Как упростить преподавание матанализа нематематикам?

[warlock66613]

mishafromusa в сообщении #876203 писал(а):

в получившемся определении требование $x \ne a$ можно отбросить.

Это как так? Если его отбросить, ерунда получится.

[mishafromusa]

warlock66613 в сообщении #876212 писал(а):

mishafromusa в сообщении #876203 писал(а):

в получившемся определении требование $x \ne a$ можно отбросить.

Это как так? Если его отбросить, ерунда получится.

Сначала посмотрите что получится, а потом говорите, что это ерунда.

[Munin]

mishafromusa в сообщении #876203 писал(а):

Распишите утверждение "предел функции в точке равен её значению в этой точке" в терминах эпсилонов и дельт. Теперь заметьте, что в получившемся определении требованое $x \ne a$ можно отбросить. Вот это и есть определение непрерывности в точке.

У вас всё равно с эпсилонами и дельтами получилось.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #876203 писал(а):

Ну так эту делимость и можно принять за определение дифференцируемости, так что вовсе не за уши.

Ну тогда мы возвращаемся к моему замечанию выше. Вы хотите дифференцируемость функции одной переменной определить с помощью делимости в кольце непрерывных функций от двух переменных. Я не считаю, что честный подход к этому будет проще.

Даже для многочленов факт "$p(x)-p(y)$ делится на $x-y$ в кольце $\mathbb R[x,y]$" требует некоторых усилий, потому что это либо теорема Безу с параметром, либо теорема Гильберта о нулях, которая, вообще говоря, неверна над $\mathbb R$.

А делимость в кольце непрерывных функций, да и само кольцо, устроены существенно сложнее. Например, если Вы попробуете доказать что-то типа "$|x|$ не является дифференцируемым" с помощью делимости, потребуется вся техника теории непрерывных функций, ограниченность на компакте и т. п.

Кроме того, довольно опасен обман в стиле "непрерывные функции ведут себя так же, как многочлены"; студенты могут этому случайно поверить.

[warlock66613]

mishafromusa в сообщении #876215 писал(а):

Сначала посмотрите что получится, а потом говорите, что это ерунда.

$(\forall \varepsilon > 0)(\exists x \ne x_0)(\left| f(x) - f(x_0) \right| < \varepsilon)$.
Если выкинуть отсюда $x \ne x_0$, получится верное, но абсолютно бессодержательное утверждение:
$(\forall \varepsilon > 0)(\exists x)(\left| f(x) - f(x_0) \right| < \varepsilon)$.

[mishafromusa]

warlock66613 в сообщении #876222 писал(а):

mishafromusa в сообщении #876215 писал(а):

Сначала посмотрите что получится, а потом говорите, что это ерунда.

$(\forall \varepsilon > 0)(\exists x \ne x_0)(\left| f(x) - f(x_0) \right| < \varepsilon)$.
Если выкинуть отсюда $x \ne x_0$, получится верное, но абсолютно бессодержательное утверждение:
$(\forall \varepsilon > 0)(\exists x)(\left| f(x) - f(x_0) \right| < \varepsilon)$.

Неверно, куда дельта потерялась? Посмотрите определение в учебнике, если не помните.

-- 16.06.2014, 15:58 --

Munin в сообщении #876217 писал(а):

У вас всё равно с эпсилонами и дельтами получилось.

Я не обещал без эпсилонов и дельт.

-- 16.06.2014, 15:59 --

g______d в сообщении #876218 писал(а):

Кроме того, довольно опасен обман в стиле "непрерывные функции ведут себя так же, как многочлены"; студенты могут этому случайно поверить.

Не непрепывные, а дифференцируемые, и это в определённом смысле так.

-- 16.06.2014, 16:05 --

g______d в сообщении #876218 писал(а):

Даже для многочленов факт "$p(x)-p(y)$ делится на $x-y$ в кольце $\mathbb R[x,y]$" требует некоторых усилий, потому что это либо теорема Безу с параметром, либо теорема Гильберта о нулях, которая, вообще говоря, неверна над $\mathbb R$.

Это элементарная алгебра на уровне деления многочлена с остатром, никакая высокая наука здесь не нужна.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #876231 писал(а):

Не непрепывные, а дифференцируемые, и это в определённом смысле так.

Бесконечно дифференцируемые.

mishafromusa в сообщении #876231 писал(а):

Это элементарная алгебра на уровне деления многочлена с остатром

Ваши ученики умеют делить многочлены от двух переменных с остатком?

[mishafromusa]

g______d в сообщении #876218 писал(а):

если Вы попробуете доказать что-то типа "$|x|$ не является дифференцируемым" с помощью делимости, потребуется вся техника теории непрерывных функций, ограниченность на компакте и т. п.

Чепуха, доказательство совершенно элементарно и не использует ничего кроме определения непрерывности, уж точно не ограниченность и не компактность. Оставляется читателям в качестве упражнения.

-- 16.06.2014, 16:16 --

g______d в сообщении #876234 писал(а):

Бесконечно дифференцируемые.

Приращение дифференцируемой функции делится на приращение аргумента, как непрерывная функция, хорошо?

-- 16.06.2014, 16:18 --

g______d в сообщении #876234 писал(а):

Ваши ученики умеют делить многочлены от двух переменных с остатком?

Одну из переменных можно взять, как параметр, а уж делить многочлены от одной переменной умеют все, а кто не умеет, тому полезно и научиться.

[warlock66613]

mishafromusa в сообщении #876231 писал(а):

Неверно, куда дельта потерялась? Посмотрите определение в учебнике, если не помните.

Ок, убедили.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #876236 писал(а):

Одну из переменных можно взять, как параметр, а уж делить многочлены от одной переменной умеют все, а кто не умеет, тому полезно и научиться.

Я и говорю, теорема Безу с параметром. А потом надо доказывать, что результат будет многочленом от двух переменных.

mishafromusa в сообщении #876236 писал(а):

Чепуха, доказательство совершенно элементарно и не использует ничего кроме определения непрерывности, уж точно не ограниченность и не компактность. Оставляется читателям в качестве упражнения.

Доказывайте.

mishafromusa в сообщении #876236 писал(а):

Приращение дифференцируемой функции делится на приращение аргумента, как непрерывная функция, хорошо?

Именно что как непрерывная, а не как дифференцируемая. А многочлен делится как многочлен. И бесконечно гладкая делится как бесконечно гладкая.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #876241 писал(а):

Доказывайте.

Доказывайте сами, и не цепляйтесь к каждому слову, это становится просто неприлично.

-- 16.06.2014, 17:43 --

g______d в сообщении #876241 писал(а):

Именно что как непрерывная

А мне как-раз это и нужно, именно эта аналогия с многочленами, а совсем не то, что Вы предлагаете.

-- 16.06.2014, 17:50 --

mishafromusa в сообщении #876249 писал(а):

А потом надо доказывать, что результат будет многочленом от двух переменных.

Да это же в данном случае очевидно!

-- 16.06.2014, 18:18 --

g______d в сообщении #876218 писал(а):

если Вы попробуете доказать что-то типа "$|x|$ не является дифференцируемым" с помощью делимости, потребуется вся техника теории непрерывных функций, ограниченность на компакте и т. п.

Хорошо, $|x|/x$ имеет разрыв первого рода в нуле, поэтому не является произведением $x$ на непрерывную функцию, ЧТД. Где здесь ограниченность на компакте? Какая здесь техника? Что вы мне и другим читателям голову морочите?!

[g______d]

mishafromusa в сообщении #876249 писал(а):

Хорошо, $|x|/x$ имеет разрыв первого рода в нуле, поэтому не является произведением $x$ на непрерывную функцию, ЧТД.

Да, здесь я не прав. Нужен пример посложнее. А с многочленом так же очевидно?

[mishafromusa]

g______d в сообщении #876260 писал(а):

mishafromusa в сообщении #876249 писал(а):

Хорошо, $|x|/x$ имеет разрыв первого рода в нуле, поэтому не является произведением $x$ на непрерывную функцию, ЧТД.

Да, здесь я не прав. Нужен пример посложнее. А с многочленом так же очевидно?

Ну конечно! И вообще цель не в том, чтоб копаться в патологиях, а в том, чтоб посмотреть на дифференцирование и интегрирование с нескольких разных сторон, и создать основу для простых применений.

[g______d]

Да, с многочленом можно просто использовать формулу $x^k-y^k$.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #876268 писал(а):

Да, с многочленом можно просто использовать формулу $x^k-y^k$.

А, Вы про это... Так ведь так же и сделано, на первой странице слайдов...