Как упростить преподавание матанализа нематематикам?

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

mishafromusa в сообщении #874073 писал(а):

Ну как же так, прфессор, ведь функция с ограниченной производной липшицев

Вы, не обращайте внимания. Помните у Гашека в "Швейке":

Цитата:

Полковник Фридрих Краус фон Циллергут (Циллергут-название деревушки в Зальцбурге, которую предки полковника пропили еще в восемнадцатом столетии) был редкостный болван. Рассказывая о самых обыденных вещах, он всегда спрашивал, все ли его хорошо поняли, хотя дело шло о примитивнейших понятиях, например: "Вот это, господа, окно. Да вы знаете, что такое окно?" Или: "Дорога, по обеим сторонам которой тянутся канавы, называется шоссе. Да-с, господа. Знаете ли вы, что такое канава? Канава - это выкопанное значительным числом рабочих углубление. Да-с. Копают канавы при помощи кирок. Известно ли вам, что такое кирка?"
Он страдал манией все объяснять и делал это с воодушевлением, с каким изобретатель рассказывает о своем изобретении.
"Книга, господа, это множество нарезанных в четвертку листов бумаги разного формата, напечатанных и собранных вместе, переплетенных и склеенных клейстером. Да-с. Знаете ли вы, господа, что такое клейстер? Клейстер - это клей".
Полковник был так непроходимо глуп, что офицеры, завидев его издали, сворачивали в сторону, чтобы не выслушивать от него такой истины, что улица состоит из мостовой и тротуара и что тротуар представляет собой приподнятую над мостовой панель вдоль фасада дома. А фасад дома - это та часть, которая видна с мостовой или с тротуара. Заднюю же часть дома с тротуара видеть нельзя, в чем мы легко можем убедиться, сойдя на мостовую.

ну и здесь тоже самое

-- Вт июн 10, 2014 19:44:22 --

Munin в сообщении #874082 писал(а):

Можете привести физический пример функции, в которой производная не определена нигде, кроме множества меры нуль?

а причем тут мера? Возьмите любую кусочно дифференцируемую функцию и посадите меру на множество, на котором она не дифференцируема.

[mishafromusa]

Oleg Zubelevich в сообщении #874076 писал(а):

Проблема в том, что для человека, который изучал анализ вот так , путь в общую нелипшицеву (и негельдерову) науку закрыт.

Ну я же не предлагаю совсем не учить общую непрерывность, я прелагаю просто начать с конкретных модулей непрерывности, а потом хоть целый год заниматься непрерывностью. Посмотрите на мой разговор с g______d, я просто не могу себе представить, чтоб человек, разобравшийся с конкретными модулями непрерывности, не смог бы освоить эпсилоны и дельты, ведь это очень похоже. И потом правда, что следить за модулями непрерывности часто утомительно, да и ни к чему, и это дополнительная причина выучить общую непрерывность тоже. И потом модули непрерывности полезны для УЧП, нет?

-- 10.06.2014, 13:03 --

Oleg Zubelevich в сообщении #874086 писал(а):

Вы, не обращайте внимания. Помните у Гашека в "Швейке":

По крайней мере, у Вас есть чувство юмора

[ewert]

Munin в сообщении #874082 писал(а):

Да вот в том-то и дело, что и вы, и каждый физик всё это помнит и знает, и ощущает интуитивно, и полагает как само собой разумеющееся (только иногда удивляющее, при рефлексии). А вот ewert этого не просто не понимает - он в это не верит, и даже твердит, что этого не существует - не просто в природе, но даже в головах физиков!

Это просто бред какой-то. Все физики под пределами подразумевают ровно пределы -- не более и не менее. И Вы отнюдь не исключение. Только Вы тщательно стесняетесь в этом признаться; а вот зачем стесняетесь -- это уже вопрос не ко мне.

[mishafromusa]

ewert в сообщении #874077 писал(а):

Меня не интересует, о чём Вы там с OZ и где-то там договорились. "Здесь Родос -- здесь и прыгай". Пока же Вы прыгнули крайне неудачно (ну т.е. Ваша аргументация в предпоследнем посте просто тривиально неверна).

А Зубелевич сказал мне, что он понял, спросите у него

[ewert]

(Оффтоп)

mishafromusa в сообщении #874098 писал(а):

спросите у него

это его личное дело, что он лично понял; Вы же -- на публике

[mishafromusa]

ewert, ну это же обычные итерации Пикара, которые есть в любом ОДУ учебнике, мне лень разжёвывать. А что не понятно-то конкретно?

[g______d]

Munin в сообщении #874006 писал(а):

Простите, а вы знаете, что в физическом смысле показывает спидометр? Именно $\Delta s/\Delta t.$

Да, разумеется. Но измеряет-то он производную, просто с погрешностью.

Munin в сообщении #874006 писал(а):

Хорошо. Вопрос: как дать понятие производной, используя понятие непрерывности, но не используя понятие предела?

Производная – это следующий шаг. Я не говорил, что не буду использовать предел. Но я считаю определение с пределом проще, чем с равномерно липшицевой оценкой. Потому что в физике уже есть понятие "мгновенная скорость в точке", а понятия "мгновенная скорость сразу во всех точках, удовлетворяющая липшицевой оценке" нет.

То, что мгновенная скорость в физике – это средняя скорость на достаточно малом интервале, а не на бесконечно малом, – это другой вопрос, к конструкциям mishafromusa не имеющий отношения. Просто с бесконечными величинами проще работать, чем с конечными. С пределами проще работать, чем следить за явными оценками. Это абстракция, упрощающая дело.

Munin в сообщении #874012 писал(а):

Ну вот не надо подменять понятия.

Любой ребёнок отличит график непрерывной функции от графика функции, непрерывной всюду кроме разрыва 1 или 2 рода.

Не понял, в чём подмена понятий. Понятие непрерывности абсолютно интуитивно и приходит в голову значительно раньше, чем человек узнает о пределах.

Munin в сообщении #874012 писал(а):

Всё-таки, это уровень начальных классов для "довольно хороших" примеров. А изучение "патологий" и контрпримеров - уже сложно.

Да, класс "довольно хороших" примеров шире элементарных функций. Но он и у́же того, за что вы ратуете. Формализовать его - задача непростая и неоднозначная. Модуль может как попасть в него, так и не попасть.

Важен тот факт, что можно нарисовать мелом на доске любую кривую (ну, допустим, однозначно проецирующуюся на $x$), и она будет графиком функции. Или наставить любых точек. Я против того, чтобы считать, что, кроме элементарных, других функций нет или что любая функция задается формулой. Этот момент был очень важным в истории и привёл к современному анализу.

Разумеется, функции должны быть "довольно хорошими". И важным моментом также было понимание того, что "довольно хорошая" – это аналитическое свойство, а не алгебраическое.

[warlock66613]

ewert в сообщении #874097 писал(а):

Все физики под пределами подразумевают ровно пределы -- не более и не менее.

Не знаю насчёт пределов, которые не пределы, но производных, которые не являются пределом отношения двух бесконечно малых много. Например, отношением каких пределов может быть производная количества уровней с энергией, меньшей данной, по энергии $dN/dE$ (а также обратная величина $dE/dN$), если $N$ - целое, а $E$ принимает дискретный ряд значений?

[g______d]

Munin в сообщении #874082 писал(а):

Можете привести физический пример функции, в которой производная не определена нигде, кроме множества меры нуль?

Я подозреваю, что траектория броуновского движения будет с вероятностью 1 обладать таким свойством.

-- Вт, 10 июн 2014 10:33:27 --

warlock66613 в сообщении #874114 писал(а):

Например, отношением каких пределов может быть производная количества уровней с энергией, меньшей данной, по энергии $dN/dE$, если $N$ - целое, а $E$ принимает дискретный ряд значений?

Это обобщённая производная от ступенчатой функции. Получится сумма $\delta$-функций.

Цитата:

а $E$ принимает дискретный ряд значений?

Это вольность речи. Аргумент $E$ пробегает вещественные числа, просто функция $N(E)$ кусочно постоянная.

[mishafromusa]

Oleg Zubelevich в сообщении #874076 писал(а):

А нелипшицевой науки хватает, в том числе в приложениях.

Негёльдеровой, правда, поменьше, но тоже попадается

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #874086 писал(а):

а причем тут мера?

Чёрт, меня подвело желание высказаться по-учёному. Хорошо, физический пример функции от действительной переменной, не дифференцируемой нигде, кроме одной точки.

За цитату из "Швейка" - респект! :-)

Надо "Швейка" перечитать, в свете нонешних российских реалий...

ewert в сообщении #874097 писал(а):

Это просто бред какой-то. Все физики под пределами подразумевают ровно пределы

Угу. Это-то бесспорно. А вот вы, почему-то, заявляете, что они и под другими вещами подразумевают пределы.

Кто тут шизофреники: вы, или все физики вместе взятые?

ewert в сообщении #874097 писал(а):

И Вы отнюдь не исключение. Только Вы тщательно стесняетесь в этом признаться

Я не стесняюсь признаться, что под пределом подразумеваю предел.

[warlock66613]

g______d в сообщении #874115 писал(а):

Получится сумма $\delta$-функций

Ну у вас возможно и получится , но у физиков как-то получается гладкая кривая. (Здесь можно вспомнить сравнительно недавнюю тему про плотность и её строгое определение.)

[mishafromusa]

g______d в сообщении #874111 писал(а):

То, что мгновенная скорость в физике – это средняя скорость на достаточно малом интервале, а не на бесконечно малом, – это другой вопрос, к конструкциям mishafromusa не имеющий отношения.

Вот именно имеющий, неравномерные производные в физике попадаются редко.

[Munin]

g______d в сообщении #874111 писал(а):

Да, разумеется. Но измеряет-то он производную, просто с погрешностью.

Вот именно, что с погрешностью. И эта погрешность приводит к вопросу, а где есть эта производная? В природе, или только у нас в голове? И ответ: только у нас в голове. Потому что в природе её точно нет, это физики выяснили, опустившись на уровень квантовой механики. (Надеюсь, вам достаточно этих отсылок, и вы не будете устраивать безобразную комедию а-ля ewert. По крайней мере, если недостаточно, то можно спокойно спросить, и я разверну.)

g______d в сообщении #874111 писал(а):

Производная – это следующий шаг. Я не говорил, что не буду использовать предел.

Как сделать производную из предела - это-то понятно. Вопрос в другом: как наоборот?

g______d в сообщении #874111 писал(а):

Но я считаю определение с пределом проще, чем с равномерно липшицевой оценкой. Потому что в физике уже есть понятие "мгновенная скорость в точке", а понятия "мгновенная скорость сразу во всех точках, удовлетворяющая липшицевой оценке" нет.

Тут картина такая: в физике есть понятие "мгновенная скорость в точке" в рамках некоторой математической модели. Физик легко заменит её на другую. Если с ней тоже можно будет работать. И почему бы и не на кусочно-липшицеву?

g______d в сообщении #874115 писал(а):

Я подозреваю, что траектория броуновского движения будет с вероятностью 1 обладать таким свойством.

О, это прекрасно! :-)

Потому что как раз траектории-то у броуновского движения и не существует! Существуют траектории, зарисованные с интервалами, скажем, в 5 секунд, в 2 секунды, в 1 секунду - а траектории самой по себе нет! Её можно воображать только как математическую абстракцию.

И потом, ну допустим, вы назвали траекторией броуновского движения некоторый фрактал. И в какой точке у него будет производная?

-- 10.06.2014 21:49:35 --

mishafromusa в сообщении #874123 писал(а):

g______d в сообщении #874111 писал(а):

То, что мгновенная скорость в физике – это средняя скорость на достаточно малом интервале, а не на бесконечно малом, – это другой вопрос, к конструкциям mishafromusa не имеющий отношения.

Вот именно имеющий, неравномерные производные в физике попадаются редко.

+1

[ewert]

warlock66613 в сообщении #874114 писал(а):

Например, отношением каких пределов может быть производная количества уровней с энергией, меньшей данной, по энергии $dN/dE$ (а также обратная величина $dE/dN$), если $N$ - целое, а $E$ принимает дискретный ряд значений?

А это называется просто вульгаризованным пределом. Физикам простительно. Они прекрасно понимают, что дискретность уровней в данном случае -- не более чем идеализация, просто не считают нужным произносить это.

mishafromusa в сообщении #874105 писал(а):

ewert, ну это же обычные итерации Пикара, которые есть в любом ОДУ учебнике, мне лень разжёвывать. А что не понятно-то конкретно?

Это у Пикара -- итерации. У Вас же -- ничто, т.к. Вы не удосужились привести точных формулировок. А те, что были приведены -- просто формально неверны.