2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 ... 67  След.
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение10.06.2014, 16:04 


12/02/14
808
Oleg Zubelevich в сообщении #874009 писал(а):
давайте подробней. Докажите, что итерационный процесс сходится в пространстве непрерывных ( в Вашем смысле) функций
Т.е., скажем, липшицевых. Хорошо, я напишу и вывешу.

-- 10.06.2014, 09:10 --

Oleg Zubelevich в сообщении #874011 писал(а):
А что значит потом, пока Вы говорили про методику преподавания, это еще можно было обсуждать, когда Вы начали делать глобальные заявления про анализ в целом, то тут уже трудно удержаться от сильных выражений.
Ну потом -- это курсе на 3-м 4-м, а когда обощённые решения появляются? И какие заявления про анализ в целом имеются в виду? Напомните пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение10.06.2014, 16:17 


10/02/11
6786
Munin в сообщении #874012 писал(а):
А теперь обратим внимание на тот забавный факт, что это не непрерывность!!!

обратим внимание на тот забавный факт, что это именно непрерывность, это стандартная теорема о непрерывной зависимости решения ДУ от начальных данных
Munin в сообщении #874012 писал(а):
Начиная с того, что "близкие" у физика не означает "бесконечно близкие", и "в пределе бесконечно близкие". Физик работает с конкретными числами.

это физик-экспериментатор работает с конкретными числами, а теоретик много с чем работает, в том числе и с анализом.

-- Вт июн 10, 2014 16:18:57 --

mishafromusa в сообщении #874014 писал(а):
И какие заявления про анализ в целом имеются в виду? Напомните пожалуйста.

mishafromusa в сообщении #873816 писал(а):
Хорошо, выкиньте из анализа все функции, заданные конкретными формулами, и заодно и равномерные пределы таких функций, и что увас останется после этого? Одна абстрактная чепуха.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение10.06.2014, 16:19 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ

(Оффтоп)

mishafromusa в сообщении #873992 писал(а):
А как физику, вам было бы приятнее наверное сразу научиться решать задачки по физике, используя ДУ на интуитивном и формальном уровне.
Вспомнилось: МФТИ, первый семестр, первый семинар по матану. "Первые две-три недели вы будете обезьянами — в том смысле, что вы будете механически проделывать определенные действия, не понимая их смысла." Первое задание сдаётся через три недели и включает в себя 15 длииииинных производных и 40 интегралов. "Пока ещё на лекциях вам не объяснили, что такое производная и интеграл, но на семинарах мы изучим простейшие техники — вы должны научиться дифференцировать и интегрировать механически, не думая. Почему — потому что вам сейчас это понадобится на физике, к тому же потом всё равно некогда вас этому обучать." Ностальгия...

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение10.06.2014, 16:21 


12/02/14
808
Oleg Zubelevich,
Цитата:
mishafromusa в сообщении #873816
писал(а):
Хорошо, выкиньте из анализа все функции, заданные конкретными формулами, и заодно и равномерные пределы таких функций, и что увас останется после этого? Одна абстрактная чепуха.
Так ведь и непрерывных функций тоже не останется, как же без них-то?!

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение10.06.2014, 16:25 


10/02/11
6786
mishafromusa в сообщении #874022 писал(а):
Так ведь и непрерывных функций тоже не останется, как же без них-то?!

ну скатываться до такого уровня ведения разговора мне как-то неохота. С нетерпением жду доказательства теоремы Коши.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение10.06.2014, 16:44 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Munin в сообщении #874012 писал(а):
Что интересно, о том, что это сложный раздел для преподавания, говорят сами преподаватели математики. Те самые, которые за него и ратуют, например, тот же самый ewert. Парадоксально!

Вот только не надо передёргивать. Я ни разу не говорил, что он (раздел) "сложен". Лишь о том, что на него приходится при стандартном построении курса тратить слишком много времени -- необоснованно много для нематематиков. И о том, что как-то надо это дело оптимизировать; но вовсе не о том, что за счёт отказа от традиционной парадигмы. Она -- святое; и вовсе не потому, что в каких-то учебниках так написано. А потому, что (как уже подтверждено на многолетнем опыте) именно она наиболее адекватно раскрывает суть дела и открывает дверцы для в т.ч. и практических приложений. И вот характерный пример:

Munin в сообщении #874006 писал(а):
, а вы знаете, что в физическом смысле показывает спидометр? Именно $\Delta s/\Delta t.$

Вы говорите именно прозой, даже не осознавая того.

-- Вт июн 10, 2014 18:10:24 --

(Оффтоп)

Nemiroff в сообщении #874020 писал(а):
"Пока ещё на лекциях вам не объяснили, что такое производная и интеграл, но на семинарах мы изучим простейшие техники — вы должны научиться дифференцировать и интегрировать механически, не думая.

Ну, это правильный подход.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение10.06.2014, 17:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Oleg Zubelevich в сообщении #874019 писал(а):
обратим внимание на тот забавный факт, что это именно непрерывность, это стандартная теорема о непрерывной зависимости решения ДУ от начальных данных

Нет, давайте не передёргивать. Это разные вопросы, для физики, для природы. Связывать их воедино - это математическая модель.

Если говорить о решении ДУ (я попытался перевести ваше высказывание в более физическую плоскость, говоря о любой другой зависимости, но раз вы настаиваете...), то в физике вообще не встречается множества решений ДУ. В физике встречается одно решение ДУ. Можно взять несколько, поставив несколько экспериментов. Как оно устроено в плане непрерывности - это вопрос математической интерполяции.

Кроме того, не факт, что некоторая наблюдаемая физическая зависимость - это решение ДУ. Просто не факт. Может быть, это решение МЛММ (математического летающего макаронного монстра). Мы этого не знаем. И в результате, у нас три понятия: непрерывность, производная, ДУ - все врассыпную. По отдельности мы их можем физически оценить, но все они не очень-то совпадают с математическими.

Oleg Zubelevich в сообщении #874019 писал(а):
это физик-экспериментатор работает с конкретными числами, а теоретик много с чем работает, в том числе и с анализом.

Самое главное, с чем работает теоретик - это с экспериментатором. Это для него важнее, чем анализ.

Анализ для физика, в том числе теоретика, - только инструмент. Может быть, негодный. Тогда он его отложит, и будет искать другой получше (или изготавливать самостоятельно). Сегодняшний статус анализа как давно самого годного для физики - отнюдь не спущенная с Небес данность, а шаткий status quo. Почему-то математики не хотят этого понимать (или мириться, не знаю).

ewert в сообщении #874034 писал(а):
Я ни разу не говорил, что он (раздел) "сложен". Лишь о том, что на него приходится при стандартном построении курса тратить слишком много времени

Я и не говорил "сложен". Я говорил "сложен для преподавания", а затраты времени - как раз ясный индикатор этого.

Если у вас есть другая интерпретация этого положения, или другая расшифровка ваших слов, выслушаю.

ewert в сообщении #874034 писал(а):
Вы говорите именно прозой, даже не осознавая того.

Я-то как раз прекрасно осознаю, что $\Delta s/\Delta t\ne ds/dt.$

Меня удивляет, почему математики этого не осознают, а в описании работы спидометра как прибора - не верят мне на слово (хотя можно и конструкцию спидометра погуглить, это нетрудно).

ewert в сообщении #874034 писал(а):
но вовсе не о том, что за счёт отказа от традиционной парадигмы. Она -- святое; и вовсе не потому, что в каких-то учебниках так написано. А потому, что (как уже подтверждено на многолетнем опыте) именно она наиболее адекватно раскрывает суть дела и открывает дверцы для в т.ч. и практических приложений.

Извините, многолетний опыт может что-то подтвердить, если это был опыт отклонений в стороны. А не опыт заученного повторения одного и того же "как завещали в неолите наши предки".

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение10.06.2014, 18:08 


12/02/14
808
Oleg Zubelevich в сообщении #874024 писал(а):
С нетерпением жду доказательства теоремы Коши.
Ну вот. Возьмём уравнение $x'=f(x,t)$ с начальным условием $x(0)=0$ и запишем его как $x(t)= \int_0^t f(x(u),u)du$. Итерации тогда будут такие: $x_{n+1}(t)= \int_0^t f(x_n(u),u)du$, и возьмём $x_0=0$. На каждом шаге $x_n$ будет липшицевой, т.к. $f$ ограничена, и даже липшиц-дифференцируемой, т.к. $f$ и $x_{n-1}$ липшицевы. Константы Липшица портиться не будут, и сходимость обеспечена при достаточно маленьком $t$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение10.06.2014, 18:28 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Munin в сообщении #874048 писал(а):
А не опыт заученного повторения одного и того же "как завещали в неолите наши предки".

Наши предки считали. И то, что они считали -- до сих пор летает, несмотря на все новомодности. Если же Вы полагаете, что считали они категорически неправильно, а летать надобно совсем иначе -- тогда пример в студию, плиз.

Munin в сообщении #874048 писал(а):
Я-то как раз прекрасно осознаю, что $\Delta s/\Delta t\ne ds/dt.$

Нет, Вы этого не осознаёте. Судя по тому, что Вы значок равенства непринуждённо так заменили неравенством -- Вы точно не понимаете, что такое спидометр; и уж точно не понимаете, что при выписывании какого угодно равенства следует в обязательном порядке ставить вопрос о том, насколько ему можно доверять.

Хотя я, конечно, в курсе, что тут Вы всего лишь кокетничаете. Вы прекрасно понимаете, что речь идёт именно о пределе, но всячески избегаете поминать его по имени. Благочестиво, не спорю.

-- Вт июн 10, 2014 19:33:59 --

mishafromusa в сообщении #874062 писал(а):
На каждом шаге $x_n$ будет липшицевой, т.к. $f$ ограничена,

Я решительно ничего не понял, кроме одного: из всего лишь ограниченности эфа уж точно ровным счётом ничего не следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение10.06.2014, 18:45 


12/02/14
808
ewert в сообщении #874070 писал(а):

mishafromusa в сообщении #874062 писал(а):
На каждом шаге $x_n$ будет липшицевой, т.к. $f$ ограничена,

Я решительно ничего не понял, кроме одного: из всего лишь ограниченности эфа уж точно ровным счётом ничего не следует.
Ну как же так, прфессор, ведь функция с ограниченной производной липшицева... Или нет? И потом мы же с Зубелевичем договорились, что $f$ липшицева... А что ещё непонятно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение10.06.2014, 18:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
ewert в сообщении #874070 писал(а):
Нет, Вы этого не осознаёте. Судя по тому, что Вы значок равенства непринуждённо так заменили неравенством

LOL

Я как раз ничего не заменял. Не равны эти вещи, и всё тут. Они даже и в матанализе не равны. Если хотите, возьмите $s=(g/2)t^2,$ и посчитайте. (Вам, видимо, иногда полезно что-нибудь считать руками, чтобы не терять связи с землёй, и не воспарять в небеси. А то путаете себя с ангелом.)

ewert в сообщении #874070 писал(а):
Наши предки считали. И то, что они считали -- до сих пор летает, несмотря на все новомодности.

Я не спорю, что летает. Ошибка в другом: нельзя называть эту единственную точку экстремумом:
Может быть, соседняя точка - ещё более, а? Вы же не пробовали, не знаете. А может быть, и несоседняя.

ewert в сообщении #874070 писал(а):
Хотя я, конечно, в курсе, что тут Вы всего лишь кокетничаете. Вы прекрасно понимаете, что речь идёт именно о пределе, но всячески избегаете поминать его по имени.

Я прекрасно понимаю, что речь идёт именно НЕ о пределе, и я вам это уже говорил многократно, и даже цитаты из учебников физики приводили (не я) о том, что это не предел. Но в вас всё как в чёрную дыру, безрезультатно.

Надеюсь, это раскроет вашим собеседникам глаза на вашу адекватность в данном вопросе (мне-то уже давно ясно). Физики вы не знаете, не желаете знать, не желаете признавать, имеете по ней своё ошибочное мнение, менять его не намерены, и даже анализировать истоки своей уверенности не собираетесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение10.06.2014, 18:55 


10/02/11
6786
mishafromusa
: я Вас понял. так вроде-бы действительно можно строить анализ до какого-то предела. Получится самозамкнутая теория. И это упрощает рассуждения. Проблема в том, что для человека, который изучал анализ вот так , путь в общую нелипшицеву (и негельдерову) науку закрыт. Придется с первого курса переучиваться. А нелипшицевой науки хватает, в том числе в приложениях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение10.06.2014, 18:59 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Munin в сообщении #874074 писал(а):
и я вам это уже говорил многократно, и даже цитаты из учебников физики приводили

Все учебники физики (надо, наверное, оговориться, что все вменяемые, но я выскажусь аккуратнее -- практически все) в этом месте подразумевают ровно предел. Если некоторые из них стесняются произнести это открытым текстом -- ну, простить можно. Однако это ещё не основание для того, чтоб обзывать всех учебников идиотами.

mishafromusa в сообщении #874073 писал(а):
И потом мы же с Зубелевичем договорились, что $f$ липшицева...

Меня не интересует, о чём Вы там с OZ и где-то там договорились. "Здесь Родос -- здесь и прыгай". Пока же Вы прыгнули крайне неудачно (ну т.е. Ваша аргументация в предпоследнем посте просто тривиально неверна).

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение10.06.2014, 19:01 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
Munin в сообщении #874074 писал(а):
даже цитаты из учебников физики приводили (не я) о том, что это не предел
Может это уже поминалось выше, мог пропустить, но имеет смысл вспомнить такую штуку, как "физически бесконечно малый объём", который совершенно не предполагает, что соответствующая величина стремится к нулю, однако используется как бесконечно малая, и вполне успешно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение10.06.2014, 19:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Oleg Zubelevich в сообщении #874076 писал(а):
А нелипшицевой науки хватает, в том числе в приложениях.

Можете привести физический пример функции, в которой производная не определена нигде, кроме множества меры нуль?

ewert в сообщении #874077 писал(а):
Все учебники физики (надо, наверное, оговориться, что все вменяемые, но я выскажусь аккуратнее -- практически все) в этом месте подразумевают ровно предел.

Нет, не подразумевают. Все учебники физики чётко оговаривают, где происходит переход от $\Delta s/\Delta t$ к пределу, и проговаривают это явно.

Если вы не знакомы с учебниками физики, это повод их открыть и почитать. А не придерживаться своего неправильного мнения.

См. Сивухин "Общий курс физики. Т. 1. Механика", § 6 "О смысле производной и интеграла в приложениях к физическим вопросам".

warlock66613 в сообщении #874078 писал(а):
Может это уже поминалось выше, мог пропустить, но имеет смысл вспомнить такую штуку, как "физически бесконечный малый объём", который совершенно не предполагает, что соответствующая величина стремится к нулю, однако используется как бесконечно малая, и вполне успешно.

Да вот в том-то и дело, что и вы, и каждый физик всё это помнит и знает, и ощущает интуитивно, и полагает как само собой разумеющееся (только иногда удивляющее, при рефлексии). А вот ewert этого не просто не понимает - он в это не верит, и даже твердит, что этого не существует - не просто в природе, но даже в головах физиков!

Пусть его остаётся в своём удивительном мире с удивительными физиками, которых он где-то видел...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 991 ]  На страницу Пред.  1 ... 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 ... 67  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group