны с моим заявлениями, что любая формула, является утверждением, записанным на языке алгебры: при верной формуле – верным, при не верной формуле – неверным, и что множество натуральных чисел является частью множества рациональных чисел, каждого из которых (я в этом убежден) достаточно для вывода - Ферма был прав. Исходя из этого, я посчитал бесперспективным дальнейшие споры по поводу моего $c^n\ne {a^n+b^n}$ - ведь «в споре побеждает не тот кто прав, а тот кто лучше умеет споить» и привёл новое доказательство утверждения Ферма о ПРЕДСТАВЛЕНИИ чисел $z^n$ в виде $x^n+y^n$ , никак не опирающееся на обсуждаемое $c^n\ne {a^n+b^n}$. Пока что этого никто не понял и замечаний нет.
Дед.

[PAV]

ljubarcev,
позволю себе дать небольшой совет, не совсем по теме. Если хотите, чтобы у собеседников не пропадало желание с Вами общаться, научитесь признавать свои ошибки. А то действительно, как верно заметил Алексей К., стараешься по-всякому объяснить Вам, из-за чего у Вас получается то, что явно противоречит здравому смыслу, чтобы Вы же в дальнейшем таких глупых ошибок не делали - а в ответ получаешь лишь намек на то, что правы Вы, а у других лишь язык хорошо подвешен, и предложение перейти к рассмотрению очередного Вашего "творения". Ну, допустим, найду я и там явные ошибки, буду в очередной раз тратить время и нервы на то, чтобы попытаться до Вас их донести, чтобы в итоге еще раз закончить чем-то подобным? Нет уж, увольте, Ваш стиль ведения дискуссии не мотивирует меня на продолжение разговора. Тратить время хочется на таких людей, которые хотя бы ценят это. Всего хорошего.

[ljubarcev]

Уважаемые господа ! PAV верно указывал, что для полного доказательства должно быть рассмотрены все тройки чисел из множества натуральных чисел.
1. Думаю, что все согласны с тем, что, когда мы переходим к утверждению: равенство $z^n=x^n+y^n$ (1) при взаимно простых $z;y;x$, исключая тем самым из дальнейшего рассмотрения все тройки не взаимно простых чисел, это правомерно.
2. При больших $n$ из (1) следует, что верно: $z^2>x^2+y^2$; $z^4>x^4+y^4$; $z^6>x^6+y^6$ и т.д., то есть любая пара чисел $y;x$, удовлетворяющая равенству (1) не удовлетворяет условию существованию прямоугольного треугольника.
В то же время из построения Евклида (в целых числах) следует, что пара чисел $y;x$ , удовлетворяющая равенству (1) ДОЛЖНА удовлетворять условию $(x^n)^2+(y^n)^2=s_n^2$, то есть условию существования целочисленного прямоугольного треугольника.
Приведенное противоречие доказывает, что нет пары взаимно простых чисел $y;x$, удовлетворяющих равенству (1).
Дед.

[Алексей К.]

ljubarcev писал(а):

1. Думаю, что все согласны с тем, что, когда мы переходим к утверждению: равенство $z^n=x^n+y^n$ (1) при взаимно простых $z;y;x$, исключая тем самым из дальнейшего рассмотрения все тройки не взаимно простых чисел, это правомерно.

Написано русскими буквами по не русской грамматике.

Попробую упростить и разобрать:

(1 этап)
когда мы переходим к утверждению: равенство $z^n=x^n+y^n$ (1) при взаимно простых $z;y;x$, исключая тем самым из дальнейшего рассмотрения все тройки не взаимно простых чисел, это правомерно.

(2 этап, удаляем уточняющий текст)
когда мы переходим к утверждению: равенство $z^n=x^n+y^n$ (1) при взаимно простых $z;y;x$,..., это правомерно.

(3 этап, попытка выделить утверждение)
...: равенство $z^n=x^n+y^n$ (1) при взаимно простых $z;y;x$,..., это правомерно.

--- или так?
...: равенство $z^n=x^n+y^n$ (1) при взаимно простых $z;y;x$ выполнено

--- или так?
...: равенство $z^n=x^n+y^n$ (1) при взаимно простых $z;y;x$ не выполнено

--- или так?
правомерен переход от какого-то неназванного утверждения к равенству $z^n=x^n+y^n$ (1) при взаимно простых $z;y;x$

Вроде, когда автор про НЕматематику пишет, то русским владеет, а здесь...