2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24 ... 67  След.
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 08:56 


12/02/14
808
g______d в сообщении #874462 писал(а):
И уровень понимания совершенно разный.
В смысле формального сведения к свойствам вешественных чисел -- да, а в смысле умения решать конкретные задачи -- нет.

-- 12.06.2014, 02:01 --

g______d в сообщении #874468 писал(а):
Главное, чтобы то, что доказывается, случайно неверным не оказалось. У той же формулы Ньютона-Лейбница у обеих точных формулировок есть нюансы: в одной нужна непрерывность подынтегральной функции, во второй (которую в соседней теме называли именем Барроу) нужно существование производной во всех точках и её интегрируемость по Риману; несуществование уже в одной точке всё портит сразу же.

А в случае липшицевых функций (или функций с другим модулем непрепывности) этих нюансов нет, и к ним можно вернуться позже. Я просто говорю, что можно построить вполне работающую версию анализа, основанного на равномерных оценках, а с классическими определениями разобраться потом. Зубелевич это признал, после того, как я ему предъявил доказательство сходимости итераций Пикара для ОДУ в рамках липшицевой теории.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 09:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Munin в сообщении #874404 писал(а):
Это не идейность.
Смотря на каком уровне. Если вместо механического заучивания эпсилон-дельта студенты-нематематики научатся мыслить в терминах окрестностей (то есть как раз иметь в голове такие картинки) -- это уже очень хорошо.

-- 12.06.2014, 10:14 --

g______d в сообщении #874424 писал(а):
Когда в сложном техническом доказательстве автор хотя бы старается использовать стандартные обозначения, это как минимум удобнее для читателя.
Я уже отмечал родственный аргумент в пользу классического изложения -- на языке пределов, непрерывности и дифференцируемости написана вся литература, с которой придется студентам работать. Излагать анализ иначе -- значит закрыть им доступ к этой литературе или, как минимум, установить серьезный порог.

-- 12.06.2014, 10:21 --

Высокомерие по отношению к студентам? Понимаете, когда я учился анализу, я читал учебники. Просто так, на лекциях, понимание предмета само в голову не запрыгивало. Современные студенты (по крайней мере те, с кем я имею дело) в массе своей не хотят работать с учебником, ленятся разбираться, хотят, чтобы было достаточно прослушанной лекции. А ее не может быть достаточно в принципе, какой бы замечательный ни был лектор и какие бы альтернативные варианты изложения ни предложить. Все достигается только упражнениями, трудом. Так что проблема здесь не в сложности понятия непрерывности, а в массовом нежелании работать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 09:24 


12/02/14
808
ex-math в сообщении #874472 писал(а):
Излагать анализ иначе -- значит закрыть им доступ к этой литературе или, как минимум, установить серьезный порог.

Сколько Вы думаете нужно времени, чтоб изложить анализ для равномерных оценок? Гораздо меньще, чем на классический. А после этого и классический анализ можно выучить быстрее, так как все трюки уже понятны, так что никаких проблем нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 09:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5871
mishafromusa в сообщении #874469 писал(а):
Я просто говорю, что можно пострить вполне работающую версию анализа, основанного на равномерных оценках, а с классическими определениями разобраться потом. Зубелевич это признал, после того, как я ему предъявил доказательство сходимости итераций Пикара для ОДУ в рамках липшицевой теории.


У меня пока создалось впечатление, что

1. Ваша работающая версия без доказательств сложнее, чем классическая версия без доказательств.

2. Ваша работающая версия с доказательствами сложнее, чем классическая версия с доказательствами (потому что ту же теорему Пикара Вы будете доказывать стандартными средствами типа теоремы о неподвижной точке, только не в пространстве $C$, а в гёльдеровых пространствах).

3. Область применимости Вашей версии уже, чем область применимости классического анализа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 09:30 
Заслуженный участник


20/12/10
7007
ex-math в сообщении #874472 писал(а):
Так что проблема здесь не в сложности понятия непрерывности, а в массовом нежелании работать.
Именно так. Мне иногда даже хочется употребить слово "саботаж". В последние годы особенно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 09:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
По отведенным на анализ часам можно успеть только один вариант изложения. Значит, изучать классический анализ студенты будут полностью сами. Самостоятельно устанавливать связи между липшицевым подходом и классикой будет труднее, чем доучиваться, имея уже хоть какое-то понятие о пределе и непрерывности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 09:37 


12/02/14
808
g______d в сообщении #874477 писал(а):
2. Ваша работающая версия с доказательствами сложнее, чем классическая версия с доказательствами
Ну где же сложнее, на слайдах почти всё, что нужно есть, а теорема Пикара вообще доказывается голыми руками, безо всяких неподвижных точек.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 09:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5871
mishafromusa в сообщении #874484 писал(а):
почти всё, что нужно есть


Вещественные числа? Мы же договорились, что с доказательствами. Рациональные будем считать, что даны нам свыше.

mishafromusa в сообщении #874484 писал(а):
а теорема Пикара вообще доказывается голыми руками, безо всяких неподвижных точек.


Её в слайдах нет, кажется. Может быть, сформулируете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 09:42 


12/02/14
808
ex-math в сообщении #874482 писал(а):
По отведенным на анализ часам можно успеть только один вариант изложения. Значит, изучать классический анализ студенты будут полностью сами. Самостоятельно устанавливать связи между липшицевым подходом и классикой будет труднее, чем доучиваться, имея уже хоть какое-то понятие о пределе и непрерывности.

Совсем нет, липшицева теория гораздо легче, а классика пойдёт быстрее, так что времени на всё хватит,

-- 12.06.2014, 02:44 --

g______d в сообщении #874485 писал(а):
Вещественные числа?

Так они почти не нужны, ведь все оценки равномерные.

-- 12.06.2014, 02:48 --

g______d в сообщении #874485 писал(а):
Её в слайдах нет, кажется. Может быть, сформулируете?
Она не имелась в виду, это про решение задачи Коши для ОДУ методом итераций соответствующего уравнения Вольтерры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 09:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5871
mishafromusa в сообщении #874487 писал(а):
Так они почти не нужны, ведь все оценки равномерные.


Для доказательств не нужны? Что значит "почти"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 09:51 


12/02/14
808
mishafromusa в сообщении #874062 писал(а):
Ну вот. Возьмём уравнение $x'=f(x,t)$ с начальным условием $x(0)=0$ и запишем его как $x(t)= \int_0^t f(x(u),u)du$. Итерации тогда будут такие: $x_{n+1}(t)= \int_0^t f(x_n(u),u)du$, и возьмём $x_0=0$. На каждом шаге $x_n$ будет липшицевой, т.к. $f$ ограничена, и даже липшиц-дифференцируемой, т.к. $f$ и $x_{n-1}$ липшицевы. Константы Липшица портиться не будут, и сходимость обеспечена при достаточно маленьком $t$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 09:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5871
mishafromusa в сообщении #874487 писал(а):
Она не имелась в виду, это про решение задачи Коши для ОДУ методом итераций соответствующего уравнения Вольтерры.


Когда сформулируете точную теорему (можете использовать свои обозначения из слайдов), мы посмотрим, сколько классического анализа используется в доказательстве.

А насчет вещественных чисел – как-то сложно без них решать уравнение $y''=-y$, решение получается не очень функцией.

-- Ср, 11 июн 2014 23:53:33 --

mishafromusa в сообщении #874490 писал(а):
и сходимость обеспечена


Т. е. пределы всё-таки используются?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 10:04 


12/02/14
808
g______d в сообщении #874489 писал(а):
mishafromusa в сообщении #874487
писал(а):
Так они почти не нужны, ведь все оценки равномерные.

Для доказательств не нужны? Что значит "почти"?
Ну единственное место -- это аппроксимация площади подграфика, используется и то, что число, большее любого отрицателного -- положительно или нуль. Т.е. ничего серьёзного не нужно. И потом, она в большем объёмв для классихеской теории, и если её изложить по-рабоче-крестьянски, как бесконечные десятичные дроби, то тоже много времени не надо, совсем просто, даже с доказательством полноты.

-- 12.06.2014, 03:08 --

g______d в сообщении #874491 писал(а):
Т. е. пределы всё-таки используются?
Так это сходимость последовательностей, а не пределы функции в точке, и вообще эта теорема не предполагалась, это Зубелевич спросил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 10:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5871
mishafromusa в сообщении #874492 писал(а):
Ну единственное место -- это аппроксимация площади подграфика, используется и то, что число, большее любого отрицателного -- положительно или нуль.


Да у Вас половина, если не все, теоремы перестанут быть верными. Например, теорема о промежуточном значении.

mishafromusa в сообщении #874492 писал(а):
если её изложить по-рабоче-крестьянски, как бесконечные десятичные дроби, то тоже много времени не надо.


Попробуйте изложить в своём курсе со всеми нужными свойствами (начиная по-честному с рациональных), и довольно быстро поймёте, что через фундаментальные последовательности проще. Начните с арифметических операций, я уже предлагал. А если есть фундаментальные последовательности рациональных чисел, то фактически есть пределы последовательностей, и до пределов функций и непрерывности один шаг.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 10:17 


12/02/14
808
g______d в сообщении #874491 писал(а):
А насчет вещественных чисел – как-то сложно без них решать уравнение $y''=-y$, решение получается не очень функцией.
Да совсем не сложно, можно итерациями сразу получить степенной ряд, или понять что значит $e^{it}$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 991 ]  На страницу Пред.  1 ... 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24 ... 67  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group