Теория поля

[svv]

Sicker в сообщении #883642 писал(а):

нет, мы знаем распределение только если нам известно уравнение непрерывности

Мне кажется, лучше на это дело иначе смотреть. Нам ничего не известно и ничего не задано. Возьмем произвольное поле $j^i$ и произвольное поле $A_i$. Потребуем, чтобы вариация действия обращалась в нуль, это приводит к таким-то уравнениям. При этом токи мы сейчас не варьируем просто потому, что в этом месте мы вычисляем «частную вариацию», которую условно обозначу $\frac{\delta}{\delta A_i}$.

[Sicker]

а вдруг результат будет зависеть от изначального распределения токов?, там же потенциалы умножаются на токи и заряды

[svv]

Результат — это вариация действия? Она и зависит. Неизменно только то, что, независимо от токов и потенциалов, вариация обращается в нуль, если выполняются уравнения (которые таким способом и выводятся).

Когда мы находим вариацию, мы это делаем, никак не учитывая, что она на самом деле равна нулю. На этом этапе токи не только не обязаны удовлетворять уравнению непрерывности, они даже не обязаны быть как-то связаны с потенциалами. Поэтому найденная вариация действия зависит от токов и, так как они на данном этапе произвольны, не равна нулю.

После этого некий голос говорит: «знайте, что при любых вариациях тока и потенциала первая вариация действия равна нулю, ибо таков закон природы». Из этого немедленно следуют уравнения поля и т.д. Уравнения эти таковы, чтобы несмотря ни на какие вариации независимых величин, обнулить вариацию действия.

[Munin]

Sicker в сообщении #883620 писал(а):

а в википедии в конце формула правильная где лагранжев формализм?

Забейте на Википедию.

Ваши книги:
Ландау, Лифшиц. Теория поля.
Медведев. Начала теоретической физики.
Рубаков. Классические калибровочные поля.
Физическая Энциклопедия.

-- 03.07.2014 22:27:53 --

svv
Проблема в том, что если мы зададим токи, не удовлетворяющие уравнению непрерывности, то после варьирования получим уравнения Максвелла, из которых следует уравнение непрерывности. Я не знаю, как здесь правильно разобраться, нужны теоретики, я думал, они подойдут.

[svv]

Я не вижу проблемы. Наоборот, это профит вариационного подхода в чистом виде. Мы начинаем с широкого множества полей (декартово произведение множества различных полей токов на множество различных полей потенциалов), от которых изначально требуется немногое (гладкость, например). Уравнениям, которые будут получены позже, эти поля не обязаны удовлетворять. Требование $\delta S=0$ выделяет в исходном множестве полей узкое подмножество, обладающее специальными свойствами, которые мы не должны предполагать заранее.

Чтобы не быть неверно понятым: я вовсе не утверждаю, что варьируется что угодно и как угодно. Случается, что рассматриваются вариации, удовлетворяющие некоторым условиям. Это в каждом случае специально оговаривается, причем даже в рамках одной теории возможны разные подходы. Но если какое-либо свойство, которым обладают поля из выделенного подмножества, получается автоматически при минимуме исходных предположений, зачем ограничивать себя заранее?

[Munin]

svv в сообщении #883737 писал(а):

Мы начинаем с широкого множества полей (декартово произведение множества различных полей токов на множество различных полей потенциалов), от которых изначально требуется немногое (гладкость, например). Уравнениям, которые будут получены позже, эти поля не обязаны удовлетворять.

Вопрос не в том, что мы начинаем с широкого множества полей. Вопрос в том, что здесь критике подвергаются не поля (которые мы желаем находить), а условия.

Причём нигде, ни в постановке вариационной задачи, ни в её решении, я наложения этих ограничений на условия в явном виде не вижу. А в итоге они вдруг появляются. Так всё-таки, где?

-- 03.07.2014 23:38:18 --

Поясню для сравнения на примере. Когда я решаю уравнения Максвелла при заданных начальных условиях, я знаю, что начальные условия, которые я готовлю, просто должны удовлетворять $\operatorname{div}\mathbf{E}=4\pi\rho$ и $\operatorname{div}\mathbf{B}=0,$ это мне чётко оговорено, это уравнения связи. Если я их нарушу, то задача будет математически некорректной.

А здесь где?

[type2b]

сохранение внешнего тока требуется для калибровочной инвариантности лагранжиана (следует из интегрирования по частям). Поэтому, если мы хотим, чтобы наш лагранжиан был фактически задан на пространстве полей по модулю калибровочной группы, то мы должны требовать сохранения внешних токов.

Если ток мы вставляем не руками, а он появляется из каких-то других полей, то он будет сохраняться только на уравнениях движения, но это все равно следует все из той же калибровочной инвариантности (по т. Нетер).

В отсутствие калибровочной инвариантности у нас будут проблемы, которые в конкретных ситуациях выглядят по-разному, но источник один: безмассовое векторное поле без калибровочной инвариантности -- это плохая теория. Например, если мы просто вставили внешний несохраняющийся ток, и решаем уравнения Максвелла, то очевидно имеем, что решения нет, т.е. действие при таком токе не имеет стационарных точек. Проблема. Или если мы добавим калибровочному полю массу, решим уравнения и подставим в действие, то увидим, что при $m\rightarrow 0$ члены взаимодействия идут к бесконечности, если ток не сохраняется. Проблема. И т.п.

[Munin]

Правильно ли я понимаю, что если мы возьмём руками несохраняющийся ток, вариационную задачу со стандартным лагранжианом, то мы её сможем решить, но решение для $A_\mu$ не будет калибровочно-инвариантным: при добавлении калибровки, экстремальность действия нарушится?

Будут ли какие-то "остатки" калибровочной инвариантности, в том смысле, что вообще вариационной задаче будут удовлетворять разные решения $A_\mu,$ только не связанные между собой калибровочным преобразованием? Как они тогда будут между собой связаны?

Я как-то попытался в этом разобраться, но ушёл в какую-то ерунду, типа продольных волн и бесконечной скорости распространения :-)

P. S. Мои вопросы - не о калибровочно-неинвариантных лагранжианах и теориях. Обычный $-\tfrac{1}{4}F_{\mu\nu}F_{\mu\nu}-ej_\mu A_\mu.$ Хотя интересно посмотреть также, что будет при добавлениях массы и неабелевости. Но это потом, после первой задачи.

P. P. S. Дочитал до конца сообщение type2b, увидел ответ на свой вопрос. Правда, всё равно хочется подробностей.

[Red_Herring]

(По поводу ссылочек)

svv в сообщении #883640 писал(а):

Читая любую статью в Вики, мы видим в колонке слева раздел Инструменты > Цитировать страницу. Надо войти в «Цитировать страницу» и скопировать постоянную ссылку, в данном случае http://ru.wikipedia.org/?oldid=62706194. Теперь надо состряпать такое:

[url=http://ru.wikipedia.org/?oldid=62706194]Лагранжева механика[/url]

Это даёт
Лагранжева механика
Плохо только, что ссылка именно постоянная, а не на последнюю версию страницы. Эту проблему я ещё не решил.

Данный форум требует, чтобы русский текст в ссылке был перекодирован с помощью urlencode. См напр
http://meyerweb.com/eric/tools/dencoder/

[Sicker]

те, если мы зададим несохраняющийся ток, то у нас потенциалы не будут удовлетворять калибровочной инвариантности?

[Munin]

1. Потенциалы не будут удовлетворять калибровочной инвариантности.
2. Вариационная задача вообще не будет решаться. Тут на эту тему svv написал в ЛС кое-что, и обещал выложить в тему.

[Sicker]

а по поводу второго пункта, то почему?-просто выписать уравнения Эйлера-Лагранжа не получится или что?

[Alex-Yu]

Sicker в сообщении #884179 писал(а):

те, если мы зададим несохраняющийся ток, то у нас потенциалы не будут удовлетворять калибровочной инвариантности?

Если мы зададим несохраняющийся ток, то у нас уравнения поля начнут противоречить одно другому. Соотвественно решения вообще не будет. Ну давайте на "школьном", трехмерном уровне. Вот есть уравнение Максвелла:

$$ {\rm rot} {\bf H}=\frac{\partial{\bf E}}{c \partial t} + \frac{4\pi}{c}{\bf j} $$

Берем от этого уравнения дивергенцию. Дивергенция ЛЮБОГО ротора равна нулю, не так ли? Тогда

$$ \frac{\partial {\rm div} {\bf E}}{\partial t} + 4\pi {\rm div} {\bf j}=0 $$

Есть еще одно уравнение поля:

$$ {\rm div} {\bf E}=4\pi \rho $$

Подставляем, получаем:

$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + {\rm div} {\bf j}=0 $$

Ток должен сохраняться В СИЛУ УРАВНЕНИЙ ПОЛЯ. Если не сохраняется (можно, конечно, руками подставить), то решений уравнений поля просто не может быть. На вариационном языке это значит отсутствие экстремума действия, его просто нет при несохраняющемся токе.

[Munin]

Операторы пишутся \operatorname{rot} , или на худой конец \mathrm{rot}\, .

Значки частных производных не забывайте :-)

И наконец, это всё ответ не на тот вопрос. Вопрос, который был задан в первом сообщении, относится к ситуации до появления уравнений поля.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #884203 писал(а):

Вопрос, который был задан в первом сообщении, относится к ситуации до появления уравнений поля.

ИМХО с учетом последней фразы, что я только что добавил, это всеже ответ как раз на тот вопрос.