PAV писал(а):
.
Еще раз повторяю на всякий случай: целые числа включаются в множество рациональных. Хотя бы потому, что рациональные числа должны быть замкнуты относительно алгебраических операций (они образуют поле), а если целые из них исключить, то получится, что сумма рациональных чисел сама может не быть рациональным числом.
Уважаемый PAV ! Благодарю за быстрый и четкий ответ и особенно за приведенное его обоснование.
Добавлено спустя 39 минут 8 секунд:О "последнем" утверждении П.ФермаPAV писал(а):
ljubarcev писал(а):
Верность моего простого доказательства иррациональности числа

... никто не отрицал
Вы не доказали, что оно иррациональное. Вы доказали, что оно либо иррациональное, либо целое.
Прошу прощения за нахальство, но с последней трактовкой упоминаемого доказательства я не могу согласиться. Я не доказывал и не утверждаю, что число
![$z=\sqrt[n]{x^n+y^n}$ $z=\sqrt[n]{x^n+y^n}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/c/f6c7ec6ef5fcfceb2d82f3f693a6418282.png)
иррациональное или целое и в этом нет необходимости. Я доказал отрицательное утверждение (и это неоспоримо), что указанное число не может быть рациональным.
Посмотрите , пожалуйста ещё раз, что из этого следует.
Теорема: Целое число в не чётной степени

не может быть представлено в виде суммы двух целых чисел, каждое из которых является числом в той же степени.
Предположим обратное – равенство

(1) в целых не нулевых числах существует. Из этого равенства находим, что должно быть
![$z=\sqrt[n]{x^n+y^n}$ $z=\sqrt[n]{x^n+y^n}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/c/f6c7ec6ef5fcfceb2d82f3f693a6418282.png)
(2).
Докажем, что число
![$z=\sqrt[n]{x^n+y^n}$ $z=\sqrt[n]{x^n+y^n}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/c/f6c7ec6ef5fcfceb2d82f3f693a6418282.png)
при целых взаимно простых

и не чётном

не может быть рациональным числом. Метод доказательства – «от противного». Допустим, что

рационально, то есть

, где

целые взаимно простые числа. После подстановки в (2) и возведения в

степень получим:

. В последнем равенстве число справа – целое, а число слева целым быть не может и равенство в этом случае не возможно. чтд.
Таким образом доказано

. Из этого следует

. Введём новые обозначения

;

. Естественно, числа

и

будут целыми.
После подстановки получим

, из которого очевидно (оно так и читается): никакое целое число

в не чётной степени

не может быть представлено суммой двух целых чисел в той же степени каждое. ЧТД.
Дед.