Теория поля

[Red_Herring]

Munin
Оно смещается в никуда. Аналог: на прямой лежит точка. Никаких сил нет: безразличное положение равнвесия. На нее подействовали очень малым полем. Конец! Никаких равновесий нет.

А та "прямая" в исходной задаче—это все "чисто калибровочные" поля. Потому что квадратичная часть функционала вырождена (и "чисто калибровочные" поля и есть ее "нуль-пространство")

[Munin]

Red_Herring в сообщении #884246 писал(а):

Да, в таком случае Alex-Yu прав: заметим, что $F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$ зануляет $\mathbf{A}$ с $A_\mu = \partial_\mu \phi$, т.е. квадратичная форма жутко вырождена. Поэтому если линейная часть функционала не зануляет тех же самых $\mathbf{A}$, то увы и ах—экстремалей нет.

А вот это можно показать на какой-нибудь конечномерной аналогии?

Red_Herring в сообщении #884246 писал(а):

при всем уважении к Шварцшильду можно, например, дополнительно потребовать чтобы $\partial_\nu A^\nu=0$, что не изменит $F_{\mu\nu}$. Тогда экстремали будут существовать всегда, но уравнения изменятся; именно, вместо $j^\mu$ в уравнении выскочат $J^\mu=j^\mu -\partial_\mu \phi$, удовлетворяющие уравнению неразрывности.

Вот это интересно, можно подробнее выкладку увидеть?

Red_Herring в сообщении #884246 писал(а):

Я намеренно рассматривал Евклидов, а не Лоренцев метрический тензор

...как-то не заметил, если честно, где это у вас вообще сыграло...

Red_Herring в сообщении #884246 писал(а):

но с последним будет аналогично.

...но вообще говоря, это не всегда так.

Red_Herring в сообщении #884246 писал(а):

И я использую нотацию Эйнштейна.

А это все её здесь. Общепринято. Также (почти) общепринято рисовать 3-векторы болдом, так что 4-вектор $v^\mu=(v^0,\mathbf{v})$ (так, например, в Ландау-Лифшице). Вот если вы болд использовали в другом смысле, это да, может сбивать с толку.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #884248 писал(а):

куда девается экстремум действия при малых шевелениях тока, нарушающих сохранение тока?

Ну дык линейный функционал же получается! На чистых калибровках. Не бывает экстремумов у линейных функционалов!

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #884251 писал(а):

Ну в квантовом случае да еще для неабелевых полей... Но это вообще другая наука.

Вообще-то как раз та самая, для которой всякая возня с калибровками и законами сохранения как раз и становится критична.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #884248 писал(а):

Я могу представить себе такие несохраняющие ток поля:
- массивное;
- неабелево;

Неабелевы поля не сохраняют ток??? А Вы ничего не путаете? Конечно если калибровочная симметрия не нарушена.

Ну а приписать массовый член не сложно. И устроить все ту же вариацию поля в виде 4-градиента.

[ivvan]

Понял, здесь ток известен во всем пространстве-времени.

Munin в сообщении #884245 писал(а):

В 4-мерном пространстве 4-поверхностей нет, есть только 3-, 2- и 1-поверхности

Да, я имел в виду гиперповерхность в пространстве-времени. Теперь не могу найти, где мог увидеть эти выражения.

[Red_Herring]

Alex-Yu в сообщении #884251 писал(а):

Математик, да? Ну дык физика --- не математика.
P.S. Я ничего не имею против математиков. Вполне уважаемые люди. Но в физике часто бесполезные а иногда даже вредные.
P.P.S. В физике нет принципа экстремальности действия, есть принцип стационарности действия. Так что вырожденность функционала --- по барабану.

Разумеется, физика и математика—разные науки. Но если можно прийти к тем же выводам строго, то почему бы нет? О том что есть принцип стационарности действия мне известно. Но термин экстремали по инерции применяется и здесь. И в математике тому куча примеров.

Вырожденность квадратичной части функционала отнюдь не по баранану, посколько именно она и приводит к необходимости условий неразрывности.

[Alex-Yu]

Red_Herring в сообщении #884262 писал(а):

тем же выводам строго, то почему бы нет?

Математическая строгость не означает физической правильности. Так что поиграть можно, но пользы никакой.

-- Вс июл 06, 2014 00:19:01 --

Red_Herring в сообщении #884262 писал(а):

Вырожденность квадратичной части функционала отнюдь не по баранану, посколько именно она и приводит к необходимости условий неразрывности.

С точки зрения процесса получения уравнений поля (Л.-Э.) --- по барабану. С точки зрения что получится --- нет конечно. Но вопрос-то был не в этом.

-- Вс июл 06, 2014 00:24:00 --

Red_Herring в сообщении #884253 писал(а):

"чисто калибровочные" поля

Именно "поля в виде чистой калибровки"! А чисто калибровочные поля тоже есть, но это совсем другое. Вот любое (!) ЭМ поле при условии что никаких токов нет --- это чисто калибровочное поле. Есть и другие чисто калибровочные поля. Ну вот такая терминология принята...

[svv]

Хоть меня и опередили (Alex-Yu), но раз обещал...
Добавим к потенциалу «калибровочную» добавку $\partial_{\mu}\lambda$. Действие при этом получит добавку $-\int j^{\mu}\;\partial_{\mu}\lambda\; d\Omega$, или
$-\int j^{\mu}\lambda\; dS_{\mu}+\int \lambda\;\partial_{\mu}j^{\mu}\; d\Omega$
Мы требуем, чтобы вариация действия обращалась в нуль при любых вариациях потенциала, в том числе соответствующих такой добавке. Первый интеграл берется по гиперповерхности, которая является границей области. Вариации здесь обращаются в нуль. Чтобы и второй интеграл при любых вариациях обращался в нуль, должно выполняться $\partial_{\mu}j^{\mu}=0$. Таким образом, чтобы получить сохранение тока, необязательно сначала выводить уравнение $\partial_k F^{ik}=-4\pi j^i$

[Sicker]

(Оффтоп)

а чем стационарность отличается от экстремальности? Я так понял, что стационарность-равенство нулю первой вариации, а разве это не эквивалентно экстремальности?

[Munin]

Red_Herring в сообщении #884253 писал(а):

Оно смещается в никуда. Аналог: на прямой лежит точка. Никаких сил нет: безразличное положение равнвесия. На нее подействовали очень малым полем. Конец! Никаких равновесий нет.

Хорошо. Вам в явном виде написать?

Массивное поле:
$S=\int\left(-\tfrac{1}{c^2}A_\mu j^\mu-\tfrac{1}{16\pi c}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\tfrac{m^2}{8\pi c}A_{\mu}A^{\mu}\right)d^4x.$

С неабелевым я поторопился, снимаю пример.

Кстати, в вашем примере - как раз видно ("физически на пальцах"), куда девается положение равновесия: скатывается на бесконечность в ту сторону, куда направлено малое поле.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #884254 писал(а):

Red_Herring в сообщении #884246
писал(а):
при всем уважении к Шварцшильду можно, например, дополнительно потребовать чтобы $\partial_\nu A^\nu=0$, что не изменит $F_{\mu\nu}$. Тогда экстремали будут существовать всегда, но уравнения изменятся; именно, вместо $j^\mu$ в уравнении выскочат $J^\mu=j^\mu -\partial_\mu \phi$, удовлетворяющие уравнению неразрывности.
Вот это интересно, можно подробнее выкладку увидеть?

Нельзя. Потому что так не получится Такое получится, дай бог памяти, если ввести скалярное поле взаимодействующее с ЭМ полем и нарушающее калибровочную симметрию за счет возникновения конденсата. Хотя может что-то путаю. Получал я такой закон сохранения, точно получал, но уж очень давно, не помню деталей... Впрочем, $-\partial_{\mu}\phi$ это просто ток скалярного поля. Так что сохраняется суммарный ток: внешний плюс этот. Что-то такое вроде... Там еще какая-то аналогия со сверхпроводимостью была... Нет, не помню толком

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #884259 писал(а):

Неабелевы поля не сохраняют ток??? А Вы ничего не путаете?

Путаю, как выяснилось. Впрочем, я могу найти соответствующее место в Коноплёвой-Попове, но думаю, что дело в том, как определять ток: в него за счёт "длинной" производной входит само калибровочное поле, или нет. Тот ток, который написан в Рубакове (для скалярного поля, например, $-i(\varphi^* D_\mu\varphi-(D_\mu\varphi^*)\varphi)$), - сохраняется.

[Alex-Yu]

Sicker в сообщении #884267 писал(а):

а чем стационарность отличается от экстремальности?

Представьте себе график функции двух координат $f(x,y)=(10 - \sqrt{x^2+y^2})^2$. У него есть круговой "желоб" при $x^2+y^2=100$, но не минимум (экстремум). Стационарность (в желобе) есть, любая производная ноль, а минимума --- нет.

[Munin]

ivvan в сообщении #884261 писал(а):

Понял, здесь ток известен во всем пространстве-времени.

Ну да, потому что ставится вариационная задача только для поля.

Alex-Yu
Red_Herring
Вам совсем не к лицу ссориться без повода. Вы бы намного продуктивней просто договорились о терминах.

Sicker в сообщении #884267 писал(а):

а чем стационарность отличается от экстремальности? Я так понял, что стационарность-равенство нулю первой вариации, а разве это не эквивалентно экстремальности?

Это мелочь. Если брать условие "у функции производная равна нулю, $df=0$", то ему отвечают не только максимум, и не только минимум (вместе называемые экстремумами), но и другие стационарные точки, например, $0$ для функции $f=x^3,$ (здесь это точка перегиба) или любая точка для $f=0$ (здесь это точка безразличного равновесия). Являются ли стационарные точки функционала действительно экстремалями, и при этом максимумами или минимумами, - отдельный вопрос, и он иногда интересен, но только чтобы позабавиться. В качестве определения и условия для "принципа наименьшего действия" используется всегда только $\delta S=0$ - условие стационарности.

Даже для квантования интегралом по траекториям это всё неинтересно (хотя я и не понимаю, почему).