Теория поля

[Red_Herring]

Alex-Yu в сообщении #884201 писал(а):

На вариационном языке это значит отсутствие экстремума действия, его просто нет при несохраняющемся токе.

А вот это не обязательно верно. Просто то $\mathbf{J}$, что выскочит в уравнении будет отлично от того $\mathbf{j}$, которое было в функционале действия, и это $\mathbf{J}$ будет удовлетворять. Как раз в силу

svv в сообщении #883737 писал(а):

Случается, что рассматриваются вариации, удовлетворяющие некоторым условиям.

Пока не написан функционал действия и не указано, какие поля допустимы (и следовательно, какие их вариации допустимы) все это шаманизм.

[Alex-Yu]

Red_Herring в сообщении #884209 писал(а):

Просто то $\mathbf{J}$, что выскочит в уравнении будет отлично от того $\mathbf{j}$, которое было в функционале действия, и это $\mathbf{J}$ будет удовлетворять.

Так не бывает. Мы варьируем поле ПРИ ЗАДАННОМ ТОКЕ. Уж какой ток задали, такой и будет. Что в лагранжиане, что в уравнениях. Задали "неправильный" (несохраняющийся) --- получите отсутствие экстремума: вариация не равна нулю как ни "загибай поле" (при таком токе). Естественно, имеется в виду что не равна нулю для всех вариаций поля, нет такой конфигурации поля, чтобы вариация действия была равна нулю для всех вариаций этого поля.

[Sicker]

те уравнения Эйлера-Лагранжа просто не будут иметь решения?

[Alex-Yu]

Sicker в сообщении #884220 писал(а):

те уравнения Эйлера-Лагранжа просто не будут иметь решения?

Да.

[Red_Herring]

Alex-Yu в сообщении #884216 писал(а):

Так не бывает

Давайте не заниматься риторикой. Вы выписывыаете Лагранжиан и условия на поле, я вывожу уравнения Э-Л. Честно?

Дело в том, что промежуточный результат выглядит так:

$$ \int \Phi (x) \delta A(x)\,dx =0\qquad \text{для всех допустимых\ \ } \delta A. $$

Если допустимы любые $\delta A$, то $\Phi=0$. Если только $\nabla \cdot \deta A=0$ то мы заключаем, что $\Phi =\nabla \phi$ с неизвестной $\phi$, и т.д.

[Alex-Yu]

Red_Herring в сообщении #884225 писал(а):

Если допустимы любые $\delta A$, то $\Phi=0$. Если только $\nabla \cdot \deta A=0$ то

В принципе наименьшего действия ограничений на допустимые вариации нет. А если есть --- то метод множителей Лагранжа Вам в руки. Но к обсуждаемому вопросу последнее не относится.

-- Сб июл 05, 2014 22:56:47 --

Red_Herring в сообщении #884225 писал(а):

Вы выписывыаете Лагранжиан и условия на поле, я вывожу уравнения Э-Л. Честно?

Это что еще за белиберда? Уравнения поля и получаются как условие экстремальности действия. Уравнения Л.-Э. и уравнения поля это просто одно и то же. Никаких отдельных условий на поле нет.

На этом все. Дискуссия окончена. Не вижу необхоимости что-то еще говорить. Все ясно, яснее некуда. Дальше без меня. Если вдруг кому-то нужно дальше

[Munin]

Red_Herring в сообщении #884209 писал(а):

Пока не написан функционал действия и не указано, какие поля допустимы (и следовательно, какие их вариации допустимы) все это шаманизм.

Ну, функционал-то написан, ещё в 1903 году тем самым Шварцшильдом. (Nota bene, до появления специальной теории относительности.) Не думаю, что кто-то будет оспаривать, что $S=\int\left(-\tfrac{1}{c^2}A_\mu j^\mu-\tfrac{1}{16\pi c}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\right)d^4x.$

-- 05.07.2014 20:07:01 --

Alex-Yu в сообщении #884205 писал(а):

ИМХО с учетом последней фразы, что я только что добавил, это всеже ответ как раз на тот вопрос.

Ну, во-первых, этой фразы не было, во-вторых, она пока ещё слишком конспективна.

[ivvan]

Можно задать на 4-поверхности не непрерывное ($\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla j=0$) поле 4-тока? (спрашиваю, потому что не понимаю дискуссию)

[Sicker]

зачем?

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #884232 писал(а):

Ну, функционал-то написан, ещё в 1903 году тем самым Шварцшильдом. (Nota bene, до появления специальной теории относительности.) Не думаю, что кто-то будет оспаривать, что $S=\int\left(-\tfrac{1}{c^2}A_\mu j^\mu-\tfrac{1}{16\pi c}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\right)d^4x.$

Кстати. Вот же неймется мне, вроде уже и попрощался Возьмем этот лагранжиан и устроим вариацию поля в виде, как говорят, "чистой калибровки". Т.е. $\delta A_{\mu}=\partial_{\mu}\chi\,$. Второе слагаемое калибровочно инвариантно, поэтому его вариация при ТАКОЙ вариации поля равна нулю. Следовательно $\int j^{\mu}\partial_{\mu}\chi d^4x$ должно равняться нулю при любых $\chi$. Действие же должно быть стационарно (на уравнениях движения) ПРИ ЛЮБЫХ вариациях поля. В том числе и при вариациях поля в виде чистой калибровки. Отсюда сразу получается сохранение тока, только по частям проинтегрировать.

[Munin]

ivvan в сообщении #884237 писал(а):

Можно задать на 4-поверхности

В 4-мерном пространстве 4-поверхностей нет, есть только 3-, 2- и 1-поверхности (1-поверхности - это линии). А 4- - только области.

[Red_Herring]

Alex-Yu в сообщении #884228 писал(а):

В принципе наименьшего действия ограничений на допустимые вариации нет. А если есть --- то метод множителей Лагранжа Вам в руки.

Напрасно Вы думаете, что метод множителей Лагранжа абсолютно универсален. В частности, он не работает, например, для ограничений того вида, который я написал. Я понимаю, что посягнул на святое, но увы

Munin в сообщении #884232 писал(а):

что $S=\int\left(-\tfrac{1}{c^2}A_\mu j^\mu-\tfrac{1}{16\pi c}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\right)d^4x.$

Да, в таком случае Alex-Yu прав: заметим, что $F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$ зануляет $\mathbf{A}$ с $A_\mu = \partial_\mu \phi$, т.е. квадратичная форма жутко вырождена. Поэтому если линейная часть функционала не зануляет тех же самых $\mathbf{A}$, то увы и ах—экстремалей нет. А последнее условие и означает $\partial_\mu j^\mu=0$.

Что касается "оспаривать", то пока мы не лезем в КМ где появляется Ахаронов-Бом, то $\mathbf{A}$ штука не наблюдаемая (вот $\mathbf{E}$ и $\mathbf{H}$ они да) и при всем уважении к Шварцшильду можно, например, дополнительно потребовать чтобы $\partial_\nu A^\nu=0$, что не изменит $F_{\mu\nu}$. Тогда экстремали будут существовать всегда, но уравнения изменятся; именно, вместо $j^\mu$ в уравнении выскочат $J^\mu=j^\mu -\partial_\mu \phi$, удовлетворяющие уравнению неразрывности. И тогда $\mathbf{J}$ и следует называть током.

Я намеренно рассматривал Евклидов, а не Лоренцев метрический тензор, но с последним будет аналогично. И я использую нотацию Эйнштейна.

PS. С вариационными рассуждениями гусарство чревато.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #884243 писал(а):

Следовательно $\delta\int j^{\mu}\partial_{\mu}\chi d^4x$ должно равняться нулю при любых $\chi$. Действие же должно быть стационарно (на уравнениях движения) ПРИ ЛЮБЫХ вариациях поля.

Да, логично. Это отвечает на вопрос, в таком виде:
Ток сохраняется в заданных условиях $\Leftrightarrow$ вариационная задача имеет решение.

Теперь у меня такой, "неформальный" вопрос: куда девается экстремум действия при малых шевелениях тока, нарушающих сохранение тока?

Я могу представить себе такие несохраняющие ток поля:
- массивное;
- неабелево;
и устремить их отличия от электродинамики к нулю. В таких полях, как я понимаю, экстремум действия на месте. Но при малых шевелениях тока куда-то смещается. Вопрос, куда, и вопрос, куда это "куда" переходит в пределе.

[Red_Herring]

Alex-Yu в сообщении #884243 писал(а):

Кстати. Вот же неймется мне, вроде уже и попрощался Возьмем этот лагранжиан и устроим вариацию поля в виде, как говорят, "чистой калибровки". Т.е. $\delta A_{\mu}=\partial_{\mu}\chi\,$. Второе слагаемое калибровочно инвариантно, поэтому его вариация при ТАКОЙ вариации поля равна нулю. Следовательно $\int j^{\mu}\partial_{\mu}\chi d^4x$ должно равняться нулю при любых $\chi$. Действие же должно быть стационарно (на уравнениях движения) ПРИ ЛЮБЫХ вариациях поля. В том числе и при вариациях поля в виде чистой калибровки. Отсюда сразу получается сохранение тока, только по частям проинтегрировать.

Вот и я о том же. Просто я смотрю на более широкий класс вариационных задач (и некоторые из них вполне физичны, например у-я несжимаемой невязкой жидкости) —отсюда и оговорка "необязательно".

[Alex-Yu]

Red_Herring в сообщении #884249 писал(а):

Просто я смотрю на более широкий класс вариационных задач

Математик, да? Ну дык физика --- не математика.

P.S. Я ничего не имею против математиков. Вполне уважаемые люди. Но в физике часто бесполезные а иногда даже вредные.

P.P.S. В физике нет принципа экстремальности действия, есть принцип стационарности действия. Так что вырожденность функционала --- по барабану. Ну в квантовом случае да еще для неабелевых полей... Но это вообще другая наука.